压轴专题02 均值不等式（7大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题02 均值不等式 盘重点抓核心 一、基础不等式原理 1. 二元基本不等式的几个变形： （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 （4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2.n元均值不等式 设均大于零，则记，， ，， 则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 二、基本原理简化不等式 （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 三、均值不等遵循的原则 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 练压轴冲高分 压轴题型一： 三元型 √满分技法 一般地，多元代数式的最值，处理这类问题的基本策略是降元处理，降元时要结合目标代数式的结构特点，找出能整体处理的部分，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 1.从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 2.从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 3.从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件 1．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．，，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 5．已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 压轴题型二： 因式分解型 · √满分技法 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 1．若，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．没有最小值 2．已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 3．已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 4．若、、均大于0，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 压轴题型三： 代数换元型 √满分技法 形如（a，b）==t，求型，则可以换元反解代换。令x=a+m。Y=b+n反解 1．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 4．已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 5．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 压轴题型四： 三角换元型 √满分技法 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元， 1．已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为 A．2 B．4 C． D． 3．已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知正数满足，则的最小值为 ． 压轴题型五： 二元二次裂项型 1．已知为正实数，则的最大值是 A． B． C． D． 2．若a，b均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 3．是不同时为0的实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 . 5．若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 压轴题型六： 构造函数型 1．设a，b，c为ABC中的三边长，且a+b+c=1，则a2+b2+c2+4abc的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知正数满足，则的取值范围是 . 压轴题型七：均值法比大小 √满分技法 常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性 涉及到比较多的对数比大小，可以借助均值不等式和对数运算来比大小 1．实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题02 均值不等式 盘重点抓核心 一、基础不等式原理 1. 二元基本不等式的几个变形： （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 （4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2.n元均值不等式 设均大于零，则记，， ，， 则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 二、基本原理简化不等式 （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 三、均值不等遵循的原则 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 练压轴冲高分 压轴题型一： 三元型 √满分技法 一般地，多元代数式的最值，处理这类问题的基本策略是降元处理，降元时要结合目标代数式的结构特点，找出能整体处理的部分，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 1.从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 2.从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 3.从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件 1．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 【点睛】方法点睛：由已知式联想基本不等式，由于不等式一侧只有两项：，把拆成两项，分别与相加应用基本不等式，构成形式上的一致，再利用系数关系求得参数，然后由不等式恒成立可得结论． 2．，，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，利用基本不等式可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即，所以，时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等. 3．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 4．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 5．已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项；利用特例判断A选项. 【详解】对于C，由， 整理得，，可以看作关于的一元二次方程， 所以， 即，可以看作关于的一元二次不等式， 所以，解得， 当时，，， 所以x的最大值是，故C正确； 对于B，由， 即， 即， 令，，，则， 即，即， 由，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即， 所以 即，即， 所以， 即， 即，当且仅当，即时等号成立， 对于D，所以的最大值是，故B正确； 由，即， 所以，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值是，故D正确； 对于A，取，，， 则， 而， 又， 而， 所以，故A错误. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于多变量的恒等关系，可利用基本不等式进行转化，也可以将其中一个变量看成主变量，从而可判断方程有解的角度分析问题. 压轴题型二： 因式分解型 · √满分技法 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 1．若，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．没有最小值 【答案】A 【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可 【详解】由，得. 因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得, 设函数， 则由，得在上至少一个零点， 此时，故存在，使得不等式中的等号成立， 故的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证 2．已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】，，， 所以， ， 当时可取等号. 因此所求代数式的最大值为1． 故选：A. 3．已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】，，配凑得：， 两边同时除以4得：，即， 令，，则，，， 所以 （当且仅当即时，等号成立）. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题. 4．若、、均大于0，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意,而,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值. 【详解】解：、、均大于0, 当且仅当时取“=”, 的最大值为. 故选:C 【点睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重点内容,对不符合基本不等式形式的应首先变形,然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等. 5．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，直接利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A. 压轴题型三： 代数换元型 √满分技法 形如（a，b）==t，求型，则可以换元反解代换。令x=a+m。Y=b+n反解 1．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 2．已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】设，，，即可表示出、、，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：设，，，则，，， 且，，， ∴，，， ∴， 令 ， ∴. 当且仅当，即，即时等号成立. （如，即时等号成立）. ∴的最小值为； 故选：B． 3．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果. 【详解】由，则，且， 所以， 令，则，且， 所以，即，仅当时等号成立， 对于恒成立，仅当，即时等号成立， 综上，若，则， 而，则，只需， 所以，仅当，即时等号成立， 综上，，仅当，即时等号成立. 所以目标式最小值为. 故选：C 4．已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用换元法将分式变形为整式，进而得，再根据基本不等式求最值即可. 【详解】令，，则，，所以，则， 又，，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，此时，； 所以，当且仅当，时，等号成立； 故选：B. 5．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 压轴题型四： 三角换元型 √满分技法 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元， 1．已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】解法（1）采用三角换元，令，再结合余弦函数的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可； 【详解】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2， 故选：A. 2．已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为 A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】分析：将圆的一般方程化为标准方程，设出圆的参数方程，利用三角恒等变换得到计算出的最大值，则利用基本不等式进行求解． 详解：将化为， 令， 则 ， 又， 所以， 即． 点睛：（1）本题巧妙地利用三角代换设出圆的参数方程，使解题思路变得明了、清晰； （2）本题的关键是合理将绝对值符号去掉，为了避免讨论，合理利用基本不等式的变形进行放缩． 3．已知，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果. 【详解】 令 ，等号在时取到． 故选：A 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题. 4．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值； 法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值. 【详解】 法一：∵， ∴可设，， ∴，代入所求式子得， ， 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 法二：设，， 代入已知等式得，， ∴ ， 其中，. ∴，所以的最小值为. 故选：D 5．已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】记，其中，可求得，进而可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得， 记，其中， 原不等式化为，所以， 所以，即． 所以， 当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】方法点睛：三角代换是解题的关键，进而得出是利用基本不等式求得最小值的基础，进而考查运算求解能力和创新意识. 压轴题型五： 二元二次裂项型 1．已知为正实数，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造不等式凑出定值求解即可. 【详解】由于求的是最大值且为正实数，由，由， ，当且仅当时，等号成立， 故选：B 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正---各项都是正数；二定---和或积为定值；三相等---等号能否取得（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时---多次使用基本不等式时，等号要同时取得”求最值时，这四个方面缺一不可．若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误． 2．若a，b均为正实数，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数， 则， 当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等 即则的最大值为， 故选B． 【点睛】本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，是难题. 3．是不同时为0的实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同， 不妨设均为正实数， 则 ， 当且仅当，且取等，即取等号， 即则的最大值为， 故选：A． 4．已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将变为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x，y，z均为正实数， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 5．若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】 将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可. 【详解】 ， 所以， 当且仅当时取到等号， 故答案为： 压轴题型六： 构造函数型 1．设a，b，c为ABC中的三边长，且a+b+c=1，则a2+b2+c2+4abc的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记f(a，b，c)=a2+b2+c2+4abc，则f(a，b，c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc，再根据三角形边长性质可以证得f(a，b，c).再利用不等式和已知可得ab，所以f(a，b，c)≥1﹣﹣2c(1﹣c)=，再利用求导根据单调性可以推得a2+b2+c2+4abc，继而可以得出结果. 【详解】记f(a，b，c)=a2+b2+c2+4abc，则 f(a，b，c)=1﹣2ab﹣2c(a+b)+4abc=1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c)=2(c+ab)2﹣2a2b2﹣2(ab+c)+1=2[c+ab﹣]2﹣2a2b2+ =4(c﹣)(a﹣)(b﹣， 又a，b，c为ABC的三边长，所以1﹣2a>0，1﹣2b>0，1﹣2c>0， 所以f(a，b，c).另一方面f(a，b，c)=1﹣2ab(1﹣2c)﹣2c(1﹣c)，由于a>0，b>0， 所以ab，又1﹣2c>0，所以f(a，b，c)≥1﹣﹣2c(1﹣c)=， 不妨设a≥b≥c，且a，b，c为ABC的三边长，所以. 令y=，则y′=3c2﹣c=c(3c﹣1)≤0，所以ymin=﹣=， 从而，当且仅当a=b=c=时取等号.故选：B. 【点睛】本题主要考查了解三角形，考查导数求函数的最值，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 2．正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题干中等式变形，得到，对变形后使用基本不等式求解最小值. 【详解】变形为，则，即，令，（），则恒成立，则，（）单调递增，又，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2 故选：A 3．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】将已知的式子，然后判断函数，，的单调性，从而可得，即，再利用基本不等式可求得结果 【详解】因为， 所以． 设，，易知在上单调递增， 故，即，又，，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为2． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题 4．已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决 【详解】由，可得， 则，则，令，则 ， 又在单调递增，在单调递减 ，， 则，即 故选：C 5．已知正数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件求得的取值范围，将平方后整理为关于的二次函数，根据二次函数的单调性，即可容易求得其值域，从而求得的取值范围. 【详解】由可得：，因为，以及， 可得， 故 ， 令，则， 又在单调递增， 故可得，于是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解决问题的关键是如何观察得目标式和已知条件的联系，用作自变量取求解函数的值域，属综合困难题. 压轴题型七：均值法比大小 √满分技法 常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性 涉及到比较多的对数比大小，可以借助均值不等式和对数运算来比大小 1．实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，，然后与作差结合基本不等式比较大小，构造函数，可判断其在上单调递减，则，化简可得，则，则可比较出与的大小即可 【详解】由题意得，，，则 ， 因为， 所以， 所以， 设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以， 所以，所以，所以，所以， 因为，所以， 所以， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查对数与指数的互化，考查基本不等式的应用，考查导数的应用，解题的关键是构造函数判断出其单调性，可得，再转化为，考查数学转化思想和计算能力，属于难题 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解. 【详解】由对数函数的性质知， ， ， 所以，，； 当时，， 所以 ， 取，则， 所以 ，即， 综上，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可. 【详解】设，则在上单调递减， 所以，所以，，， ， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，构造且，求导得到其单调性，得出，A错误；B选项，构造且，求导得到其单调性，得出；C选项，构造且，求导得到其单调性，证明出；D选项，举出反例即可. 【详解】对于A，令且，则， 故在上单调递增，则，即， 所以，即，故A错误； 对于B，令且，则， 故在上单调递增，则，即，所以，故B错误； 对于C，令且，则， 故在上单调递增，则，即， 所以，则，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 故选：C. 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小. 5．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式可得.利用导数证明不等式，进而，则，解出a、，得，再次利用基本不等式计算即可求解. 【详解】由基本不等式，得， 即，当且仅当，即时等号成立. 设，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即， 令，得，所以， 解得，由，得． 所以，当且仅当时，取得等号． 故的最大值是． 故答案为： 20 学科网（北京）股份有限公司 $$