专题02 任意角的三角函数5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题02 任意角的三角函数5种常考压轴题归类 知识点1、任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 知识点2、三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3、特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 压轴题型一：由终边上的点求三角函数值 √满分技法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝， cos α＝. 1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求解即得. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【详解】由题意，且，解得， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·天津南开·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的图形，求出点的坐标，再利用余弦函数定义求出值. 【详解】由图知，点在第二象限，设其横坐标为，由，得， 所以. 故选：C 4．（2024高一上·广西玉林·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，进而求解. 【详解】的终边与单位圆交于点， 故，，， 故，， 所以. 故选：D. 压轴题型二：由三角函数值求终边上点的参数 √满分技法 若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 5．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角函数终边定义法代入公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知，解得. 故选：B. 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知角终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边上的点及三角函数定义求得，进而求余弦值. 【详解】根据三角函数定义得，故， 则． 故选：A 7．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A. 8．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可. 【详解】因为角终边经过点， 所以，所以， 解得. 故答案为： 9．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案为：． 压轴题型三：判断三角函数值的符号 √满分技法 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 10．（2024高一·全国·专题练习）当为钝角时，（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据为钝角，判断的符号，求解. 【详解】因为为钝角，所以， 故. 故选：C. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角是第四象限角，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合三角函数的定义即可判断. 【详解】由题得. 故选B． 压轴题型四：由符号确定角所在的象限 √满分技法 先牢记正弦、余弦、正切在各象限的正负规律，单一函数值看对应坐标符号，多函数值组合需同时满足条件来确定。还要注意边界值与隐含条件，以防判断出错。 12．（24-25高一上·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】判断分别是哪个象限角，结合三角函数的定义即可判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以点在平面直角坐标系中位于第二象限， 故选：B. 13．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则为（    ） A．第一､二象限角 B．第二､三象限角 C．第一、三象限角 D．第一､四象限角 【答案】D 【分析】根据各象限角的三角函数的符号特征判断即可. 【详解】因为，则或， 所以为第一象限或第四象限角. 故选：D 14．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）设，点在第二象限，则角的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用点在第二象限上得到的符号，进而判断得所在象限，从而得解. 【详解】因为在第二象限， 所以，则在第四象限， 又，所以. 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ）. A．第一、四象限的角B．第二、三象限的角C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【详解】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 16．（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意； 对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意； 对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意； 对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意. 故选：B. 压轴题型五：圆上的动点与旋转点 √满分技法 1. 明确关键信息：仔细审题，确定圆的性质（如单位圆半径为1），提取动点的起始位置、旋转方向（顺时针或逆时针）与角速度（每秒转多少弧度）。 2. 分析相遇问题：相遇时动点走过的弧度总和是关键。若相向运动，相遇弧度和为圆周长对应弧度（单位圆是）整数倍，根据相遇次数设未知数建立等式求解运动时间。 3. 计算动点位置：依据运动时间和角速度算出动点转过的弧度，结合起始位置确定最终在圆上的位置，利用三角函数关系（如单位圆上点坐标为，为转过弧度）求出坐标。 17．（2024高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 【答案】 （或写作） 【分析】由题意解出重合时刻t的值，进而可得P点位置，可求坐标. 【详解】设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为； 设时P与Q第二次重合，则有，解得，此时点P是单位圆与角终边的交点，所以P的坐标为， 由起点坐标为，则点P相对于其起点的位移的大小为. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：由点P和Q的位置和旋转方向可知，时P与Q重合，由，由的值，可确定P点位置，求出坐标 18．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意求得，P，Q两点每一秒钟相遇一次，则P，Q两点在第2019次相遇时，经过了2019秒，求得点P转过的周数，可得点P的坐标． 【详解】因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P所转过的弧度为，由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查逻辑思维能力，属于常考题. 19．（2024高一下·福建福州·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为 A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟 【答案】A 【详解】分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出． 详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN= yM﹣yN=sin， 令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+， k=0，1，2，3． ∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）． 故选A． 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系. 一、单选题 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在单位圆上，且终边在第三象限，求出，再求出. 【详解】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， . 故选：C. 2．（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）已知角的终边过点，则p是q的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条仵D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】的终边过点时，，充分性满足， 但当的终边过点时，也有，必要性不满足， 因此为充分不必要条件． 故选：A． 3．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知的终边经过点，则下列不正确的是（   ） A． B．可能等于 C． D． 【答案】C 【分析】根据可得选项A正确；写出与终边相同的角可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据可得选项D正确. 【详解】由题意得，. A.，选项A正确. B.由题意得，为第四象限角，由得，可能等于，选项B正确. C.，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边经过点，且，则实数的值是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据角的余弦值与终边上点的坐标可得角的终边所在象限，进而可得参数的取值范围，利用余弦函数的定义建立方程，可得答案. 【详解】，说明角的终边在第二或第三象限，终边上的点，， 说明终边在第二象限，，，，解得. 故选：B. 5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角的终边在直线上，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由题意可得余弦值不为零，取直线上非原点的任一点，利用正弦函数与余弦函数的定义，可得答案. 【详解】由题知， 设角的终边上一点，则. 当时，，，， 所以； 当时，，，， 所以. 故选：C. 6．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义得到，再逐一分析各弧度对应的坐标情况即可得解. 【详解】依题意，设点的坐标为， 所以由三角函数的定义可得， 因为，即， 对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误； 对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误； 对于D，在第四象限，且，则，所以，满足题意，故D正确. 故选：D. 7．（2024高一下·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】先确定点P在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线，即可得出答案. 【详解】，，即， 故点P在第四象限，即角的终边在第四象限， 的终边为角终边的反向延长线，那么的终边在第二象限． 故选：B． 8．（2024高一下·广东汕头·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P. 已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设，再根据新定义得到，解出点的坐标即可. 【详解】 由题意可知，把点绕点A逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得，所以点的坐标为， 故选：D. 9．（2024高一上·湖北武汉·期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解. 【详解】由题意令，得，而此时， 所以，角的终边经过定点， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 10．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则函数的值可能为（    ） A．1 B．－1 C．－3 D．3 【答案】BD 【分析】分为第一、二、三、四象限角讨论即可得. 【详解】当为第一象限角时，，即； 当为第二象限角时，，即； 当为第三象限角时，，即； 当为第四象限角时，，即； 综上所述，的值可能为或. 故选：BD. 11．（2024高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项运用图形可判断；B选项可用三角函数定义判断；C选项可判断；D选项可知道,再利用中点坐标公式可判断. 【详解】，，A正确； 由题意，为的中点 则， 所以点的坐标为，故B错误; 由，可得，故C正确; 由于， 利用三角函数的定义，则; 所以，故D正确; 故选:ACD. 12．（2024高一下·甘肃酒泉·期末）台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用对称方法即可求解. 【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此， C正确； 第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下： ，由反射的性质，得关于对称，关于对称， 即为的三等分点，因此，B正确. 故选：BC 13．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O的交点处，点A的角速度为，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为，则下列说法正确的是（    ） A．在末时，点B的坐标为 B．在末时，劣弧的长为 C．在末时，点A与点B重合 D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为 【答案】BD 【分析】根据旋转的弧度数，结合三角函数的定义以及弧长公式判断AB；设时刻点A与点B重合，求出则可以判断CD. 【详解】由题意，末时，射线逆时针旋转了，则点B的坐标为，A错； 点A的初始位置为，后，射线逆时针旋转了， 则，所以劣弧的长为，B对； 设时刻点A与点B重合，则， 令，所以在末时，点A与点B不重合，C错； 由C知，时，点A与点B第一次重合，此时射线逆时针旋转了， 射线逆时针旋转了，可得A与点B重合于， 此时点A的坐标为．D对， 故选：BD． 14．（2024·全国·模拟预测）质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，A的起点在射线和圆O的交点处，A的角速度为，B的起点为圆O与x轴正半轴的交点，B的角速度为，则下列说法正确的是（    ） A．在1s末时，点A的坐标为 B．在2s末时，点B的坐标为 C．在2s末时，劣弧的长为 D．当A与B重合时，点A的坐标可以为 【答案】CD 【分析】根据题意结合任意角的三角函数值的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知点A的起点所对的角，点B的起点所对的角， 在1s末时，点A所对的角， 所以点A的坐标为，故A错误； 在2s末时，点B所对的角， 所以点B的坐标为，故B错误； 在2s末时，点A所对的角， 则劣弧所对的角为，所以劣弧的长为，故C正确； 当A与B重合时，则，解得 可得， 则， 点A的坐标为，故D正确； 故选：CD. 15．（2024高三上·广东揭阳·阶段练习）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若,则下列各式的符号不能确定的是(    ). A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数定义和两个条件确定符号. 【详解】由三角函数的定义可知： ， 当时，，， 当时，，， 当时，，，故符号不确定； 因为，所以，符号确定； ， 当时，，， 当时，，， 当时，，，故符号不能确定； ，故符号确定. 故选：AC 16．（2024高二下·浙江嘉兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解. 【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限， 所以， 如果，所以，所以选项A不满足题意； ；；，故CD正确. 故选：CD 17．（2024高一下·辽宁朝阳·期中）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题知位于第一象限或者第三象限，且满足，再分别讨论求解即可. 【详解】解：因为点在第一象限， 所以，即位于第一象限或者第三象限且，且满足， 所以，当位于第一象限时，时，； 当位于第三象限时，时，. 故选：AB 三、填空题 18．（24-25高一上·天津和平·期末）若角的终边经过点（其中且），则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求出和，即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可. 【详解】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 20．（2024高一上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 【答案】 【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解. 