培优点11圆锥曲线压轴小题突破练习（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

培优点11圆锥曲线压轴小题突破练习 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　离心率范围问题 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略 (1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． (2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)． (3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 【例题1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）椭圆E：的左、右焦点分别为，，若E上恰有4个不同的点P，使得为直角三角形，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·云南昆明·模拟预测）若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·湖北·模拟预测）过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是 ． 【变式3】（2023·湖北咸宁·模拟预测）我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线. (1)求双曲线的准线； (2)设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围. 题型二　圆锥曲线中二级结论的应用 命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中＝b2·tan ， 双曲线中＝. 周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点， 则椭圆中kPA·kPB＝－， 双曲线中kPA·kPB＝. 【例题2】（2022·河北石家庄·一模）已知双曲线：（，），过原点的直线交于、两点（点在右支上），双曲线右支上一点（异于点）满足，直线交轴于点，若，则双曲线的离心率为（    ）. A． B．2 C． D．3 【变式1】（2022·江西抚州·模拟预测）已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【变式2】（2024·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ． 【变式3】设椭圆的左右焦点分别为､，上下顶点分别为､，直线与该椭圆交于､两点.若，则直线的斜率为 . 命题点2　抛物线中二级结论的应用 与抛物线的焦点弦有关的二级结论： 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 ①焦半径|AF|＝x1＋＝， |BF|＝x2＋＝， ②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝， ③S△OAB＝(O为坐标原点)， ④x1x2＝，y1y2＝－p2， ⑤＋＝， ⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． 【例题3】（2023·天津·二模）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【变式1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【变式3】（2020·贵州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点. （1）若过点，证明：； （2）若，点在曲线上，，的中点均在抛物线上，求面积的取值范围. 题型三　圆锥曲线与其他知识的综合 【例题4】（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·辽宁·一模）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（   ） A．农历每月第（，）天和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率与无关 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 【变式3】（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．    【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2023·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 3．（2024·广东·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东佛山·模拟预测）已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． E．均不是 5．（2023·河南信阳·一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 二、多选题 6．（2022·山东聊城·一模）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的焦点在轴上 B．双曲线的焦距等于 C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线的离心率的取值范围为 7．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A． B．当离心率为时，的最大值为 C．椭圆C离心率的取值范围为 D．存在点Q使得 三、填空题 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 9．（2022·四川成都·模拟预测）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为 ． 四、解答题 10．（2020·四川遂宁·模拟预测）已知圆：与抛物线：交于两点，且． （1）求抛物线的方程． （2）过抛物线的焦点的直线交抛物线两点，抛物线的准线与轴的交点为，试问是否存在实数，使得与都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．（2020·陕西渭南·二模）已知椭圆与直线交于，两点，且，其中为坐标原点. （1）求的值； （2）若椭圆长轴的取值范围为，求椭圆的离心率的取值范围，并求出取最小值时的椭圆方程. 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·二模）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（    ） A．32 B． C． D．8 3．（2022·江西九江·三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 5．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川成都·模拟预测）为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·黑龙江·三模）加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 10．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（    ） A．若，且轴，则的方程为 B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为 C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为 D．若，则的离心率的取值范围是 11．（2020·山东潍坊·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长半轴长为 三、填空题 12．（2024·四川南充·三模）已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）若直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆经过左焦点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 14．（2023·广东茂名·三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 . 四、解答题 15．（2021·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线交双曲线于，两点. (1)若，四边形的面积为12，求双曲线的方程； (2)若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围. 16．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为､，过点的直线交椭圆于两点. （1）若的周长为，面积的最大值为，求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左､右顶点，直线，的斜率分别为，若，求椭圆的离心率的取值范围. 17．（2021·宁夏银川·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆C上存在点M，使． （1）求椭圆C的离心率e的取值范围； （2）若椭圆C的，设点在椭圆C上，点在的平分线上，求t的取值范围． 18．（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 19．（2023·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，. (1)求C的方程； (2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且．若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东广州·三模）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·山东潍坊·一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（    ） A．的渐近线方程为 B．点的坐标为 C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4 5．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（    ） A．离心率e的取值范围为 B．存在点N，使得 C．当时，的最大值为 D．的最小值为1 三、填空题 6．（2023·云南曲靖·模拟预测）某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于 . 7．（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 8．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是 ． 四、解答题 9．（2021·湖北·二模）过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2. (1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程； (2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围. 10．（2024·四川·一模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为. (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点11圆锥曲线压轴小题突破练习 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　离心率范围问题 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略 (1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． (2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)． (3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 【例题1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）椭圆E：的左、右焦点分别为，，若E上恰有4个不同的点P，使得为直角三角形，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设E的上顶点为A， 因为E上恰有4个不同的点P，使得为直角三角形， 所以，则，所以，即， 故E的离心率的取值范围为． 故选：D 【变式1】（2021·云南昆明·模拟预测）若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设结合双曲线渐近线方程即可得，再结合以及离心率公式即可求解. 【详解】由题可得双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为， 因为直线斜率为过原点且与双曲线无交点， 所以 ，所以即，故即， 又，所以. 故选：C. 【变式2】（2022·湖北·模拟预测）过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，，在中求得直线的斜率，利用渐近线与直线垂直，得，变形后可得离心率的范围. 【详解】过作抛物线准线的垂线，垂足为，如图，则，又， 所以，， 所以直线的斜率等于， 显然直线与渐近线垂直，所以， ，而，所以，即， ，， 所以. 故答案为：. 【变式3】（2023·湖北咸宁·模拟预测）我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线. (1)求双曲线的准线； (2)设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将曲线变型，得到双曲线的方程，然后得到其准线方程； （2）根据椭圆的定义先用离心率表示出椭圆方程，然后和直线联立，利用韦达定理得出圆心坐标，半径，然后根据点和圆的位置关系列出不等式. 【详解】（1）由，得. 所以双曲线的中心，右焦点，， 所以准线为或. （2）   设是椭圆上任意一点，上椭圆的长轴长，椭圆的焦距， 设， 则.① 又直线的方程为.② 由①②联立得， 由题意知是这个方程的两个根， 所以 所以， 所以圆心坐标为. 从而有 又在椭圆中，根据椭圆的定义，当为椭圆左顶点时，设， ，得.