第一章 三角形的证明 综合练习-【木牍中考●课时A计划】2024-2025学年八年级下册数学配套课件（北师大版）

BS 数 学 9年级 下册 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 第一章 综合练习 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 1.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A∶∠B＝1∶2,则BC∶AB等于( ) A.2∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3 B 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 1 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 2.用反证法证明“在△ABC中,AB＝AC,则∠B<90°”时,第一步应先假设( ) A.∠B≥90° B.∠B>90° C.AB≠AC D.AB≠AC且∠B≥90° A 2 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 3.如图,点A,B分别在直线a,b上,且直线a∥b,以点A为圆心,AB长为半径画弧交直线a于点C,连接BC.若∠2＝65°,则∠1的度数为( ) A.75° B.65° C.50° D.25° C 3 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 4.如图,在等边△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.若CF＝1,则AD的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.4 A 4 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 5.如图,在△ABC中,AB＝AC＝12,点D,E分别在边BC,AC上,且点D在AE的垂直平分线上.若∠ADE＝∠B,CD＝3BD,则AE等于( ) A.4 B.6 C.8 D.10 C 5 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 6.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB,垂足为点D.若AC＝12,则AE的长度为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 D 6 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 7.如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP.若△BPC的面积为6 cm2,则△ABC的面积为( ) A.14 cm2 B.12 cm2 C.10 cm2 D.8 cm2 B 7 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 8.如图,在钝角△ABC中,∠B＝30°且AB>AC.以点C为圆心,CA长为半径画弧;以点B为圆心,BA长为半径画弧,两弧相交于点E;连接AE,交BC的延长线于点D.下列叙述不一定正确的是( ) A.△ABE是等边三角形 B.AC平分∠BAD C.S△ABC＝BC·AD D.BD垂直平分AE B 8 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 9.如图,∠AOB＝150°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PC∥OB交OA于点C.若PD＝3,则OC的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D 9 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 10.如图,在△ABC中,AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,O是AC,BC的垂直平分线的交点,连接AO,BO.若∠AOB＝α,则∠AIB的大小为( ) A.α B.90°＋α C.90°＋α D.180°＋α B 10 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11.腰长为5,底边上的高为4的等腰三角形的底边长为 　 　.  　6　 11 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 12.如图,将一副三角尺叠放在一起,若AB＝2 cm,则AF的长为  　cm.  12 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 13.如图,在△ABC中,AC＝4,BC＝3,AB＝5,AD为△ABC的角平分线,则CD的长度为  　 .  13 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 14.如图是一张长方形纸片ABCD,AB＝6,AD＝5,E为AB上的一点,AE＝4,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰△AEP的底边长是　 　.  4或4 14 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15.如图,有一张图纸被损坏,上面的两个标志点A(－2,3), B(－2,－2)是清晰的,而主要建筑标志点C(0,2)已破损. (1)请建立平面直角坐标系,并确定图中点C的位置. (2)△ABC是否为直角三角形?请证明. 解:(1)如图所示. (2)△ABC是直角三角形. 证明略. 15 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 16.如图,已知AB比AC长3 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm.求AB和AC的长.   解:AB的长为8.5 cm,AC的长为5.5 cm. 16 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17.“中国海监50”在南海海域B处巡逻,观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上,现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处,此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上,求该船到达C处时 与灯塔A的距离AC. 