精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2024-2025学年上学期期末质量检测九年级数学试卷

昆一中西山学校2024-2025学年上学期期末质量检测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，分别判断各几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：A．三棱柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意； B．长方体的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意； C．三棱锥的主视图为三角形，左视图也是三角形，故选项正确，符合题意； D．圆柱的主视图为矩形，左视图也是矩形，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. “概率为的事件”是不可能事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 D. “关于的方程是一元二次方程”是必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，一元二次方程的定义，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生和可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：A、“概率为的事件”是随机事件，原说法错误，不符合题意； B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，原说法正确，符合题意； C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、“关于的方程是一元二次方程”是随机事件，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3. 已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣ B. m≥﹣ C. m＞﹣且m≠0 D. m≥﹣且m≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，可得△＝12﹣4m×（﹣1）＞0且m≠0． 【详解】解：∵原函数是二次函数， ∴m≠0． ∵二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则 △＝b2﹣4ac＞0， △＝12﹣4m×（﹣1）＞0， ∴m＞﹣． 综上所述，m的取值范围是：m＞﹣且m≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟记当△=b2-4ac＞0时图象与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时图象与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＜0时图象与x轴没有交点． 4. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 5. 把抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y=﹣（x+3）2+1 B. y=﹣（x+1）2+3 C. y=﹣（x﹣1）2+4 D. y=﹣（x+1）2+4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，得：y=﹣（x+1）2+1； 然后向上平移3个单位，得：y=﹣（x+1）2+1+3． 即y=﹣（x+1）2+4， 故选D． 6. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，可得，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得，，， ． 故选：A． 7. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.5m，AB=3m，BC=7m， ∴AC=AB+BC=10m， ∴， 解得，DC=5， 即建筑物CD的高是5m； 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理分别算出三边的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据锐角三角函数进行求解，通过证明继而进行判断即可． 【详解】由题意得，， ， 是直角三角形，，故B正确，不符合题意； ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 10. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 点，都在该函数图象上，则 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，比较反比例函数值的大小，求反比例函数值，求出当时的函数值即可判断A；根据解析式可得该反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，据此可判断B、C、D． 【详解】解：A、在中，当时，，则图象不经过点，原结论错误，符合题意； B、∵在中，， ∴该反比例函数图象经过第一，三象限， ∵点，都在该函数图象上，且， ∴，原结论正确，不符合题意； C、∵在中，， ∴该反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，原结论正确，不符合题意； D、在中，， ∴该反比例函数图象经过第一，三象限，原结论正确，不符合题意； 故选：A． 11. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，交对角线于点F，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，四边形内接于，延长交圆于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两个锐角互余求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将 绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转可知AD=BD， ∵∠ACB=90°,AC=2， ∴CD=BD， ∵CB=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=∠CBD=60°， ∴BC=AC=2， ∴阴影部分的面积=2×2÷2−=2−. 故选：B. 【点睛】本题考查了旋转的性质与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与扇形面积的计算. 14. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　） A. 5步 B. 6步 C. 8步 D. 10步 【答案】B 【解析】 【详解】勾股定理知，斜边是=17，利用切线长定理知， 半径==3，直径是6.故选B. 15. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　） A. ab＜0 B. 一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C. a＝ D. 点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴ab＜0，所以A选项的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确； 把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m， 而b＝﹣2a， ∴a+2a﹣2＝m， ∴a＝，所以C选项的结论正确； ∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上， ∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1； 当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1， ∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质． 二．填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形面积比为相似比的平方即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：． 18. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切． 【答案】1或3或5 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，， 时，， 时，， ，，， 根据勾股定理：，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是1， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 三．解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键． （1）用配方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ∴ ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴， 21. 已知的顶点A、B、C的坐标分别是、、． （1）画出关于原点成中心对称图形； （2）将绕原点O按逆时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标； （3）求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，坐标与图形变化—旋转和中心对称： （1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出并顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解；∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴的长为，即（2）中点旋转到点所经过的路径长为． 22. 在一个不透明的盒中有m个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m的值应是　 　； （2）在（1）的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率． 