考点63排列与组合（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点63排列与组合 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题． 【知识点】 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 2.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 常用结论 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 【核心题型】 题型一　排列问题 对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 【例题1】（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种. 【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 【变式1】（2024·海南海口·模拟预测）海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（    ） A．24种 B．48种 C．98种 D．120种 【答案】B 【分析】先排特殊，再一般，最后按照计数原理计算即可. 【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有种； 再安排剩下四天的行程有，所以一共有种安排方法. 故选：B 【变式2】（2024·上海闵行·一模）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【答案】144 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 【变式3】（2022·江西九江·模拟预测）A，B，C，D，E五人站成一排． (1)A，B两人相邻的不同排法有多少种？ (2)A，B，C两两不相邻的排法有多少种？ (3)A，B都与C相邻的不同排法种数有多少种？ (4)A，B，C顺序一定的排法有多少种？ 【答案】(1)48 (2)12 (3)12 (4)20 【分析】（1）先将，全排列，再将，看成一个整体与，，全排列； （2）先将，全排列，再将，，排列在，形成的三个空中； （3）先将，排列在的两旁，再将，，看成一个整体与，全排列； （4）因为,，顺序一定，则只需将，位置找到并排列即可. 【详解】（1）第一步：将，全排列有：种不同的排法； 第二步：将，看成一个整体再与，，全排列有：种； 由分步计数原理得，共有种不同的排法. （2）第一步：将，全排列有：种不同的排法； 第二步：将，，全排列进，形成的三个空中有：种； 由分步计数原理得，共有种不同的排法. （3）第一步：将，排列在的两旁有：种不同的排法； 第二步：将，，看成一个整体再与，全排列有：种； 由分步计数原理得，共有种不同的排法. （4）因为，，顺序一定，则只需将，位置找到并排好即可，则有：种不同的排法. 题型二　组合问题 组合问题常有以下两类题型 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 【例题2】（2024·河北邯郸·模拟预测）两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（   ） A．80 B．70 C．40 D．35 【答案】B 【分析】按总局数为4局，5局，6局，7局分类讨论，将结果相加即可. 【详解】因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局， 若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种； 若赛6局，则有种；若赛7局，则有种； 综上所有赛事情况种数为种， 故选：B 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 【答案】B 【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决. 【详解】设，，， 则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数. 因为方程：的解的组数为：； 的解的组数为：； … 的解的组数为：. 所以原不等式解的组数为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为. 【变式2】（2023·陕西咸阳·一模）如图，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是 . 【答案】 【分析】根据排列组合计算个数，即可利用古典概型的概率公式求解． 【详解】从8个点中任取3个点，共有种情况， 这三个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种， 则所求的概率． 故答案为： 【变式3】（2021·河南·三模）某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情.某医院呼吸科共有3名医生，4名护士. （1）若从中选派3人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，求不同的选派方案数； （2）若从中选派4人分别去两个地方支援抗疫一线，每个地方要求医生和护士均有，求不同的选派方案数. 【答案】（1）30种；（2）72种. 【分析】（1）分两种情况，1名医生，2名护士和2名医生，1名护士求解即可； （2）先选出2名医生2名护士，再将这2名医生2名护士分配到两个地方. 【详解】（1）选派3人去支援抗疫一线，方案有下列两种情况: 第一种情况，1名医生，2名护士，有种； 第二种情况，2名医生，1名护士，有种. 所以共有种选派方案. （2）先选出2名医生2名护士，共种， 再将这2名医生2名护士分配到两个地方，有种， 则共有种选派方案. 题型三　排列与组合的综合问题 　求解排列、组合应用问题的常用方法 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 命题点1　相邻、相间问题 【例题3】（2023·山西临汾·模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种 【答案】C 【分析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，分E和F站在前排或后排，利用捆绑法结合排列数、组合数运算求解. 【详解】由题意可知：D站在前排，A站在后排， 若E和F站在前排，则不同的排列方式共有； 若E和F站在后排，则不同的排列方式共有； 所以不同的排列方式共有种. 故选：C. 【变式1】（2024·全国·模拟预测）有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有（    ） A．144种 B．240种 C．288种 D．336种 【答案】C 【分析】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6，选一对双胞胎相邻，分类讨论这对双胞胎分别站在1，2号、2，3号、4，5号、5，6号和3，4号的情况，利用分类加法计数原理即可得解. 【详解】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6， 当恰有一对双胞胎站在1，2号， 则再选一对双胞胎站在3，5号，另外一对双胞胎站在4，6号即可， 且每对双胞胎中的两人可以交换位置，从而有种站法； 当恰有一对双胞胎站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样， 从而共有种站法； 当恰有一对双胞胎站在3，4号，则从余下的两对双胞胎中各任选一人站在1，2号即可， 从而有种站法． 综上可知，总站法有（种）． 故选:C． 【变式2】（2023·湖南邵阳·二模）在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有 个． 【答案】36 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解． 【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻， 两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素， 那么小明可以设置的不同密码共有． 故答案为：36. 【变式3】将字母a，A，b，B，c，C排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为 ． 【答案】288 【分析】先讨论Aa相邻的情况，再求出Bb、Cc相邻的情况，加起来即可. 【详解】首先讨论Aa相邻，剩下的4个字母排列有如下情况： bcBC、cbCB、bCBc、CbcB、BcbC、cBCb、BCbc、CBcb共8种可能， 任取8种中的一种与Aa组合，共有种， 此时Aa相邻共有种； bcCB，bCcB，BcCb，BCcb，CbBc，CBbc，cbBC，cBbC，8种情况， 任取8种中的一种与Aa组合，共有种，此时Aa相邻共有种； 所以Aa相邻共有种 同理，Bb相邻共有96种，Cc相邻共有96种，所以共有288种. 故答案为：288 命题点2　定序问题 【例题4】（2024·黑龙江佳木斯·三模）佳木斯市第一中学为丰富学生课余生活，利用大课间时间举行阳光体育活动，有多项趣味体育运动，某班有5位同学想参加旋风接力跑，趣味毛毛虫，企鹅漫步这三项活动，已知这5位同学每位学生只能选择一个项目参加，且每个项目都有同学参加，若同学A和B必须选择同一项比赛，则不同的选法种数是（    ） A．81 B．54 C．36 D．18 【答案】C 【分析】根据题意把同学A和B捆绑一起与其余三个学生分成三组，然后三个项目对应三组同学利用排列组合计算即可 【详解】根据题意把同学A和B捆绑一起与其余三个学生分成三组，即， 三个项目对应三组同学，即, 故选：C 【变式1】（2024·河北·三模）小李买了新手机后下载了4个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且和放在同一排，则不同的排列方式有（    ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 【答案】D 【分析】分两种情况，①和单独放一排，②和与或其中的一个放一排，再结合排列组合知识求解． 【详解】分两种情况讨论： ①和单独放一排，有种排列方式， ②和与或其中的一个放一排，有种排列方式， 所以不同的排列方式有种． 故选：D． 【变式2】（2024·上海·三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 个 【答案】840 【分析】根据题意先分类然后分步，进而结合排列、组合即可求解. 【详解】1~9这九个数字中由5个奇数和4个偶数， 要使四位数满足各个数位上数字和为偶数的奇数，则个位数字必须为奇数， 前三位数字由1个奇数和2个偶数或3个奇数组成， 所以，. 故答案为：. 【变式3】（2024·云南·模拟预测）某宾馆安排五人入住4个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则共有 种不同的安排方法.（用数字作答） 【答案】216 【分析】根据5个人住4个房间，每个房间至少住1人，则有一个房间住两人求出满足条件的方法种数. 【详解】5个人住4个房间，每个房间至少住1人，则有一个房间住两人， 种. 故答案为：216. 命题点3　分组、分配问题 【例题5】（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个袋子中出现，那么不同的方案数为（    ） A．3000 B．3360 C．1440 D．1560 【答案】A 【分析】根据已知先分类讨论再排列得出结果. 【详解】依次记四种奶糖为，则每个字母出现2次，先分堆． 若是“”，则其中的“4”必须是，故有1种可能； 若是“”，则考虑，故有种可能； 若是“”，则考虑，故有种可能， 所以不同的方案数为种． 故选:A． 【变式1】（2024·江西宜春·模拟预测）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有（    ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 【答案】B 【分析】先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可． 【详解】解：先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可， 若志愿者人数依次为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为：种； 若志愿者人数依次为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为：种， 故不同的安排方法共有种． 故选：B． 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为 .（用数字作答） 【答案】600 【分析】先选司机，再选副驾，结合分类分布计数原理计算即可求解. 【详解】先选司机有种，再选副驾， 若副驾坐人，则有种； 若副驾不坐人，则有种， 故不同的坐法种数为. 故答案为：600 【变式3】（2023·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案. 【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和， 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种； 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种， 所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种. 故答案为：. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 【答案】C 【分析】利用分类加法计数原理，结合分组分配问题和排列组合知识求解． 【详解】由题意可知，分两种情况讨论， ①工厂安排1人，有种， ②工厂安排2人，有种， 所以不同的安排方法有种． 故选：C． 2．（2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出所有可能情况及符合要求的情况即可得. 【详解】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个的不同选取方法有种， 其中选取的4个顶点在同一个平面内的不同选取方法有种， 则所求概率． 故选：C. 3．（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概型求出概率即可. 【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为；， 由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为：， 所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为. 故选：D 4．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案. 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 5．（2024·广东·模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n个不同元素围成的环状共有 种排法求解. 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法， 由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法. 甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 二、多选题 6．（23-24高二上·四川·阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（    ） A．只有1人未参加服务的选择种数是30种 B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C．只有1人未参加服务的选择种数是60种 D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 【答案】AD 【分析】 有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案. 【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法， 再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法， 故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误； 恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法， 再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法， 故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确， 故选：AD 7．（2023·吉林·三模）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（    ） A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法 B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法 C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法 D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法 【答案】AD 【分析】选项A、B根据组合及分步计数原理的知识可列出表达式，进行计算可得结果；选项C、D可采用间接的方法，先计算出反面一共有多少种，然后用总的种数减去反面的种数即可得到结果． 【详解】对选项A, 依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有种．所以该选项正确； 对选项B, 依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有种．所以该选项不正确； 对选项C, 依题意，要从7名同学中选取4人，一共有种，而甲乙都不在内一共有种， 甲与乙至少要有1人在内有种．所以该选项错误； 对选项D, 依题意，假设全是男生一共有种，全是女生的情况没有， 既有男生又有女生一共有种．所以该选项正确. 故选：AD 三、填空题 8．（2024·贵州六盘水·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学去三个不同的地方参加社会实践活动，要求每个地方至少有一名同学参与，且每人只能去一个地方，则一共有 种不同的分配方案（用数字作答） 【答案】 【分析】先分成三组，再对三组进行分配即可得. 【详解】先将四名同学分成人、人、人三组，则有种分法， 再将三组人随机分配至三个不同的地方有种分法， 故共有种不同分配方案. 故答案为：. 9．（2024·陕西西安·模拟预测）公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字作答） ． 【答案】 【分析】利用分步计数原理，先求出从甲、乙两部门各选2名职工的选法和将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项的分法，即可求出结果. 【详解】因为从甲、乙两部门各选2名职工，且所选的4名职工是2男2女，有种选法， 又将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，有种分法， 所以不同的分配方案种数为. 故答案为：. 10．（2024·河南新乡·一模）如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种． 【答案】401 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算得解. 【详解】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有种； 当路线经过点时，从到有种，从到有1种， 所以不同的走法共有（种）. 故答案为：401 【点睛】方法点睛：解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)，分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. 四、解答题 11．为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人，问： （1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？ （2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？ （3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？ 【答案】（1）240（2）240（3） 【详解】解:(1)甲，乙必须去，但丙不去的选派方案种数为： (2)甲必须去，但乙和丙都不去的选派方案种数为： (3)甲、乙、丙都不去的选派方案种数为 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·四川内江·模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（    ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 【答案】C 【分析】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列， 故不同排列方式共有（种）. 故选：C 2．（2024·广东·二模）8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（    ） A．28 B．2520 C．105 D．128 【答案】C 【分析】直接由排列组合知识求解即可. 【详解】由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价， 则所有可能的分组方案数量是. 故选：C. 3．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两个原理，结合排列、组合应用列式计算即可. 【详解】①A校去乙地有种； ②A校与另一所学校去丙地有种， ③A校单独去丙地有种， 所以共有种， 故选：B． 4．（2024·江西·模拟预测）将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列组合公式结合古典概型的概率公式即可求解． 【详解】将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有种， 其中，2个1不相邻的情况有种， 故所求概率为． 故选：A. 5．（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（    ） A．52 B．72 C．76 D．100 【答案】D 【分析】分类讨论与甲为一组的人数情况，结合分组分配问题的解法即可得解. 【详解】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2， 则不同的选择方案有种； 若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2， 则不同的选择方案有种； 若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1， 则不同的选择方案有种； 所以共有种选择方案. 故选：D. 6．（2024·四川德阳·模拟预测）甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（    ） A．144 B．192 C．360 D．480 【答案】B 【分析】分2步进行分析：①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间；②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，由分步计数原理计算即可． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间，有种情况； ②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有种排法； 则有种不同的站法． 故选：B 7．（2024·四川巴中·模拟预测）有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选出1个志愿者参加两天的服务，再从剩下的3人中抽取2人参加服务，再结合古典概型计算概率即可. 【详解】不妨设4名志愿者分别假设连续参加两天的社区服务，剩下的3人中抽取2人参加服务，共有种方法， 所以恰好有1人连续参与两天服务的总数为：种. 总的情况数为种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为. 故选：B. 8．（2024·江西新余·模拟预测）小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用隔板法求出，再根据部分平均分组法计算出，即可求解. 【详解】根据题意将个完全相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球， 利用隔板法共有种放法，所以； 将个完全不同的球放入个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个球， 可以将个球分成组，有和两种分组方法， 按分组时，有种放法，按分组时，有种放法， 所以，所以. 故选：B 二、多选题 9．（2024·四川眉山·一模）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解. 【详解】对于A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故A正确； 对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜， 所以甲胜的概率小，所以游戏不公平，故B错误； 对于C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故C正确； 对于D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的，故D正确. 故选：ACD 10．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 【答案】ACD 【分析】利用捆绑法解决选项A，利用插空法解决选项BC，利用特殊元素优先法解决选项D. 【详解】选项A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列， 则有（种），故A正确； 选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法， 先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中， 则有（种），故B错误； 选项C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中， 则有（种），故C正确； 选项D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中， 先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列， 则有（种），故D正确. 故选：ACD. 11．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则， B．假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，两个孩子都是女孩的概率是 C．份不同的礼物分配给甲乙丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法 D．个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法 【答案】ABD 【分析】对A，利用均值方差的性质即可得到判断；对B，利用列举法即可判断；对C，根据先分组，再排列即可判断；对D，利用隔板法即可. 【详解】对于A，若离散型随机变量的数学期望为，方差为， 则，，A正确； 对于B，假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中， 设两个孩子为甲和乙，则两个孩子的性别可能为：①甲为男孩，乙为男孩；②甲为男孩，乙为女孩； ③甲为女孩，乙为男孩；④甲为女孩，乙为女孩，共种情况， 两个孩子都是女孩只占其中种情况，故两个孩子都是女孩的概率是，B正确； 对于C，份不同的礼物分成组的方式只有，，，所以只有种情况， 再分配给三人，有种方式， 最后根据分步乘法计数原理可知，共有种不同分法，C错误； 对于D，个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额， 采用挡板法可知在9个空格里放置3个空格，共有种不同分法，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【答案】20 【分析】分甲和乙站前排，丙站后排和甲和乙站后排，丙站后排两类情况,根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解. 【详解】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）； 当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种）， 所以不同的站法共有（种）． 故答案为:20. 13．（2024·甘肃白银·一模）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 . 【答案】 6 5880 【分析】通过新定义，结合组合数即可求解. 【详解】如图，将这7个点均用线段两两相连，有条线段，每个点的度数均为6. 若将这7个点用17条线段两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线段最多删掉3条， 所以不同的图形的数量为. 故答案为：6；5880. 14．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 【答案】 【分析】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、，对、、取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得. 【详解】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、， 若、、都没有取到，则有种不同的取法； 若、、取到一个，则有种不同的取法； 若、、取到两个，则有种不同的取法； 若、、取到三个，则有种不同的取法； 综上可得一共有种不同的取法. 故答案为： 四、解答题 15．（2022·甘肃兰州·一模）（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？ （2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）35（2）120 【分析】（1）因为没有顺序，结合组合数运算求解； （2）因为有顺序，结合排列数运算求解. 【详解】（1）由题意可知：因为没有顺序，应根据组合数运算，所以共有种不同的选法； （2）由题意可知：因为有顺序，应根据排列数运算，所以共有种不同的选法. 16．（2023·广东深圳·模拟预测）某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼. (1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率； (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率； (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据组合知识，利用古典概型概率公式求解即可； （2）根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可； （3）根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可； 【详解】（1）一次取出2个月饼，共有种方法，其中两个都是五仁的有种方法，两个都是枣泥的有种方法，两个月饼为同一种口味的概率为； （2）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，其中求第1次､第2次取到的取到都是五仁月饼的有种方法，所以第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率是； （3）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，第1次取五仁､第2次取到枣泥月饼的方法有种，第1次取到枣泥､第2次也取到枣泥月饼的方法有种，所以第2次取到枣泥月饼的概率为. 17．（2022·四川内江·三模）2021年某省约有28万理科考生参加高考，除去成绩在630分及以上的8145人与成绩在430分以下的103600人，还有约16.81万理科考生的成绩集中在内，其成绩的频率分布如下表所示： 分数段 频率 0.23 0.25 0.24 0.18 0.10 (1)请估计该次高考理科考生成绩在内的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取7名考生进行电话访问，再从被电话访问的7名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率． 【答案】(1)516.8 (2) 【分析】（1）根据平均值的公式求解即可； （2）根据分层抽样按比例可得在分数段的考生中应抽取4名，在分数段的考生中应抽取3名，至少有2名分数不低于550分，即有2名或3名考生的分数来自分数段，进而求解. 【详解】（1）该次高考理科考生成绩在内的平均分的估计值为 （2）分数段在和的考生人数的比值为， ∴按分层抽样方法在分数段的考生中应抽取名， 在分数段的考生中应抽取名， 在抽取的7名考生中再随机抽取3名进行问卷调查的情况种数， 进行问卷调查的3名考生中有3名分数不低于550分的情况种数， 进行问卷调查的3名考生中有2名分数不低于550分的情况种数， ∴进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率. 18．（2024·全国·模拟预测）产品质量是开拓市场，提升销量的制胜法宝．某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关．现有一批产品，共计件，由于生产设备发生严重故障，导致次品率达到．现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场． (1)若，质检员从中任选两件，求这两件产品都是正品的概率． (2)记“质检件产品，正品数高于次品数”的概率为．若，求的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出随机试验“质检员从8件产品中任选两件产品”的样本空间中的样本点的个数， 再求事件两件产品都是正品所包含的样本点个数，利用古典概型概率公式求概率； （2）利用古典概型概率公式求，比较确定的最大值． 【详解】（1）若，记“这两件产品都是正品”为事件A， 随机试验“质检员从8件产品中任选两件产品”的样本空间中共含有个样本点， 事件包含个样本点， 由古典概型概率公式可得． （2）若，则8件产品中有4件正品、4件次品． 若质检2件，则． 若质检4件，则． 若质检6件，则． 所以当时，的最大值为． 19．（2023·全国·模拟预测）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 (1)证明是卡特兰数； (2)求的通项公式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）若先走到，则合法路径，一直累积计算到合法路径总数为，则其为卡特兰数； （2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点，记第一个交点为，通过对称得到总路线和不合法路线，两者相减即可. 【详解】（1）若先走到则合法路径， 若先走到且不走到， 相当于走到后向右走到再走到， 合法路径 若先走到且不走到， 相当于走到后再从走到， 合法路径， 于是，即为卡特兰数. （2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点， 记第一个交点为， 将之后的路径都沿着对称， 那么这条不合法路径的终点成为了， 于是总路线为，不合法路线为， 合法路径为， 即. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解. 【详解】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况. 故选：B 2．（2024·浙江杭州·三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可. 【详解】依据题意，分两种情况讨论， 情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻， 当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种， 当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种， 情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位， 若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种， 若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种， 故符合题意的情况有种，故B正确. 故选：B. 3．（2024·福建泉州·二模）2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列组合公式，还需要用到分类计数加法原理和分步计数乘法原理，因为遇到不相邻问题，还得用插空法原理. 【详解】由题意知这6幅作品排成两排挂在同一面墙上的不同挂法有：种， 由于美术作品不相邻，按以下情形分类： ①美术作品挂在第一排的不同挂法有：种； ②美术作品分挂在两排的不同挂法有：种； 所以美术作品不相邻的概率是：， 故选：C. 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法写出符合题意的填写方法，然后根据概率公式计算． 【详解】符合题意的填写方法有如下8种： 而9个数填入9个格子有种方法 所以所求概率为， 故选：A． 5．（2024·湖南衡阳·一模）某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（    ）个人. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分步计数原理及排列，先求得选取个人中生肖均不相同概率，再求出，即可求解. 【详解】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况， 若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率， 要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即， 由于，即随n随n的增大而减小， ，，故至少要选个人， 故选：C. 二、多选题 6．（2021·海南·三模）从，，，，，中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（    ） A．奇数有个 B．包含数字的数有个 C．个位和百位数字之和为的数有个 D．能被整除的数有个 【答案】AD 【分析】对于A，先排好个位数，再排十位和百位，故可求排列数，故可判断A的正误.对于B，可从余下的5个数中选择两个，再全排列后可得所求的排列数，故可判断B的正误.对于C，可就个位、百位的数字分类讨论，从而可得所求的排列数，故可判断C的正误； 对于D，可根据各数字之和为3的倍数分类讨论后可得所求的排列数，故可判断D的正误. 【详解】对于A，先从，，中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，一共有个，故正确； 对于B，先从以外的数中任取个，对个数全排列，一共有个，故错误； 对于C，个位和百位的数可以是，，顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，所以一共有个，故错误； 对于D，要使组成的数能被整除，则各位数之和为的倍数，取出的数有，，，，，，，，共种情况，所以组成的能被整除的数有个，故正确． 故选：AD. 7．（2024·全国·模拟预测）将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则这样的数列共有360个 B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个 C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个 D．若，，，则这样的数列共有71个 【答案】ACD 【分析】根据对称性可得，即可判断A；对于B：对的位置分类讨论即可得答案；对于C：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断C；对于D，分、、三种情况讨论即可判断. 【详解】对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确； 对于B：从中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 故满足条件的总个数为：个，故B错误． 对于C：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻， 则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故C正确； 对于D：若，则先从其余6个数中任选2个数作为且，有种方法， 剩余4个数中最大的为，剩下的3个数任取2个作为且，有种方法， 则这样的数列有个， 若，则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为且，有种方法， 剩余4个数中最大的为，，剩下的2个数任取1个作为或即可，有种方法，则这样的数列有个， 若，则先从除去1、2之外的4个数中任选2个数作为且，有种方法， 剩余4个数位置固定的一种排法，其中，则这样的数列有个， 所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 8．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 【答案】48 【分析】元素相邻问题运用捆绑法求解. 【详解】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 9．（2024·河南濮阳·模拟预测）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有 种（用数字作答）． 【答案】276 【分析】根据给定条件，按甲参加与甲不参加分类，再结合有限制条件的排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况， 当甲参加时，有种选派方法，当甲不参加时，有种选派方法， 所以不同选派方法种数是. 故答案为：276 四、解答题 10．（2011·西藏拉萨·模拟预测）4个男生，3个女生站成一排. (Ⅰ)3个女生两两相邻，有多少种不同的站法. (Ⅱ)3个女生两两不相邻，有多少种不同的站法. (Ⅲ)甲乙二人之间恰好有三个人,有多少种不同的排法. 【答案】(Ⅰ)720；(Ⅱ)1440；(Ⅲ)720. 【分析】(Ⅰ)3个女生必须排在一起,利用捆绑法,问题得以解决, (Ⅱ)任何两个女生彼此不相邻,利用插空法,故问题得以解决, (Ⅲ)甲、乙先排好后,再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间,再根据分步计数原理,问题得以解决. 【详解】(Ⅰ)先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有种. (Ⅱ)男生排好后,5个空再插女生有种. (Ⅲ)甲、乙先排好后,再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间,把排好的5个元素与最好的2个元素全排列,分步有种. 【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点63排列与组合 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题． 【知识点】 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 2.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 常用结论 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 【核心题型】 题型一　排列问题 对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 【例题1】（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【变式1】（2024·海南海口·模拟预测）海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（    ） A．24种 B．48种 C．98种 D．120种 【变式2】（2024·上海闵行·一模）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【变式3】（2022·江西九江·模拟预测）A，B，C，D，E五人站成一排． (1)A，B两人相邻的不同排法有多少种？ (2)A，B，C两两不相邻的排法有多少种？ (3)A，B都与C相邻的不同排法种数有多少种？ (4)A，B，C顺序一定的排法有多少种？ 题型二　组合问题 组合问题常有以下两类题型 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 【例题2】（2024·河北邯郸·模拟预测）两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（   ） A．80 B．70 C．40 D．35 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 【变式2】（2023·陕西咸阳·一模）如图，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是 . 【变式3】（2021·河南·三模）某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情.某医院呼吸科共有3名医生，4名护士. （1）若从中选派3人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，求不同的选派方案数； （2）若从中选派4人分别去两个地方支援抗疫一线，每个地方要求医生和护士均有，求不同的选派方案数. 题型三　排列与组合的综合问题 　求解排列、组合应用问题的常用方法 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 命题点1　相邻、相间问题 【例题3】（2023·山西临汾·模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种 【变式1】（2024·全国·模拟预测）有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有（    ） A．144种 B．240种 C．288种 D．336种 【变式2】（2023·湖南邵阳·二模）在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有 个． 【变式3】将字母a，A，b，B，c，C排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为 ． 命题点2　定序问题 【例题4】（2024·黑龙江佳木斯·三模）佳木斯市第一中学为丰富学生课余生活，利用大课间时间举行阳光体育活动，有多项趣味体育运动，某班有5位同学想参加旋风接力跑，趣味毛毛虫，企鹅漫步这三项活动，已知这5位同学每位学生只能选择一个项目参加，且每个项目都有同学参加，若同学A和B必须选择同一项比赛，则不同的选法种数是（    ） A．81 B．54 C．36 D．18 【变式1】（2024·河北·三模）小李买了新手机后下载了4个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且和放在同一排，则不同的排列方式有（    ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 【变式2】（2024·上海·三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 个 【变式3】（2024·云南·模拟预测）某宾馆安排五人入住4个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则共有 种不同的安排方法.（用数字作答） 命题点3　分组、分配问题 【例题5】（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个袋子中出现，那么不同的方案数为（    ） A．3000 B．3360 C．1440 D．1560 【变式1】（2024·江西宜春·模拟预测）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有（    ） A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为 .（用数字作答） 【变式3】（2023·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答） 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 2．（2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 5．（2024·广东·模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 二、多选题 6．（23-24高二上·四川·阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（    ） A．只有1人未参加服务的选择种数是30种 B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C．只有1人未参加服务的选择种数是60种 D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 7．（2023·吉林·三模）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（    ） A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法 B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法 C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法 D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法 三、填空题 8．（2024·贵州六盘水·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学去三个不同的地方参加社会实践活动，要求每个地方至少有一名同学参与，且每人只能去一个地方，则一共有 种不同的分配方案（用数字作答） 9．（2024·陕西西安·模拟预测）公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字作答） ． 10．（2024·河南新乡·一模）如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有 种． 四、解答题 11．