【详解】对空：由点在角的终边上，所以，. 对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以. 故答案为：；. 四、解答题 21．（2024高一·上海·课堂例题）根据下列条件，确定角所属的象限： (1)且； (2)． 【答案】(1)第四象限 (2)第一或四象限 【分析】（1）（2）利用三角函数的象限的符号即可求解. 【详解】（1）且，则为第四象限角； （2）由，可得且，或且， 则为第一或四象限角. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 任意角的三角函数5种常考压轴题归类 知识点1、任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 知识点2、三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3、特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 压轴题型一：由终边上的点求三角函数值 满分技法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝， cos α＝. 1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（ 　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津南开·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·广西玉林·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 压轴题型二：由三角函数值求终边上点的参数 满分技法 若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 5．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知角终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 8．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为 . 9．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 压轴题型三：判断三角函数值的符号 满分技法 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 10．（2024高一·全国·专题练习）当为钝角时，（    ） A．1 B．0 C．2 D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角是第四象限角，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：由符号确定角所在的象限 满分技法 先牢记正弦、余弦、正切在各象限的正负规律，单一函数值看对应坐标符号，多函数值组合需同时满足条件来确定。还要注意边界值与隐含条件，以防判断出错。 12．（24-25高一上·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则为（    ） A．第一､二象限角 B．第二､三象限角 C．第一、三象限角 D．第一､四象限角 14．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）设，点在第二象限，则角的取值范围是 . 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ）. A．第一、四象限的角B．第二、三象限的角C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 16．（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 压轴题型五：圆上的动点与旋转点 满分技法 1. 明确关键信息：仔细审题，确定圆的性质（如单位圆半径为1），提取动点的起始位置、旋转方向（顺时针或逆时针）与角速度（每秒转多少弧度）。 2. 分析相遇问题：相遇时动点走过的弧度总和是关键。若相向运动，相遇弧度和为圆周长对应弧度（单位圆是）整数倍，根据相遇次数设未知数建立等式求解运动时间。 3. 计算动点位置：依据运动时间和角速度算出动点转过的弧度，结合起始位置确定最终在圆上的位置，利用三角函数关系（如单位圆上点坐标为，为转过弧度）求出坐标。 17．（2024高一下·江苏常州·期中）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点．当P与Q第二次重合时，P的坐标为 ；当P与Q第三次重合时，点P相对于其起点的位移的大小是 18．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为 . 19．（2024高一下·福建福州·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为 A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟 一、单选题 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）已知角的终边过点，则p是q的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条仵D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知的终边经过点，则下列不正确的是（   ） A． B．可能等于 C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边经过点，且，则实数的值是（   ） A． B． C．2 D．1 5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知角的终边在直线上，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 6．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 7．（2024高一下·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8．（2024高一下·广东汕头·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P. 已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·湖北武汉·期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则函数的值可能为（    ） A．1 B．－1 C．－3 D．3 11．（2024高一下·江苏南京·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 12．（2024高一下·甘肃酒泉·期末）台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O的交点处，点A的角速度为，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为，则下列说法正确的是（    ） A．在末时，点B的坐标为 B．在末时，劣弧的长为 C．在末时，点A与点B重合 D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为 14．（2024·全国·模拟预测）质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，A的起点在射线和圆O的交点处，A的角速度为，B的起点为圆O与x轴正半轴的交点，B的角速度为，则下列说法正确的是（    ） A．在1s末时，点A的坐标为 B．在2s末时，点B的坐标为 C．在2s末时，劣弧的长为 D．当A与B重合时，点A的坐标可以为 15．（2024高三上·广东揭阳·阶段练习）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若,则下列各式的符号不能确定的是(    ). A． B． C． D． 16．（2024高二下·浙江嘉兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一下·辽宁朝阳·期中）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 18．（24-25高一上·天津和平·期末）若角的终边经过点（其中且），则 . 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 20．（2024高一上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 四、解答题 21．（2024高一·上海·课堂例题）根据下列条件，确定角所属的象限： (1)且； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$