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过大量重复试验发现摸到的黑球的频率稳定在0.75左右，可得黑球占小球总数的0.75即可求出答案 （2）画出树状图，从树状图可知，“先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球”共有12种等可能的结果，其中“先摸到黑球，再摸到白球”的结果有3种即可求出答案 【详解】解：（1）过大量重复试验发现摸到的黑球的频率稳定在0.75左右，可得黑球占小球总数的0.75，故，解得m=3；故m的值应是3 （2）画出树状图如下（列表法参照给分）； 从树状图可知，“先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球”共有12种等可能的结果，其中“先摸到黑球，再摸到白球”的结果有3种； ∴P（先摸到黑球，再摸到白球）== 【点睛】此题主要考查了随机事件的概率 23. 某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．经调查：该商品按原标价出售，每月可销售100件，若该商品每降价2元，每月可多售出10件． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）要使平均每月销售这种商品盈利4000元，那么每件服装应降价多少元？ （3）那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）每次降价的百分率为 （2）每件服装应降价0元或20元 （3）当销售价为90元时，可以使该商品的月利润最大，最大的月利润是4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后售价从100元降价到81元建立方程求解即可； （2）设每件服装降价x元，则每件服装的利润为元，销售量为件，再根据总利润等于每件服装的利润乘以销售量建立方程求解即可； （3）设每件服装降价m元，该商品每月的利润为w元，根据总利润等于每件服装的利润乘以销售量得到w关于m的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元， 由题意得，， 解得或， 答：每件服装应降价0元或20元； 【小问3详解】 解：设每件服装降价m元，该商品每月的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当，即时，w有最大值，最大值为4500， ∴元 答：当销售价为90元时，可以使该商品的月利润最大，最大的月利润是4500元． 24. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i=1：1.2（垂直高度CE与水平宽度DE的比），上底BC=10m，天桥高度CE=5m，求天桥下底AD的长度？（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70） 【答案】23.1m 【解析】 【分析】过B作BF⊥AD于F，可得四边形BCEF为矩形，BF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，分别解直角三角形求出AF，ED的长度，继而可求得AD的长度． 【详解】解：过B作BF⊥AD于F，则四边形BCEF为矩形， 则BF=CE=5m，BC=EF=10m， 在Rt△ABF中，， ∴． 在Rt△CDE中，∵CD的坡度为i=1：1.2， ∴，即ED=6m． ∴AD=AF+EF+ED=7.14+10+6=23.14≈23.1（m）． 答：天桥下底AD的长度为23.1m． 25. 已知，抛物线，点与点在抛物线上，且． （1）若抛物线经过点，求抛物线的对称轴； （2）若，求证：． 【答案】（1）直线 （2） 证明：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点与点在抛物线上， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： （1）把代入函数解析式得到，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据对称轴计算公式得到抛物线对称轴为直线，再由对称性得到，据此可得，，再把，代入中并化简即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 略 26. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 27. （2013年四川自贡12分）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ； （2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少； （3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值． 【答案】 （1）∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°， ∴∠B1CQ=∠BCP1=45°． ∵在△B1CQ和△BCP1中，， ∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）． ∴CQ=CP1； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论； （2）过点P1作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度； （3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点P1作P1D⊥CA于D， ∵∠A=30°，∴P1D=AP1=1． ∵∠P1CD=45°，∴．. ∴CP1=P1D=． 又∵CP1=CQ， ∴CQ=； （3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°．∴AC=BC ． 由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE， ∴△AP1C∽△BEC．∴AP1：BE=AC：BC=：1． 设AP1=x，则BE=x， 在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2． ∴． ∵， ∴当x=1时，△P1BE面积的最大值为． 【点睛】本题考查旋转问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，二次函数最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校2024-2025学年上学期期末质量检测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “概率为的事件”是不可能事件 B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 D. “关于的方程是一元二次方程”是必然事件 3. 已知二次函数y＝mx2+x﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣ B. m≥﹣ C. m＞﹣且m≠0 D. m≥﹣且m≠0 4. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y=﹣（x+3）2+1 B. y=﹣（x+1）2+3 C. y=﹣（x﹣1）2+4 D. y=﹣（x+1）2+4 6. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 8. 如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 点，都在该函数图象上，则 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 11. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，交对角线于点F，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四边形内接于，延长交圆于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将 绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 14. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　） A. 5步 B. 6步 C. 8步 D. 10步 15. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　） A. ab＜0 B. 一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C. a＝ D. 点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 二．填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知是关于的方程的一个根，则______． 17. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 18. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切． 三．解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2） 21. 已知的顶点A、B、C的坐标分别是、、． （1）画出关于原点成中心对称图形； （2）将绕原点O按逆时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标； （3）求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）． 22. 在一个不透明的盒中有m个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m的值应是　 　； （2）在（1）的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率． 23. 某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．经调查：该商品按原标价出售，每月可销售100件，若该商品每降价2元，每月可多售出10件． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）要使平均每月销售这种商品盈利4000元，那么每件服装应降价多少元？ （3）那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 24. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i=1：1.2（垂直高度CE与水平宽度DE的比），上底BC=10m，天桥高度CE=5m，求天桥下底AD的长度？（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70） 25. 已知，抛物线，点与点在抛物线上，且． （1）若抛物线经过点，求抛物线的对称轴； （2）若，求证：． 26. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 27. （2013年四川自贡12分）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ； （2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少； （3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $