考点64二项式定理（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点64二项式定理 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【知识点】 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…，n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 常用结论 1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2．C＝C＋C. 【核心题型】 题型一　通项公式的应用 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项 【例题1】（2024·浙江·三模）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 【变式1】（2024·四川成都·三模）的展开式中，第5项为常数项，则正整数等于（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 . 【变式3】（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题 【例题2】（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．147 B． C．63 D． 【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知的展开式中的常数项为0，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）的展开式中的常数项为 ． 【变式3】（2022·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为 . 题型二　二项式系数与项的系数问题 赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 命题点1　二项式系数和与系数和 【例题3】（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【变式2】（2024·贵州贵阳·二模）的展开式中，所有项的系数和为 ． 【变式3】（2020·江苏·模拟预测）已知 （1）求的值； （2）求的值. 命题点2　系数与二项式系数的最值问题 【例题4】（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【变式1】（2023·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【变式2】（2023·上海嘉定·一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【变式3】（2023·海南海口·一模）在的展开式中，系数最大的项为 . 题型三　二项式定理的综合应用 　二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【例题5】（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【变式1】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【变式2】（2021·上海金山·二模）若函数，其中≤x≤，则的最大值为 ． 【变式3】（2024·辽宁·三模）设数列的通项公式为，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数是 . 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．10 D．20 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）的展开式的第项的系数为 （    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 二、多选题 6．（2024·甘肃张掖·三模）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若的展开式中的常数项为60，则 D．若随机变量的方差，则 7．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知，，，若（），则n的可能值为（    ） A．6 B．8 C．11 D．13 三、填空题 8．（2023·上海浦东新·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 . 9．（2024·全国·模拟预测）在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为 ． 四、解答题 10．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知的二项式系数之和为64，则的展开式中常数项为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 2．（2024·安徽安庆·二模）的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 3．（2024·广东·模拟预测）若，则（ ） A．6 B．16 C．26 D．36 4．（2024·全国·模拟预测）已知二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2024·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2024·山东潍坊·三模）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·模拟预测）下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·福建泉州·一模）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 10．（2023·河北·三模）设，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·四川德阳·模拟预测）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 三、填空题 12．（2023·安徽黄山·三模）将展开后按的升幂排列，则第3项为 . 13．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项等于 . 14．（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，所有项的系数之和为 ，含的项的系数是 .（用数字作答） 四、解答题 15．（2022·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积. (1)求与的通项公式. (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值. 16．（2020·江苏南通·二模）设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 17．（2020·江苏扬州·三模）（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值. （2）记，， ①求； ②设，求和：. 18.（2022·江西九江·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和是243． (1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项； (2)求值． 19．（2023·江苏镇江·三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·山西·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A．112 B．56 C．28 D．16 2．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（    ） A．6 B．8 C．28 D．56 3．（2023·四川南充·一模）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 4．（2023·上海奉贤·一模）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·云南曲靖·二模）下列命题正确的是（    ） A．展开式中的系数为1 B．展开式的常数项等于20 C．展开式的二项式系数之和为64 D．展开式的系数之和为64 6．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 三、填空题 7．（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 . 8．（2023·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 四、解答题 9．（2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 10．（2024·云南大理·模拟预测）自然常数，符号，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是.设数列的通项公式为，， (1)写出数列的前三项，，． (2)证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点64二项式定理 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【知识点】 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…，n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 常用结论 1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2．C＝C＋C. 【核心题型】 题型一　通项公式的应用 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项 【例题1】（2024·浙江·三模）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先求出展开式的通项，令指数等于0，求得，即可求解. 【详解】通项为常数项， 令可得， 所以=× = 故选：B． 【变式1】（2024·四川成都·三模）的展开式中，第5项为常数项，则正整数等于（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出展开式通项，由条件列方程求. 【详解】二项式的展开式的第为， 所以， 由已知， 故选：C. 【变式2】（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解即可. 【详解】依题意，展开式中的项是. 故答案为： 【变式3】（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】5 【分析】写出展开式的通项，令的指数为即可； 【详解】由题意可知：，令，所以常数项为. 故答案为： 命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题 【例题2】（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．147 B． C．63 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得 【详解】二项式展开式中项分别为， 所以的展开式中的常数项为． 故选：C 【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知的展开式中的常数项为0，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】 根据二项式定理和多项式的乘法找到常数项的表达式求解. 【详解】二项式的通项公式为， 当时，解得，当时，解得， 所以展开式中的常数项为：， 解得. 故选：C． 【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，令，求得， 由于， 故其展开式中的常数项为 故答案为：. 【变式3】（2022·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为 . 【答案】240 【分析】先求出的展开式，然后赋值求得，即可求解常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令或，解得（舍去）或， 故所求常数项为. 故答案为：240 题型二　二项式系数与项的系数问题 赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 命题点1　二项式系数和与系数和 【例题3】（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解. 【详解】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 【变式1】（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 【变式2】（2024·贵州贵阳·二模）的展开式中，所有项的系数和为 ． 【答案】32 【分析】代入可求出所有项的系数和． 【详解】解：令，得， 所以所有项的系数和为32． 故答案为：32． 【变式3】（2020·江苏·模拟预测）已知 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据已知条件，令，求得，令，即可求得的值； （2）由二项式定理可得，求得，由，进而求得，即可求得答案. 【详解】（1）——①. 在①中，令，得. 在①中，令，得， . （2） 由二项式定理可得，，1，2，，2020. ， . ， . 【点睛】本题解题关键是掌握组合数计算方法和根据二项式定理求各项系数和步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 命题点2　系数与二项式系数的最值问题 【例题4】（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值. 【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C． 【变式1】（2023·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解. 【详解】依题意，的展开通项公式为，其系数为， 当为奇数时，才能取得最小值， 又由二项式系数的性质可知，是的最大项， 所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小. 故选：C． 【变式2】（2023·上海嘉定·一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【分析】设系数最大的项为，则可得，直接求解即可. 【详解】设系数最大的项为， 则，解得， 因为且为整数， 所以，此时最大的项为. 故答案为： 【变式3】（2023·海南海口·一模）在的展开式中，系数最大的项为 . 【答案】 【分析】分别求出和展开式系数最大的项，即可得出答案. 【详解】因为的通项为，的通项为， ∵展开式系数最大的项为， 展开式系数最大的项为， ∴在的展开式中，系数最大的项为. 故答案为：. 题型三　二项式定理的综合应用 　二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 【例题5】（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【详解】， 故 ． 前面7项均能被7整除，则被7整除余5， 故天后是星期二． 故选：B. 【变式1】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 【变式2】（2021·上海金山·二模）若函数，其中≤x≤，则的最大值为 ． 【答案】22021； 【分析】先换元，再用二项式定理展开合并求最值. 【详解】令，则有，按的升幂排列， ， ， 两者相加时，的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同， 所以，则偶数次幂的最大值为1， 所以最大值为： . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是换元思想，二是组合数的化简运算. 【变式3】（2024·辽宁·三模）设数列的通项公式为，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数是 . 【答案】 【分析】由个位数字代入通项公式可知，连续10项中有6项的个位数字为0，从而把数列中的第2017项转化到数列中的第3361项，再通过除以7余数为1，就可以推出结果. 【详解】因为，所以当的个位数字为时， 的个位数为，则在数列中，每连续10项中就有6项的个位数字为0， 而，由此推断数列中的第2017项相当于数列中的第3361项， 即，而，所以除以7余数为1， 而，，所以除以7余数也为1， 而它们的差一定能被7整除，所以被7除所得余数为0. 故答案为：0. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得， 其展开式的通项为， 令，解得， 所以其展开式的常数项为. 故选：B. 2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】D 【分析】先利用二项式系数性质求出的值，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于31，求出的值，即可求得的系数． 【详解】根据的展开式中，二项式系数的和为 ． 而 的展开式中，通项公式为， 令，求得 ，可得展开式中的系数为， 故选：D． 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）的展开式的第项的系数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项可知展开式中的第项为，代入计算可得结果. 【详解】根据二项展开式的通项可知第项为， 因此展开式的第项的系数为. 