1.1 周期变化（1知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.1 周期变化 课程标准 学习目标 （1）理解周期函数、周期、最小正周期的意义； （2）会用周期函数的定义，解决简单问题． （1）了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期； （2）初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性； （3）能够利用函数的周期性求值． 知识点01 周期函数 1、周期函数的概念：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得对任意的都有且满足，那么函数称作周期函数．非零常数称作这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期． 3、对周期函数的理解 （1）周期是一个非零常数，是使函数值重复出现的自变量的增加量； （2）周期函数的周期不是唯一的，如果是函数周期，那么也一定是它的周期； （3）不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数是周期函数，但无最小正周期． 【即学即练1】下列现象不是周期现象的是（    ） A．挂在弹簧下方作上下振动的小球 B．游乐场中摩天轮的运行 C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D．每四年出现一个闰年 【答案】C 【解析】周期现象是指间隔相等而重复出现的现象， 由此可知ABD均为周期现象，C不是周期现象.故选：C. 【即学即练2】如果对定义域内任意x，都有，那么T是的周期吗？ 【答案】答案见解析 【解析】不是从周期定义中的来看，自变量本身加的常数才是周期， 对，可变形为， 所以才是函数的周期． 难点：函数奇偶性、对称性与周期性的关系 1、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是． 2、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个． 【示例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象关于轴对称，得， 由函数是上的奇函数，得，因此， 又当时，，所以.故选：B 【示例2】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 【答案】 【解析】根据题意，由为奇函数，得， 令得，即；令，得， 由为偶函数，得,令，得， 由，所以， 由，解得， 故时，， 由，当时，可得. 【示例3】（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．2025 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴， ∵，∴，∴.故选:C． 【题型1：周期变换的判断及应用】 例1．下列现象是周期现象的是（    ） ①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【解析】①每天日出日落，周期为一天； ②潮汐是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动； 而③海啸和④地震是随机现象.故选：A 变式1-1．（23-24高一下·河南南阳·月考）下列现象不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间 【答案】D 【解析】对于A：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象； 对于B：分针每隔一小时转一圈，是周期现象； 对于C：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行时间是周期现象； 对于D：某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象， 故选：D. 变式1-2．（23-24高一下·江西南昌·月考）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是（    ） A．编号① B．编号② C．编号③ D．编号④ 【答案】C 【解析】由已知和题图得，小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…， 得到每4次一个循环， 因为的余数为2， 所以第2014次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为③，故选：C． 变式1-3．如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是（    ） A． B．T C． D． 【答案】B 【解析】整个运动刚好是一个周期，所以经历的时间是一个周期T，故选：B 【方法技巧与总结】 1、若某变化经过一个固定的时间间隔会重复出现，则这个固定的时间间隔就是周期． 2、利用周期变化的周期性可以了解该变化在某时间或某位置的变化情况． 【题型2：周期函数的判断】 例2．讨论函数，是否为周期函数，如果是，请指出它的周期． 【答案】它是周期函数，且周期 【解析】当时，该函数的取值为8，6，8，6，8，… 可见它是周期函数，且周期． 变式2-1．若函数的定义域为，且对一切实数，都有，且，试证明为周期函数．并求出它的一个周期． 【答案】证明见解析，为函数的一个周期 【解析】证明：函数的定义域为，且对一切实数， 都有，且， ， 即为周期函数，即为函数的一个周期． 变式2-2．（23-24高一下·陕西渭南·月考）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为C选项中之间的图像在前后都没有重复出现， 所以C选项的函数图像不具有周期性，故选：C． 变式2-3．（多选）下列函数图象中具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】抓住周期变化的特点，重复性，可知A、B、D为周期函数. 对于C，图象不重复出现，故不合题意.故选：ABD. 【方法技巧与总结】 判断一个函数是否为周期函数的常用方法： 1、定义法：根据周期函数的定义，如果存在一个正数，使得对于函数的定义域内的所有，都有，则是周期函数，是它的一个周期． 2、图象法：观察函数的图象，如果图象在水平方向上每隔一定距离重复出现，那么这个距离就是函数的周期． 【题型3：利用周期性求函数值】 例3．（23-24高一下·云南怒江·月考）定义在R上的函数满足（），，则 . 【答案】 【解析】根据题意函数的周期为，所以. 变式3-1．（23-24高一下·安徽亳州·月考）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【解析】由函数满足， 所以的周期为3，.故选：C. 变式3-2．（23-24高三下·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【解析】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则.故选：B. 变式3-3．（23-24高一下·安徽淮北·月考）若函数对任意都有，且当时，，则（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【解析】因为，所以，所以周期为6， 当时，，.故选：A. 【方法技巧与总结】 函数周期性的常用结论： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 【题型4：利用周期性求解析式】 例4．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即，故选：C 变式4-1．（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，.故选：D． 变式4-2．（22-23高一下·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时，故选：C. 变式4-3．已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， . 【答案】 【解析】因为当时，,是定义在上周期为的函数 所以，. 【方法技巧与总结】 利用周期性求函数解析式的步骤 1、确定周期：首先，需要确定函数的周期T． 2、选择一个周期区间：选择函数的一个周期区间，在这个区间上，函数的解析式将被确定． 3、确定解析式：在所选的周期区间上，利用已知的函数值、图象特征或其它条件，确定函数的解析式． 4、扩展到整个定义域：由于函数是周期性的，可以将一个周期区间上的解析式扩展到整个定义域。具体来说，对于任意x，都可以找到一个整数，使得落在所选的周期区间上．然后，利用周期性来确定的值． 5、验证：最后，需要验证所得到的解析式是否满足周期性条件以及其它已知条件． 1．（23-24高一下·江西九江·月考）我们高一同学今年大部分已经16岁了，那么属相和16岁的同学相同的老师的年龄可能是（    ） A．26 B．32 C．40 D．41 【答案】C 【解析】根据题意，老师年龄为，， 根据选项可知，当时，老师年龄为，满足题意，其它选项均不满足.故选：C. 2．王涛今年岁了，请问下面他班的哪个年龄的老师跟他属相相同（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有生肖，属相是每年循环一次； 对于A，，A错误；对于B，，B错误； 对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D. 3．（23-24高二上·河南南阳·月考）若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【解析】由题图知，地球从到用时天， 月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．故选：B 4．如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 【答案】4 【解析】简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点， 则可判定这两点关于平衡位置O点对称， 所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间t1=0.5， 因过N点后再经过t2=1质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点， 所以振子从O点经过N点到最大位置，再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2，为半个周期， 因此，质点振动的周期是T=2×2=4. 5．（23-24高一下·广东广州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由已知为偶函数，所以，又， 所以，所以， 所以函数是周期为2的周期函数， 结合时，， 故，故选：B. 6．（24-25高一上·安徽·月考）函数的定义域为为奇函数，且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】由可知， 所以， 又有， 故得， 由为奇函数可知关于中心对称， 通过赋值计算知： ， 故．故选：B. 7．（23-24高一下·湖北·月考）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为函数为奇函数，且为偶函数， 所以，所以的周期为4， 所以.故选：A. 8．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】1 【解析】，，是的一个周期， 又当时，， ． 9．（24-25高一上·云南·月考）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（    ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，1时到2时之间重合一次，2时到3时之间重合一次 10时到11时之间重合一次，11时到13时之间重合一次（12时），13时到14时之间重合一次. 每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合12次.故选：B. 10．（23-24高一下·河南南阳·月考）（多选）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 【答案】ACD 【解析】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示， 对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确； 对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和 以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误； 对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确； 对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和， 即所求面积为，D正确.故选：ACD. 11．（21-22高三上·山东菏泽·期中）（多选）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方 C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米 D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米 【答案】BC 【解析】如图所示： 作OM垂直于水面， 则OM=1.8，,, A.点第一次到达最高点需要转，时间是，故错误； B.，则点在水面的上方的时间是，故正确； C.，则点P转动了， 点P在图中位置，在水面上方，点距离水面米，故正确； D.当水轮转动秒时，转动了， 点P在图中位置，在水面下方，点距离水面1.8米， 故选：BC 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 周期变化 课程标准 学习目标 （1）理解周期函数、周期、最小正周期的意义； （2）会用周期函数的定义，解决简单问题． （1）了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期； （2）初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性； （3）能够利用函数的周期性求值． 知识点01 周期函数 1、周期函数的概念：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得对任意的都有且满足，那么函数称作周期函数．非零常数称作这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期． 3、对周期函数的理解 （1）周期是一个非零常数，是使函数值重复出现的自变量的增加量； （2）周期函数的周期不是唯一的，如果是函数周期，那么也一定是它的周期； （3）不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数是周期函数，但无最小正周期． 【即学即练1】下列现象不是周期现象的是（    ） A．挂在弹簧下方作上下振动的小球 B．游乐场中摩天轮的运行 C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D．每四年出现一个闰年 【即学即练2】如果对定义域内任意x，都有，那么T是的周期吗？ 难点：函数奇偶性、对称性与周期性的关系 1、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是． 2、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个． 【示例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【示例2】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 【示例3】（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．2025 【题型1：周期变换的判断及应用】 例1．下列现象是周期现象的是（    ） ①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 变式1-1．（23-24高一下·河南南阳·月考）下列现象不是周期现象的是（    ） A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈 C．“哈雷彗星”的运行时间 D．某同学每天上数学课的时间 变式1-2．（23-24高一下·江西南昌·月考）四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是（    ） A．编号① B．编号② C．编号③ D．编号④ 变式1-3．如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是（    ） A． B．T C． D． 【方法技巧与总结】 1、若某变化经过一个固定的时间间隔会重复出现，则这个固定的时间间隔就是周期． 2、利用周期变化的周期性可以了解该变化在某时间或某位置的变化情况． 【题型2：周期函数的判断】 例2．讨论函数，是否为周期函数，如果是，请指出它的周期． 变式2-1．若函数的定义域为，且对一切实数，都有，且，试证明为周期函数．并求出它的一个周期． 变式2-2．（23-24高一下·陕西渭南·月考）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（多选）下列函数图象中具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断一个函数是否为周期函数的常用方法： 1、定义法：根据周期函数的定义，如果存在一个正数，使得对于函数的定义域内的所有，都有，则是周期函数，是它的一个周期． 2、图象法：观察函数的图象，如果图象在水平方向上每隔一定距离重复出现，那么这个距离就是函数的周期． 【题型3：利用周期性求函数值】 例3．（23-24高一下·云南怒江·月考）定义在R上的函数满足（），，则 . 变式3-1．（23-24高一下·安徽亳州·月考）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 变式3-2．（23-24高三下·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 变式3-3．（23-24高一下·安徽淮北·月考）若函数对任意都有，且当时，，则（    ） A． B．8 C． D．12 【方法技巧与总结】 函数周期性的常用结论： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 【题型4：利用周期性求解析式】 例4．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（22-23高一下·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， . 【方法技巧与总结】 利用周期性求函数解析式的步骤 1、确定周期：首先，需要确定函数的周期T． 2、选择一个周期区间：选择函数的一个周期区间，在这个区间上，函数的解析式将被确定． 3、确定解析式：在所选的周期区间上，利用已知的函数值、图象特征或其它条件，确定函数的解析式． 4、扩展到整个定义域：由于函数是周期性的，可以将一个周期区间上的解析式扩展到整个定义域。具体来说，对于任意x，都可以找到一个整数，使得落在所选的周期区间上．然后，利用周期性来确定的值． 5、验证：最后，需要验证所得到的解析式是否满足周期性条件以及其它已知条件． 1．（23-24高一下·江西九江·月考）我们高一同学今年大部分已经16岁了，那么属相和16岁的同学相同的老师的年龄可能是（    ） A．26 B．32 C．40 D．41 2．王涛今年岁了，请问下面他班的哪个年龄的老师跟他属相相同（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·月考）若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 4．如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 5．（23-24高一下·广东广州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 6．（24-25高一上·安徽·月考）函数的定义域为为奇函数，且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7．（23-24高一下·湖北·月考）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 8．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 9．（24-25高一上·云南·月考）挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（    ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 10．（23-24高一下·河南南阳·月考）（多选）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 11．（21-22高三上·山东菏泽·期中）（多选）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方 C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米 D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$