为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人，问： （1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？ （2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？ （3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？ 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·四川内江·模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（    ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 2．（2024·广东·二模）8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（    ） A．28 B．2520 C．105 D．128 3．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 4．（2024·江西·模拟预测）将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（    ） A．52 B．72 C．76 D．100 6．（2024·四川德阳·模拟预测）甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（    ） A．144 B．192 C．360 D．480 7．（2024·四川巴中·模拟预测）有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江西新余·模拟预测）小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（     ）. A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·四川眉山·一模）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 10．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 11．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则， B．假定生男孩、生女孩是等可能的，在一个有两个孩子的家庭中，两个孩子都是女孩的概率是 C．份不同的礼物分配给甲乙丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法 D．个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法 三、填空题 12．（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 13．（2024·甘肃白银·一模）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 . 14．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 四、解答题 15．（2022·甘肃兰州·一模）（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？ （2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？ 16．（2023·广东深圳·模拟预测）某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼. (1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率； (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率； (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率. 17．（2022·四川内江·三模）2021年某省约有28万理科考生参加高考，除去成绩在630分及以上的8145人与成绩在430分以下的103600人，还有约16.81万理科考生的成绩集中在内，其成绩的频率分布如下表所示： 分数段 频率 0.23 0.25 0.24 0.18 0.10 (1)请估计该次高考理科考生成绩在内的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取7名考生进行电话访问，再从被电话访问的7名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率． 18．（2024·全国·模拟预测）产品质量是开拓市场，提升销量的制胜法宝．某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关．现有一批产品，共计件，由于生产设备发生严重故障，导致次品率达到．现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场． (1)若，质检员从中任选两件，求这两件产品都是正品的概率． (2)记“质检件产品，正品数高于次品数”的概率为．若，求的最大值． 19．（2023·全国·模拟预测）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 (1)证明是卡特兰数； (2)求的通项公式． 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 2．（2024·浙江杭州·三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2024·福建泉州·二模）2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南衡阳·一模）某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（    ）个人. A． B． C． D． 二、多选题 6．（2021·海南·三模）从，，，，，中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（    ） A．奇数有个 B．包含数字的数有个 C．个位和百位数字之和为的数有个 D．能被整除的数有个 7．（2024·全国·模拟预测）将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则这样的数列共有360个 B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个 C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个 D．若，，，则这样的数列共有71个 三、填空题 8．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 9．（2024·河南濮阳·模拟预测）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有 种（用数字作答）． 四、解答题 10．（2011·西藏拉萨·模拟预测）4个男生，3个女生站成一排. (Ⅰ)3个女生两两相邻，有多少种不同的站法. (Ⅱ)3个女生两两不相邻，有多少种不同的站法. (Ⅲ)甲乙二人之间恰好有三个人,有多少种不同的排法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$