第一章 【方法技巧专题】 构造等腰三角形常用的方法-【木牍中考●课时A计划】2024-2025学年八年级下册数学配套课件（北师大版）

BS 数 学 8年级 下册 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 【方法技巧专题】　 构造等腰三角形常用的方法 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 类型1　作一边的平行线 (1)作腰的平行线 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 (2)作底边的平行线 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF. 证明：过点E作EG∥AC交BC于点G. ∵EG∥AC， ∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB， ∠EGD＝∠FCD. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠B＝∠EGB，∴GE＝BE＝CF， ∴△EGD≌△FCD(ASA)，∴DE＝DF. 1 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 2.如图，△ABC是等边三角形，D是边AC上一点，E是BC延长线上一点，且BD＝DE.求证：BE＝AB＋AD. 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 证明：过点D作DF∥BC，交AB于点F. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC. ∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE， ∠AFD＝∠ADF＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BFD＝∠DCE＝120°，FD＝AD. ∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠E， ∴∠FDB＝∠E，∴△DBF≌△EDC(AAS)， ∴FD＝CE，∴BE＝BC＋CE＝AB＋AD. 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 类型2　角平分线＋平行线 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 3.如图，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD于点M.请你猜想线段AB，AC之和与线段AM之间的数量关系，并证明. 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 解：猜想：AB＋AC＝2AM. 证明：过点C作CE∥AB，交AM的延长线于点E. ∴∠ECD＝∠B，∠E＝∠BAD. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD，∴AC＝EC. ∵CM⊥AD，∴AM＝ME，即AE＝2AM. ∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB. 又∵∠EDC＝∠ADB， ∴∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC， ∴AB＋AC＝AD＋ED＝AE，∴AB＋AC＝2AM. 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 类型3　角平分线＋垂直 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 4.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E.求证：BD＝2CE. 解：延长BA，CE交于点F. ∵∠F＋∠ABD＝90°，∠F＋∠ACF＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF. ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°， ∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF， 易证△FBE≌△CBE，∴EF＝EC， ∴CF＝2CE，∴BD＝2CE. 4 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E. (1)求证：∠ACE＝∠B＋∠ECD. (2)若AD＝BD＝AC，求∠ECD的度数. 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 解：(1)延长CE交AB于点F. 易证△FAE≌△CAE，∴∠ACE＝∠AFC. ∵∠AFC＝∠B＋∠ECD， ∴∠ACE＝∠B＋∠ECD. (2)∵AD＝BD＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ACD. 设∠B＝x°， 则∠BAD＝∠CAD＝x°，∠ADC＝∠ACD＝2x°. ∵△ABC内角和为180°， ∴5x＝180，解得x＝36，∴∠B＝∠CAD＝36°， ∴∠ACE＝90°－36°＝54°， 由(1)得∠ECD＝∠ACE－∠B＝18°. 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 类型4　截长补短法 条件：∠1＝∠2，∠B＝2∠C 作法：在AC上截取AE＝AB 结论：CE＝DE　　　 条件：∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C 作法：延长AB至点E，使AE＝AC 结论：BD＝BE -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC.求证：BC＝AB＋CD. 证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE. 易证△ABD≌△EBD， ∴∠BED＝∠A＝108°. ∵AB＝AC，∠A＝108°， ∴∠C＝∠ABC＝36°， ∴∠CDE＝∠BED－∠C＝72°， ∴∠CED＝180°－∠C－∠CDE＝72°， ∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD. 6 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 7.如图，△ABD是等边三角形，∠ACB＝60°，求证：AC＝BC＋CD. 7 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 证明：解法1：(截长法)在AC上截取CE＝CB，连接BE. ∵∠BCE＝60°，CB＝CE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE＝BC，∠EBC＝60°. ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°，AB＝BD， ∴∠ABE＝∠DBC， ∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE＝DC， ∴AC＝CE＋AE＝BC＋CD. 7 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 解法2：(补短法)延长CB至点E，使CE＝AC，连接AE. ∵∠ACB＝60°，∴△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60°，AE＝CE＝AC. ∵△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∴∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE≌△ADC(SAS)，∴EB＝CD， ∴BC＋CD＝BC＋EB＝CE＝AC，即AC＝BC＋CD. 7 -‹#›- 【方法技巧专题】　构造等腰三角形常用的方法 1 2 3 4 5 6 7 $$