又，所以， 故椭圆的中心坐标为， 又点在以为直径的圆内， 所以， 整理得， 即. 因为椭圆的离心率，所以 即，故. 题型二　圆锥曲线中二级结论的应用 命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中＝b2·tan ， 双曲线中＝. 周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点， 则椭圆中kPA·kPB＝－， 双曲线中kPA·kPB＝. 【例题2】（2022·河北石家庄·一模）已知双曲线：（，），过原点的直线交于、两点（点在右支上），双曲线右支上一点（异于点）满足，直线交轴于点，若，则双曲线的离心率为（    ）. A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由题意设（），，由点差法可得，而，，化简可得，从而可求出双曲线的离心率 【详解】由题意设（），， 则， 两式相减得，， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 因为 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以离心率， 故选：A 【变式1】（2022·江西抚州·模拟预测）已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆的离心率公式，再利用焦点三角的面积相等及椭圆长轴长即可求解. 【详解】由，得，即. 设的内切圆的半径为，则 因为的内切圆的面积为，所以，解得（负舍）， 在中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知 ，即， 由，联立，得， 所以该椭圆的长轴长为. 故选：D. 【变式2】（2024·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】引入参数，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，运用余弦定理可得出，结合离心率公式即可得解. 【详解】     在中，设，由正弦定理得，则， 所以由双曲线的定义可知，， 故， 在中，，解得， 所以在中，，，， 又，解得， 所以离心率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与的关系，进而结合离心率公式即可得解. 【变式3】设椭圆的左右焦点分别为､，上下顶点分别为､，直线与该椭圆交于､两点.若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由可得：，又，又，从而得到结果. 【详解】∵， ∴，即椭圆方程为： 设，A，且，即 ，又， ∴， 故答案为 【点睛】本题考查椭圆的方程与简单的几何性质，利用好二级结论是解题的关键，属于中档题. 命题点2　抛物线中二级结论的应用 与抛物线的焦点弦有关的二级结论： 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 ①焦半径|AF|＝x1＋＝， |BF|＝x2＋＝， ②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝， ③S△OAB＝(O为坐标原点)， ④x1x2＝，y1y2＝－p2， ⑤＋＝， ⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． 【例题3】（2023·天津·二模）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解. 【详解】解：由题意得， 故双曲线的渐近线方程为， 又与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线的斜率为，又， 故的直线方程为：，联立直线方程和抛物线方程得：， 所以，所以. 故选：D. 【变式1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】    如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得， ， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：，解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得： ，设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 故选：D. 【变式2】（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【答案】6 【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案. 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 【变式3】（2020·贵州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点. （1）若过点，证明：； （2）若，点在曲线上，，的中点均在抛物线上，求面积的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）易知，设，，由题意可知，直线的斜率存在，故设其方程为，联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出的表达式，代入直线方程得到的表达式，利用抛物线的焦点弦公式求出即可得证； （2）由题意知，抛物线的方程为，设，，，则，的中点分别为，，由，的中点均在抛物线上，得到方程有两个不同的实数根，利用韦达定理和判别式，结合三角形的面积公式和点在曲线上即可求解. 【详解】（1）证明：易知，设，， 由题意可知，直线的斜率存在，故设其方程为， 由，得，所以， 因为， 所以， 而，故. （2）因为，所以抛物线的方程为， 设，，，则，的中点分别为，，因为，的中点均在抛物线上， 所以方程有两个不同的实数根， 即方程有两个不同的实数根， 则，，，即， 所以的中点的横坐标为，则 ， 即， 因为，所以的面积为，即， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以面积的取值范围为. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式、结合抛物线与圆的性质求三角形面积的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握抛物线与圆的性质和一元二次方程的相关知识是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 题型三　圆锥曲线与其他知识的综合 【例题4】（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解. 【详解】因为，所以，得， 不妨设双曲线的标准方程为，设，则． 所以，解得或（舍去）． 所以． 故选：D． 【变式1】（2022·辽宁·一模）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件求出双曲线C的渐近线方程，再逐一分析各个选项判断作答. 【详解】依题意，双曲线C：过点， 则有，解得，因此，双曲线C的渐近线方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，B不正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，D不正确. 故选：A 【变式2】（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（   ） A．农历每月第（，）天和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率与无关 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 【答案】D 【分析】利用已知条件求出第天和第天的方程即可判断A，根据椭圆上点到焦点的距离的最大值为，求出的范围即可判断B，求出离心率的表达式判断C，利用离心率的表达式，求出农历初六至初八时的的范围即可判断D. 【详解】由方程（，）知： 对于A：当时，椭圆方程为， 当时，椭圆方程为， 化简为，即，所以A错误； 对于B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为： ， ， ， ， ， 因为，， 所以， 所以，所以B错误； 对于C：月相外边缘的离心率为： ，即， 所以月相外边缘的离心率与有关，所以C错误； 对于D：农历初六至初八，即时，即， 此时月相外边缘离心率： ，即， 因为，，所以，， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式3】（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．    【答案】 【分析】由直线，其中，分别联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中，    联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2023·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可. 【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为， 由室内地面是面积为的圆，故，①对； 且，则，又不全相等，故，②错； 若，则，可得，与不全相等矛盾，③错； 若，则，故，④对. 故选：B. 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C．（1,3） D． 【答案】B 【分析】法一：设直线与曲线联立利用韦达定理求解；法二：利用渐近线与双曲线的关系直接求解. 【详解】法一：设直线方程， 与联立得， 设两交点坐标为， 则， 解得，即， 离心率; 法二：易知渐近线方程为,由题意得，离心率， 故选:B. 3．（2024·广东·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义结合已知条件解出，，根据焦半径的取值范围即可解出离心率范围，再结合椭圆离心率，即可求解. 【详解】因为，，所以有， 故，，因为，既有， ，解得，又因为椭圆离心率，所以. 故选： 4．（2024·广东佛山·模拟预测）已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】B 【分析】由圆的切线的性质可得，即双曲线与圆有交点，即，即可计算离心率的范围. 【详解】由，故，则， 即双曲线与圆有交点， 即，即，即， 即双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B. 5．（2023·河南信阳·一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定直线即为抛物线的准线，确定,设直线方程为，代入中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案. 【详解】设抛物线的准线为， 过点分别作l的垂线，垂足为,设的中点为M，作，垂足为N， 则, 即以为直径的圆与相切，又以为直径的圆与直线相切， 故直线即为抛物线的准线，∴, ∴，设直线方程为，代入中， ∴，即， 设，∴， ∴， 故选：B. 二、多选题 6．（2022·山东聊城·一模）已知双曲线，则（    ） A．双曲线的焦点在轴上 B．双曲线的焦距等于 C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线的离心率的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案. 【详解】解：对A：因为，所以，， 所以双曲线表示焦点在轴上的双曲线，故选项A正确； 对B：由A知，所以，所以， 所以双曲线的焦距等于，故选项B错误； 对C：设焦点在轴上的双曲线的方程为，焦点坐标为，则渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确； 对D：双曲线的离心率， 因为，所以，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 7．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A． B．当离心率为时，的最大值为 C．椭圆C离心率的取值范围为 D．存在点Q使得 【答案】AB 【分析】由题意知，根据椭圆定义可判断选项A与选项B，利用点在椭圆内部可得，即可判断选项C，由选项C知，，可判断选项D. 【详解】由长轴长为4，故，由点Q在椭圆上，根据椭圆的定义得，故A正确； 当离心率为时，可得，则的最大值为.故B正确； 点在椭圆内部，故，椭圆C离心率为，故选项C不正确； 由选项C知， 故不存在点Q使得，选项D错误. 故选：AB. 三、填空题 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程可知：，如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 9．（2022·四川成都·模拟预测）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为 ． 【答案】16 【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果． 【详解】设，，以为切点的切线斜率为， 则以为切点的切线方程为， 与抛物线联立，得， 由，即， 则，即，解得， 则以为切点的切线方程为，即，，整理得； 同理，设，，则以为切点的切线斜率为， 以为切点的切线方程为， 又因为在切线和， 所以，， 所以直线的方程， 又因为直线经过抛物线的焦点， 所以令得，即，， 所以抛物线方程为，直线的方程， 联立，消去得， ∴， ∴， ， ∵，∴， 所以， 则当时，取最小值16． 故答案为：16． 四、解答题 10．（2020·四川遂宁·模拟预测）已知圆：与抛物线：交于两点，且． （1）求抛物线的方程． （2）过抛物线的焦点的直线交抛物线两点，抛物线的准线与轴的交点为，试问是否存在实数，使得与都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据弦长公式，求得圆心到直线的距离，求得点的坐标，待定系数即可求得结果； （2）设出直线的方程，联立抛物线方程，由即可求得直线斜率，再求得长度之比，则问题得解. 【详解】（1）容易知直线没有斜率，故可设为， 故圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得：， 解得或（舍） 当时，代入圆方程可得 不妨设点坐标为，. 又点在抛物线上，故可得，解得. 故抛物线方程为：. （2）当直线斜率不存在时，由（1）不妨设： ，由抛物线方程可得， 故可得， 故，则，不满足题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立抛物线方程可得： ， 设， 故可得. 若，即 ，解得 则，即， 则， 联立， 解得或. 综上所述，存在满足题意. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及焦点弦问题的处理，涉及韦达定理以及圆中弦长的求解，属综合中档题. 11．（2020·陕西渭南·二模）已知椭圆与直线交于，两点，且，其中为坐标原点. （1）求的值； （2）若椭圆长轴的取值范围为，求椭圆的离心率的取值范围，并求出取最小值时的椭圆方程. 【答案】（1）；（2），取最小值时的椭圆方程为． 【分析】（1）设出，的坐标，联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系得到，横纵坐标的和与积，代入数量积的坐标表示得答案； （2）由把用含有的代数式表示，再把椭圆的离心率用含有的代数式表示，根据的范围求得椭圆的离心率的取值范围，由此可得答案． 【详解】解：（1）设，，，， 联立，得， 又， 故， 由韦达定理得，， 则； （2）由，得， ， 又，故，又， 故， 则的最小值为，则此时，故， 又因为，则，， 则椭圆方程为：． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查利用根与系数关系求解平面向量的数量积，考查椭圆离心率范围的求法，考查转化与化归思想，属于难题． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性， 找到当分别位于的左、右顶点时，有最大值，求出离心率的取值范围. 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 2．（2023·四川成都·二模）已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（    ） A．32 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，由韦达定理可得，再根据抛线的定义即可得答案. 【详解】解：因为抛物线， 所以，， 所以直线的方程为， 由，得， 显然， 设 则有， 所以， 由抛物线定义可知. 故选：A. 3．（2022·江西九江·三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D. 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【答案】A 【分析】首先求出，再结合题干中的条件可知，通过解不等式可得的取值范围，结合双曲线的离心率公式可得答案. 【详解】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 故选：A. 5．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据和点P在双曲线上，消去x得，由判别式大于0求解可得. 【详解】设，则， 由双曲线方程可得，则， 化简整理得关于的一元二次不等式：有解， 所以，即， 所以，解得（舍去）或. 故选：D 6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论和两种情况下和的范围，利用离心率公式即可求出范围. 【详解】由于，， 当时，，则； 当时，，则， 综上得， 故选：B． 7．（2023·四川成都·模拟预测）为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意求出点坐标，即可求的面积. 【详解】   如图，设点， ，所以， 由题意，所以， 得，或（舍去）， 所以， ， 故选：B 8．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，整理可得，根据题意结合二次函数分析可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可设：， 则 ， 令，则， 注意到，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在内的最小值为， 则， 整理得，解得，不合题意； 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：. 可得椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：设，整理得，换元，分类讨论对称轴的取值范围，结合二次函数最值求的取值范围. 二、多选题 9．（2024·黑龙江·三模）加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，可判定A、B正确，结合椭圆的性质和蒙日圆的方程，可判定C错误，结合基本不等式和圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 由椭圆，可得，则， 故椭圆的焦点与椭圆相同，所以B正确； 因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上， 可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误； 设矩形的边长分别为和，则有， 所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 10．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（    ） A．若，且轴，则的方程为 B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为 C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为 D．若，则的离心率的取值范围是 【答案】AD 【分析】由双曲线上一点，及轴，可得的值，即可求得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰的面积，从而判断C；由已知结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从而判断D. 【详解】对于A，若，且轴，则，， 所以，则，所以，则的方程为，故A正确； 对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确； 对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图， 则是直角三角形，所以，故C不正确； 对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故， 则，又，所以，整理得，解得， 所以的离心率的取值范围是，故D正确. 故选：AD. 11．（2020·山东潍坊·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长半轴长为 【答案】AC 【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点的坐标，列出方程计算判断D作答. 【详解】对于A，由，得，则 ，当三点共线时取等号，A正确； 对于B，由点在椭圆内部，得，则，有，椭圆的短轴长大于2，B错误； 对于C，因为，且，于是，即， 解得，即，因此，椭圆的离心率的取值范围为，C正确； 对于D，由，得为线段的中点，即，则，又， 即，解得，则，椭圆的长半轴长为，D错误. 故选：AC      【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题 12．（2024·四川南充·三模）已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的性质，，，转化条件得，再通过即可得解. 【详解】如图所示，根据双曲线的对称性得，在中， 又因为, 所以在中，, 即 所以， 又因为为通径，即，， 所以，且， 所以， 即， 即， 解得， 又因为双曲线离心率， 所以该双曲线的离心率取值范围为：. 故答案为：.    13．（2024·全国·模拟预测）若直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆经过左焦点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据条件及椭圆的定义得到，进而得到，再根据条件，求出，即可求出结果. 【详解】如图，设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形， 因为以为直径的圆经过点，所以，所以四边形为矩形， 故． 设，则． 在中，， 所以，所以， 所以．令，得， 由，得． 因为函数在上单调递增，所以， 即，则，故， 所以， 所以椭圆的离心率的取值范围是,    故答案为：. 14．（2023·广东茂名·三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 . 【答案】/ 【分析】 依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解. 【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，    则， 在中，，所以，所以， 故在中，，所以，则. 又轴，，所以， 又抛物线，则，所以， 所以抛物线，点. 因为，所以直线的斜率，则直线， 与抛物线方程联立，消并化简得， 易得，设点，则， 则， 又直线，可化为， 则点到直线的距离， 所以. 故选：B. 四、解答题 15．（2021·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线交双曲线于，两点. (1)若，四边形的面积为12，求双曲线的方程； (2)若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线交双曲线于､两点， 所以，两点关于原点对称， 从而四边形是平行四边形， 设双曲线的焦距为， 则四边形的面积，解得， 从而，，所以，， 于是，解得，， 所以双曲线的方程为； （2）设，则. 由，得. 因为， 所以，化简得. 因为，所以. 由得，解得； 由得，解得. 因此，的取值范围为. 16．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为､，过点的直线交椭圆于两点. （1）若的周长为，面积的最大值为，求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左､右顶点，直线，的斜率分别为，若，求椭圆的离心率的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）由椭圆定义可得，即可求得a值，当点P位于短轴端点时，的面积最大，代入公式，即可得，根据a，b，c的关系，即可求得b，c的值，即可得答案. （2）根据题意，设，，，与椭圆联立，结合韦达定理，可得，的表达式，又，根据题意，可得，代入斜率表达式及韦达定理，化简整理，可得，即可得，根据范围，即可得答案. 【详解】（1）由椭圆定义得：，所以， 又当点P位于短轴端点时，的面积最大， 此时，即， 又，解得①时，椭圆的标准方程为， ②时，椭圆的标准方程为. （2）设，，， 由题意知直线斜率不为，且过，设， 联立，整理得， 所以()，且， 由题知， 则有， 将()代入整理得： 所以， 所以 【点睛】解题的关键是根据题意，得到表达式，代入韦达定理，化简整理，计算难度大，属中档题. 17．（2021·宁夏银川·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆C上存在点M，使． （1）求椭圆C的离心率e的取值范围； （2）若椭圆C的，设点在椭圆C上，点在的平分线上，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）故椭圆C上存在点M，使．转化为，再根据可求出离心率的取值范围； （2）利用角平分线定理以及椭圆的定义得到，再根据可求出的范围. 【详解】（1）因为椭圆上总存在点M满足， 所以以原点为圆心，半焦距c为半径的圆与椭圆总有交点， 所以，所以， 所以，即，又，所以， 所以离心率的取值范围为． （2）因为椭圆C的， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为， 因为点，且点在的角平分线上， 所以， 所以， 因为， 即， 设，则， 所以， 即， 所以， 因为点Q在线段上，所以， 所以， 所以， 所以t的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：求椭圆离心率的取值范围的关键是得到关于的不等式，本题根据可得所要的不等式. 18．（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 19．（2023·福建福州·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，. (1)求C的方程； (2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦点弦长公式得到方程，求出，得到答案； （2）在（1）基础上得到，进而求出，故轴，得到，表达出，结合，得到答案. 【详解】（1）因为过F的直线l与C交于M，N两点，故直线的斜率不为0， 不妨设l的方程为，，， 联立l与C的方程，得， ∴，， 则， ∴由题可知当时，， ∴， ∴C的方程为. （2）由（1）知， 将R的纵坐标2m代入，得， 易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P， ∴， 则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得， ∴， ∴Q，R的纵坐标相等， ∴直线轴， ∴， ∴， ∵点Q异于原点， ∴， ∵， ∴， ∴，即. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程得出直线过定点，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计算即可． 【详解】由直线得，直线过定点， 由题意得，点在椭圆上或椭圆内部， 所以，则，所以椭圆焦点在轴上， 所以， 故选：C． 2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且．若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由已知及椭圆概念，可得和，则可由表示，再由，可通过换元及函数单调性得到离心率的取值范围. 【详解】因为，所以．设，则， 在中，，所以， 即．则， 令，由，得，则， 由于函数在上单调递增， 则，所以， 即，所以， 故离心率． 故选：B． 3．（2023·广东广州·三模）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造一个底面半径为，高为的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积. 【详解】构造一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体． 当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为， 则，即，故新几何体的截面面积为． 把代入，即，解得， 故半椭球的截面面积为， 由祖暅原理，可得椭球的体积为： 圆柱圆锥． 故选：A． 二、多选题 4．（2023·山东潍坊·一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（    ） A．的渐近线方程为 B．点的坐标为 C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4 【答案】ACD 【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确； 对于B项，设，则，整理可得. 又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误； 对于C项，如上图，显然为双曲线的切线. 由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故C项正确； 对于D项，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出. 5．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点N在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（    ） A．离心率e的取值范围为 B．存在点N，使得 C．当时，的最大值为 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】根据点与椭圆的位置关系得，即可求出离心率的范围判断A项；易知必为椭圆的右顶点判断B项；根据椭圆的定义得，根据三角形的三边关系结合图象判断C项；根据椭圆的定义结合“1”的代换，根据基本不等式即可求解，判断D项. 【详解】A：由已知可得，，所以，即， 则，故，正确； B：由知，共线，故必为椭圆的右顶点， 而，即，则， 所以，不合A分析结果，错误； C：由已知且，所以，. 又，则. 根据椭圆的定义可得， 所以， 如上图示，当且仅当三点共线时取得等号，正确； D：因为. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为，错误. 故选：AC 三、填空题 6．（2023·云南曲靖·模拟预测）某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于 . 【答案】 【分析】用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线，本题水面到达杯底的瞬间，水面边缘曲线是椭圆，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面，则是椭圆的长轴，是椭圆的短轴，是圆台的轴线，作于，记与的交点为的中点为，由实际情形知，点在圆台的过轴线的中点且与轴线垂直的截面圆上，由垂径定理知垂直平分，再求椭圆的离心率即可. 【详解】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面，则是椭圆的长轴，是椭圆的短轴.是圆台的轴线，作于，则 ， ， 记与的交点为的中点为，则， ， ， ， 由实际情形知，点在圆台的过轴线的中点且与轴线垂直的截面圆上，.由垂径定理知垂直平分， ， 记椭圆的离心率为，长半轴长､短半轴长､半焦距为， 则. 故答案为：. 7．（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义构造齐次不等式求解离心率范围即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 则，又. 所以C的离心率的取值范围是. 故答案为： 8．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则，然后由函数单调性及题意可得，即可得答案. 【详解】设，则， 则， 令， 则在上单调递增，所以当时，， 要使双曲线右支上存在点满足，则. 故，即，又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 9．（2021·湖北·二模）过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2. (1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程； (2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合图像，分别求得，，从而求得，由此双曲线Γ的标准方程可求； （2）联立方程，由韦达定理得与，再由推得，由此得到关于的一个齐次方程，可求得离心率的范围，再由y1y2<0，得到关于的另一个齐次方程，缩小离心率的范围，从而得到Γ的离心率的取值范围. 【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得，， 所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，，，b2＝c2－a2＝2， 此时Γ的标准方程为. （2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c， 联立，消去，得， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，， 由AF2⊥BF2得，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0， 整理得，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0， 则(m2＋1)b4＝4a2c2，所以，故4a2c2≥(c2－a2)2， 所以c4＋a4－6a2c2≤0，两边除以，得e4－6e2＋1≤0，解得， 又因为e>1，所以，故， 又A，B在左支且l过F1，所以y1y2<0，即，故， 所以，所以， 即4a2<b2＝c2－a2，则，故e2>5，即， 综上：，即. 10．（2024·四川·一模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为. (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设直线与相关点的坐标，然后联立抛物线和直线方程，利用韦达定理计算出需要的值，最后表示出面积，计算其最值，求出即可； （2）利用抛物线中点弦定理，求出相关直线方程，然后表示出，然后找到两者关系，最后利用其关系求得通项公式即可； （3）利用等差中项的判断方式，判断数列不可能存在连续三项是等差数列. 【详解】（1）设直线， 联立，得， 得 由韦达定理可知： 由题可知： 因为面积的最小值为，且， 所以. （2）设， 由题可知，，两式求差可得 所以， 所以直线方程为，整理得 同理：方程为： 令可得 可知，方程为： 因为过焦点，所以有 方程为： 令可得 由，可知 因为， 得 取对数可得 由题可知， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以有 解得 （3）不存在，理由如下 假设存在，则一定有 因为，得 化简得 因为 显然 所以在无解； 故不存在连续的三项为等差数列. 【点睛】关键点点睛：第一问，可以利用常规的计算方式计算，也可以利用抛物线的焦点三角形的面积公式（为直线倾斜角）判断即可，最好证明该二级结论； 第二问，主要是需要找到关系，所以需要多建立直线方程，最好用相同的容易计算的方式，所以利用中点弦定理，建立方程，比较容易计算，得到，此种数列，去对数求解即可; 第三问，判断是否存在连续三项为等差数列，假设存在，然后直接用反证法证明即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$