17 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解:由题意,得∠ABC＝180°－80°－40°＝60°, BC＝10×2＝20(海里). ∵CD∥BE,∴∠DCB＝∠CBE＝40°. ∵∠ACD＝20°, ∴∠ACB＝∠DCB＋∠ACD＝60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴AC＝BC＝20海里. 答:该船到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里. 17 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 18.如图,在△ABC中,∠ABC＝45°,AD为BC边上的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且BF＝AC.求证:DF＝DC. 证明:∵∠ABC＝45°,AD为BC边上的高, ∴∠ADB＝90°, ∴∠BAD＝45°,∴BD＝AD. 在Rt△BFD和Rt△ACD中, ∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL),∴DF＝DC. 18 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; 解:∠F的度数为30°. 19 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (2)求证:DC＝CF.   解:∵△ABC是等边三角形,∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B＝60°,∠DEC＝∠A＝60°, 即∠EDC＝∠DEC＝∠ACB＝60°, ∴△DEC是等边三角形,∴DC＝CE. 由(1)知∠DEF＝90°,∠F＝30°, ∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝30°＝∠F, ∴CE＝CF,∴DC＝CF. 19 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 20.如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N. (1)若AB＝12 cm,求△MCN的周长; 解:∵DM,EN分别垂直平分AC和BC, ∴AM＝CM,BN＝CN. ∵AB＝12 cm, ∴△MCN的周长是CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB＝ 12 cm. 20 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (2)若∠ACB＝118°,求∠MCN的度数.  解:∵∠ACB＝118°, ∴∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝62°. ∵AM＝CM,BN＝CN, ∴∠A＝∠ACM,∠B＝∠BCN, ∴∠ACM＋∠BCN＝∠A＋∠B＝62°, ∴∠MCN＝∠ACB－(∠ACM＋∠BCN)＝118°－62°＝56°. 20 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 六、(本题满分12分) 21.如图,在△ABC中,AC＝5,D为BC边上一点,且CD＝1,AD＝,BD＝4,E是AB边上的动点,连接DE. (1)求AB的长; 解:在△ACD中,AC2＝25,CD2＝1,AD2＝26, ∴AC2＋CD2＝AD2, ∴△ACD是直角三角形,且∠C＝90°. ∵BD＝4,∴BC＝4＋1＝5,∴AB＝. 21 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (2)当DE⊥AB时,求AE的长.   解:∵AC＝BC,∠C＝90°,∴∠B＝45°. ∵DE⊥AB,∴∠BED＝90°,∠BDE＝45°, ∴BE＝DE,∴BE2＋DE2＝BD2＝16, ∴BE＝DE＝2. 21 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 七、(本题满分12分) 22.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝10 cm,BC＝6 cm,若点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿折线A→C→B→A运动,设运动时间为t s(t>0). (1)若点P在AC上,且满足PA＝PB时,求出此时t的值; 22 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解:连接BP.由题意得AC＝8 cm,AP＝2t cm, ∴BP＝2t cm,CP＝(8－2t) cm. 在Rt△BCP中,CP2＋BC2＝BP2,即(8－2t)2＋62＝(2t)2, 解得t＝. 22 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (2)若点P恰好在∠BAC的平分线上(不含端点A),求t的值.  解:当点P在∠BAC的平分线上时,如图,过点P 作PE⊥AB于点E, 此时BP＝(14－2t) cm,PE＝PC＝(2t－8) cm, BE＝10－8＝2(cm). 在Rt△BEP中,PE2＋BE2＝BP2, 即(2t－8)2＋22＝(14－2t)2,解得t＝. 22 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 八、(本题满分14分) 23.如图,在△ABC中,∠ABC＝60°,∠ACB＝40°,P为∠ABC,∠ACB的平分线的交点. (1)∠BPC的度数是　 　.  　130°　 23 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 解:点P在∠BAC的平分线上.理由如下: 如图,过点P作三角形三边的垂线,垂足分别为点D,E,F.  ∵PB,PC分别是∠ABC,∠ACB的平分线, ∴PD＝PE,PE＝PF,∴PD＝PF, ∴点P在∠BAC的平分线上. (2)请问点P是否在∠BAC的平分线上?请说明理由. 23 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 (3)求证:AB＝PC.  解:连接AP并延长,在AP的延长线上取PG＝PC,连接GC. ∵∠ABC＝60°,∠ACB＝40°,∴∠BAC＝80°. ∵AP,CP分别为∠BAC,∠ACB的平分线, ∴∠PAC＝40°,∠ACP＝20°, ∴∠GPC＝∠PAC＋∠ACP＝60°, ∴△PGC为等边三角形, ∴∠G＝60°＝∠ABC,PC＝CG. 易证△ABC≌△CGA,∴AB＝CG,∴AB＝PC. 23 第一章 综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 $$