故选：C 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数公式可得，结合二项式系数和的性质计算得解. 【详解】∵ ，其中， ∴ . 故选：B. 5．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【答案】D 【分析】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 即二项式系数中第5个即最大， 所以由二项式系数的性质可知， 展开式中共项，，又， 则二项展开式的通项公式 ，. 令，所以的系数为． 故选：D． 二、多选题 6．（2024·甘肃张掖·三模）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若的展开式中的常数项为60，则 D．若随机变量的方差，则 【答案】BC 【分析】利用二项式系数的性质，即可排除A；根据全称量词命题的否定要求推理得到B；根据二项展开式的通项公式求得常数项，解方程即可求得；利用随机变量的方差的性质即可排除D. 【详解】对于A，由二项式系数的性质可得，， 且，故A错误； 对于B，根据全称量词命题的否定要求推理即得，故B正确； 对于C，因的展开式中的常数项为，解得，，故C正确； 对于D，若随机变量的方差，则,故D错误. 故选：BC. 7．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知，，，若（），则n的可能值为（    ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】BC 【分析】根据二项式展开式的通项公式以及二项式系数最大值的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 依题意，，其中， 化简得，继续化简得， 即， 依题意，，所以，解得. 故选：BC 三、填空题 8．（2023·上海浦东新·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【分析】 设第项的系数最大，列不等式求，再由通项求解即可. 【详解】设展开式的第项的系数最大， 则，解得， 所以系数最大的项为第或第项， 所以系数最大的项为： ， . 故答案为： 9．（2024·全国·模拟预测）在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为 ． 【答案】7 【分析】首先由系数最大的项为和，得，再结合二项展开式的通项公式求含x项的系数即可. 【详解】，因为系数最大的项为和，所以为奇数， ，且，解得． 所以含项的系数为． 故答案为：7 四、解答题 10．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】(1)证明见解析； (2)8 【分析】（1）根据得出，构造出，即可证明，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2），结合及二项式定理得出当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得出，利用二项式定理得出除以16的余数为除以16的余数，即可求解． 【详解】（1）当时，，又，所以， 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． （2）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知的二项式系数之和为64，则的展开式中常数项为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】C 【分析】先根据二项式系数之和求出，进一步即可得解. 【详解】由二项式系数的组合意义，，得， 则中常数项为. 故选：C. 2．（2024·安徽安庆·二模）的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则为（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质，其奇数项的二项式系数之和为进行求解. 【详解】根据题意，的展开式中奇数项的二项式系数之和为， 所以. 故选：A 3．（2024·广东·模拟预测）若，则（ ） A．6 B．16 C．26 D．36 【答案】D 【分析】由，由二项式定理，利用展开式的通项求的值. 【详解】因为，展开式的通项为， 令，可得， 所以. 故选：D. 4．（2024·全国·模拟预测）已知二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项，由，即可求出的最小值. 【详解】二项式（）的展开式的通项为（，）． 因为二项式（）的展开式中含有常数项， 所以（，）有解， 则当时，取最小值5. 故选：B 5．（2024·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】先对二项展开式中的进行赋值，得出，再将看作进行展开，再利用二项展开式特点分析即得. 【详解】令，得，令，得， 两式相减，， 因为， 其中被3整除，所以被3除的余数为1， 综上，能被3整除． 故选：D. 6．（2024·山东潍坊·三模）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 7．（2024·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的展开式的通项公式，得的展开式的项为或，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的项为或， 令时，， 令时，， 所以的展开式的常数项为， 故选：A. 8．（2023·全国·模拟预测）下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理展开进行放缩，可以判断选项A、B，利用二倍角公式和不等式性质判断选项C，利用导数的性质判断选项D. 【详解】对于A，因为 ，所以A正确; 对于B，因为 所以，所以B正确; 对于C，，所以C不正确; 对于D，构造函数, 则, 故单调递增，则, 则，所以D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·福建泉州·一模）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 【答案】AD 【分析】先根据展开式的项数确定的值，根据二项式系数的性质判断A；令可得所有项的系数和从而判断B，利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD． 【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以． 故所有项的二项式系数和为，故A正确； B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误； 因为二项展开式的通项公式为： ．. C项， 当，设项系数最大， 由，解得，则， 且，第3项系数为. 当时，，系数为1； 当时，，系数为； 由，故第3项的系数最大；故C错误； D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6， 所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确． 故选：AD. 10．（2023·河北·三模）设，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A选项，令即可求解答案； 对于B选项，令即可求解答案； 对于C选项，利用二项式定理的通式进行求解即可； 对于D选项，分别令与，然后联立方程进行求解即可. 【详解】对于A选项，令，得，解得：，故A选项正确； 对于B选项，令，得：，故B选项正确； 对于C选项，由题意可知，当时，得：，故C选项错误； 对于D选项，令，得：，由上式， 两式相加得：， 解得：，故D选项正确. 故选：ABD 11．（2024·四川德阳·模拟预测）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 三、填空题 12．（2023·安徽黄山·三模）将展开后按的升幂排列，则第3项为 . 【答案】 【分析】展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项，求出的通项公式，令和，求解即可得出答案. 【详解】的通项公式为， 展开后按的升幂排列，则第3项即为含的项， ， 令，则，令，则， 所以的系数为：. 故答案为： 13．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项等于 . 【答案】280 【分析】对于一个多项式与一个二项式相乘的展开式的项的问题，一般先考虑二项式展开式的通项，根据通项的特征，搭配多项式中的各项按要求进行组合，找到所有符合题意的项即得. 【详解】因展开式的通项为：， 故的展开式中的常数项为. 故答案为：280. 14．（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，所有项的系数之和为 ，含的项的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】令，可得出所有项的系数之和；利用二项展开式通项可求得展开式中含的项的系数. 【详解】在的展开式中，所有项的系数之和为， 展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：；. 四、解答题 15．（2022·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积. (1)求与的通项公式. (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，，即可得出答案； （2）由（1），设，结合二项式定理可得数列的通项，再根据等比数列前项和公式即可得解. 【详解】（1）解：（1）由， 当时， 当时，， 当时，上式也成立， 所以， 由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）解：设 ，，为得正整数倍， 故当为奇数时，，故公共项为， ∴，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列， 则. 16．（2020·江苏南通·二模）设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大； （2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可； （3）根据，将左边利用倒序相加法求和. 【详解】解：（1），通项为：， 故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为； （2） ； （3）证明：令①， 则， 所以②， ①②得：，∴. 【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.属于中档题. 17．（2020·江苏扬州·三模）（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值. （2）记，， ①求； ②设，求和：. 【答案】（1）；（2）①；②. 【分析】（1）根据的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，得到求解. （2）①由题意可得，再令求解；②由题意知，根据，解得，结合组合数性质，然后求和即可. 【详解】（1）∵的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4， ∴，即，解得. （2）①由题意， 令，得； ②由题意，又， ∴， ∴ ， ∴ . 【点睛】本题主要考查二项式系数，项的系数以及组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.（2022·江西九江·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和是243． (1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项； (2)求值． 【答案】(1)，展开式中二项式系数最大的项为与 (2)121 【分析】（1）令可得n的值，再根据二项式系数的公式分析二项式系数最大项即可； （2）由（1），即求，再根据的展开式，令化简求解即可 【详解】（1）由题意，令有，解得，故展开式中二项式系数中最大的为，为第3项与第4项，即展开式中二项式系数最大的项为与 （2）由（1），即求， ，故令有，故 19．（2023·江苏镇江·三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据利用可得，利用等差数列定义可求得； （2）选择①②都可以得到新组成的数列是原来数列的偶数项，利用等比数列前项和公式即可得. 【详解】（1）因为数列满足①， 当时，，解得； 当时，，② ②-①得，即 因，所以，从而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 因为等差数列满足.所以. 设公差为，则，解得. 所以. 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为； （2）若选①，则有. 所以取出的项就是原数列的偶数项， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以； 若选②，则有， 因为 所以当时，对应的， 由二项展开式可知 能被3 整除， 此时为整数，满足题意； 当时，对应的， 由二项展开式可知 所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意； 所以取出的项就是原数列的偶数项， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·山西·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A．112 B．56 C．28 D．16 【答案】A 【分析】由二项展开式的通项公式即可得到常数项. 【详解】由题意知，通项公式为， 所以常数项为. 故选：A. 2．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（    ） A．6 B．8 C．28 D．56 【答案】C 【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项． 【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以， 则二项式的展开式的通项公式为（且）， 令，解得， 所以，故的展开式中的常数项为28， 故选：C． 3．（2023·四川南充·一模）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 【答案】B 【分析】直接利用二项式定理展开式的通项求解即可. 【详解】展开式的通项为， 所以， 常数项为， 故选：B. 4．（2023·上海奉贤·一模）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 故选：C. 二、多选题 5．（2024·云南曲靖·二模）下列命题正确的是（    ） A．展开式中的系数为1 B．展开式的常数项等于20 C．展开式的二项式系数之和为64 D．展开式的系数之和为64 【答案】ABC 【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算可判断选项A,B；根据二项式系数之和为可判断选项C；令，可得所有项系数之和进而判断选项D. 【详解】对于选项A：由展开式的通项为, 令，解得，所以含的项为此时系数为1，故A正确； 对于选项B：由展开式的通项为, 令，解得，所以常数项为故B正确； 对于选项C：由可知，所以二项式系数之和为，故C正确； 对于选项D：令，可得所有项系数之和为，故D错误. 故选：ABC. 6．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 【答案】AB 【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D. 【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 7．（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 . 【答案】30 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数. 【详解】展开式的通项表达式为， 当时，， . 故答案为:30. 8．（2023·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用展开式求. 【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，即， 则的通项公式为， 令，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 【答案】(1)5 (2)，． 【分析】（1）先求出展开式的通项，从而可求出等比数列的首项与公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）先求出等差数列的首项和公差，进而可求出等差数列的通项，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】（1）二项式展开式的通项公式为：， 因为， 所以， 所以, 故； （2）由（1）知，等差数列首项，公差， 所以等差数列的通项公式为， 等差数列的前项和为． 10．（2024·云南大理·模拟预测）自然常数，符号，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是.设数列的通项公式为，， (1)写出数列的前三项，，． (2)证明：． 【答案】(1)；； (2)证明见解析 【分析】（1）由数列的通项公式为，直接写出即可； （2）由二项式定理将展开变形，通过适当放缩，可证得，可得是上的单调递增数列，则；再证得，即可得到． 【详解】（1）由通项公式得， ；；. （2）由二项式定理得 ， 所以是上的单调递增数列， 因为，则； 又 ， 综上可知，． 【点睛】关键点点睛：将展开，分出1后，将其放大得到，即证出是上的单调递增数列，得到，将逐步放大，得到，即可的证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$