精品解析：四川省江油市太白中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

四川省江油市太白中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 命题：罗久林 审题人：李金梅 考试时间：2024年12月10日 时长：90分钟 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 40分钟 B. 41分钟 C. 42分钟 D. 43分钟 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 所有幂函数的图象均过点 B. 若幂函数的图象经过点，则解析式为 C. 幂函数一定具有奇偶性 D. 任何幂函数的图象都不经过第四象限 11. 已知函数，下面说法正确的有（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于原点对称 C. 的值域为 D. ，且恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的角是第______象限. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的值为____________. 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，的值是____________. 四、解答题：共77分. 15. 已知函数的定义域为. （1）求; （2）设集合，若，求实数的取值范围. 16. 设函数，且. （1）求的值及的定义域; （2）判断的奇偶性，并给出证明； （3）求函数在上的值域. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③． （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）； （参考数据：．） 18. 辉煌企业团队研制出一款新型产品，决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为1500万元，每生产一万台需另投入3800万元.设该企业一年内生产该产品万台（为整数）且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 19. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性， 并用定义证明； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油市太白中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 命题：罗久林 审题人：李金梅 考试时间：2024年12月10日 时长：90分钟 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的运算，可得答案. 【详解】由，则. 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定 【详解】“”的否定是“”. 故选：D 3. “两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“两个三角形全等”和“两个三角形的周长相等”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当两个三角形全等时，它们的周长一定相等， 当两个三角形的周长相等时，它们不一定全等， 比如边长为3，4，5的直角三角形和边长为4的正三角形， 故“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件， 故选：A 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理结合函数单调性判断即可. 【详解】因为函数单调递减， 又因为，在上的图象连续不断，， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：C. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 6. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 40分钟 B. 41分钟 C. 42分钟 D. 43分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，， 即，则，即， 即至少大约需要的时间为42分钟. 故选：C 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断； 【详解】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选：D. 8. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数的单调性与充分必要条件的概念判断， 【详解】设． ∵在上单调递减， ∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立． （注意对数的真数在上大于0） 又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则） 解得． 则可得函数在区间上单调递减的充要条件是． 而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件， 故只需看是哪一个的真子集，结合选项只有C符合. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式性质，结合题目中给定的不等关系以及反例，可得答案. 【详解】对于A，由，则，由，则，故A正确； 对于B，由函数在上单调递减，且，则，故B正确； 对于C，当时，显然，但，故C错误； 对于D，由，则，易知，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 所有幂函数的图象均过点 B. 若幂函数的图象经过点，则解析式为 C. 幂函数一定具有奇偶性 D. 任何幂函数的图象都不经过第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数特例可对A项判断；根据幂函数过点，可求出解析式对B项判断；根据幂函数的特例可对C项判断；根据幂函数的特性可知图像不过第四象限，从而对D项判断. 【详解】对于A项：比如，图象不过点，故A错误； 对于B项：设幂函数为，幂函数的图象经过点，则函数的解析式为，解得，整理得，故B正确； 对于C项：对于，无奇偶性，故C错误； 对于D项：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数，下面说法正确的有（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于原点对称 C. 的值域为 D. ，且恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项. 【详解】的定义域为，关于原点对称, ，所以是奇函数，图象关于原点对称， 故选项A不正确，选项B正确； ，因为，所以，所以， ，所以，可得的值域为，故选项C正确； 设任意的， 则， 因为，，，所以， 即，所以，故选项D不正确； 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的角是第______象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据终边相同的角即可求解. 【详解】由于，为第三象限角， 故是第三象限角. 故答案为：三. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，即， 则，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，的值是____________. 【答案】14 【解析】 【分析】由方程有四个解转化为与有四个不同的交点，由数形结合可求得，，进而求解即可. 【详解】方程有四个不同的解等价于与有四个不同的交点，如下图所示： 则与关于对称，， 所以，， 则. 故答案为：14. 四、解答题：共77分. 15. 已知函数的定义域为. （1）求; （2）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数有意义求解即可； （2）由题可得，结合可得，进而求解. 【小问1详解】 由，得， ∴函数的定义域为，即. 【小问2详解】 ∵集合， 又，， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 16. 设函数，且. （1）求的值及的定义域; （2）判断的奇偶性，并给出证明； （3）求函数在上的值域. 【答案】（1）； （2）偶函数，证明如下： 由（1）可得函数的定义域为， 由，则函数为偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由已知点建立方程，结合对数运算，可得的值，由函数解析式，建立不等式组，可得答案； （2）根据奇偶性的定义，先求定义域，再检验等量关系，可得答案 （3）根据复合函数的单调性，求得最值，可得答案. 【小问1详解】 由，可得，解得， 由，则，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 偶函数，证明略； 【小问3详解】 由，函数在上单调递增，在上单调递减， 函数是增函数，则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，，， 所以在的值域为. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③． （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）； （参考数据：．） 【答案】（1）选②，理由：根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，所以选②.解析式为 （2）最佳饮用口感的放置时间为 【解析】 【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式. （2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【小问1详解】 根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢， 所以选②， 且，， 利用加减消元法解得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 两边取以为底的对数得， . 答：最佳饮用口感的放置时间为. 18. 辉煌企业团队研制出一款新型产品，决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为1500万元，每生产一万台需另投入3800万元.设该企业一年内生产该产品万台（为整数）且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量（万台）时，企业的年利润最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果； （2）由（1）的解析式，求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果． 【小问1详解】 由题意，年利润， . 【小问2详解】 由（1），当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递增，. 当时， ，当且仅当，即时等号成立. 综上，当年产量（万台）时，企业的年利润最大，最大值为万元. 19. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性， 并用定义证明； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上为增函数， 任取，，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即， 所以函数在上为增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值； （2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明； （3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，从而利用基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由定义域为的函数是奇函数， 可得，即有， 即恒成立， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，奇函数在上为增函数， 则等价于， 即， 令，则在上有解， 因为，当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是利用函数单调性与奇偶性，将问题转化为在上有解的问题，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $