专题02 导数在研究函数中的应用知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题02 导数在研究函数中的应用知识归纳与题型突破 知识点1 函数的单调性与导数 1.若在内，，则函数在此区间内单调递增，为的单调递增区间； 若在内，，则函数在此区间内单调递减，为的单调递减区间； 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 知识点2 函数的极值与导数 1．函数的极大值： 如图（1）设函数y＝f(x)在区间内有定义，x0是区间内的一个点，若x0附近的函数值都小于或等于f(x0)，（即），就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，此时x0叫为y＝f(x)的应该极大值点． 2．函数的极小值： 如图（2）设函数y＝f(x)在区间内有定义，x0是区间内的一个点，若x0附近的函数值都大于或等于f(x0)，（即），就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0叫为y＝f(x)的应该极小值点． 极大值和极小值统称为极值．极大值点和极小值点统称为极值点. 3.特别提醒： (1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点． 函数f (x)在处有极值的必要不充分条件是f ′()＝0，，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)． (2)极值是局部开区间上的最值. 4.极值点和导数的关系： （1）函数在极值点的导数为0；导函数的零点可能不是函数的极值点. （2）若f ′(c)＝0，则x=c叫作函数f(x)驻点. 如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点 5.求函数极值的步骤： 如果函数y＝f(x)在某个区间内有导数，求其极值的步骤为 知识点3 三次函数的单调区间和极值 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)求函数y＝f(x)在端点的函数值f(a)，f(b)． （3）将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识点4 导数的应用举例--优化问题 投入一定的成本如何获得最大利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫优化问题. 题型一 判断或证明函数的单调性 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【变式1-1】（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）下列函数在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，则的解析式可以为 （写出一个满足条件的解析式即可） 【变式1-3】（2021·全国·高考真题（文））已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 题型二 求函数的单调区间 【例2】（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式2-1】（22-23高二下·河南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（22-23高二下·吉林长春·期中）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 题型三 利用函数的单调性解不等式 【例3】（23-24高二下·湖南郴州·期末）设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，且对任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·江西·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型四 比较函数值大小 【例4】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 根据函数的单调性求参数范围 【例5】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）若是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高二下·湖南湘潭·期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 根据函数的单调区间求参数范围 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 题型七 利用导数研究函数的图象 【例7】（23-24高二下·福建莆田·期末）函数，的图象大致为（    ） A. B． C． D． 【变式7-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A. B． C． D． 【变式7-3】（2023·辽宁沈阳·二模）某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ） A． B． C． D． 题型八 求函数极值点 【例8】（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 【变式8-1】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的极大值为 【变式8-2】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 【变式8-3】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数，则的极大值点为 ，极大值为 . 题型九 求函数的极值 【例9】（24-25高三上·河北保定·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 【变式9-1】（22-23高二下·河南洛阳·期中）已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 【变式9-2】（多选）（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 【变式9-3】（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 题型十 求函数极值点的个数 【例10】（2024·四川遂宁·统考一模）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并说明理由； (2)当，探究在上的极值点个数. 【变式10-1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式10-2】（多选）（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【变式10-3】（24-25高三上·河南·期中）已知函数，其中，. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 题型十一 根据函数极值（点）研究参数 【例11】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知函数在处取得极小值，且极小值为. (1)求，的值； (2)求在上的值域. 【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【变式11-3】（2023·上海嘉定·统考一模）对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求a-b= 题型十二 根据函数极值点个数研究参数 【例12】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为 ． 【变式12-1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是 题型十三 函数最值问题 【例13】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知非负实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，对任意的，当时，恒有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ． 【变式13-3】（24-25高三上·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 题型十四 函数极值与最值的综合问题 【例14】（2021·北京高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【变式14-1】（多选）（2024·重庆·模拟预测）关于函数 ，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．的一个极大值为1 【变式14-2】（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 【变式14-3】（24-25高二上·甘肃武威·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的最值. 题型十五 优化问题 【例15】（24-25高二下·全国·课后作业）某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比．已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润最大，并求出的最大值． 【变式15-1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高三·上海·课堂例题）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为元，销量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：，则该商品利润的最大值为 元． 【变式15-3】（23-24高二下·宁夏·阶段练习）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 题型十六 根据函数的最值研究参数 【例16】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【变式16-1】（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 导数在研究函数中的应用知识归纳与题型突破 知识点1 函数的单调性与导数 1.若在内，，则函数在此区间内单调递增，为的单调递增区间； 若在内，，则函数在此区间内单调递减，为的单调递减区间； 2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数. 特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 知识点2 函数的极值与导数 1．函数的极大值： 如图（1）设函数y＝f(x)在区间内有定义，x0是区间内的一个点，若x0附近的函数值都小于或等于f(x0)，（即），就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，此时x0叫为y＝f(x)的应该极大值点． 2．函数的极小值： 如图（2）设函数y＝f(x)在区间内有定义，x0是区间内的一个点，若x0附近的函数值都大于或等于f(x0)，（即），就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0叫为y＝f(x)的应该极小值点． 极大值和极小值统称为极值．极大值点和极小值点统称为极值点. 3.特别提醒： (1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点． 函数f (x)在处有极值的必要不充分条件是f ′()＝0，，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)． (2)极值是局部开区间上的最值. 4.极值点和导数的关系： （1）函数在极值点的导数为0；导函数的零点可能不是函数的极值点. （2）若f ′(c)＝0，则x=c叫作函数f(x)驻点. 如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点 5.求函数极值的步骤： 如果函数y＝f(x)在某个区间内有导数，求其极值的步骤为 知识点3 三次函数的单调区间和极值 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)求函数y＝f(x)在端点的函数值f(a)，f(b)． （3）将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识点4 导数的应用举例--优化问题 投入一定的成本如何获得最大利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫优化问题. 题型一 判断或证明函数的单调性 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，先求导，再求，利用点斜式即可写出切线方程； （2）分，，，四种情况，结合求导讨论即可求解． 【详解】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 【变式1-1】（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）下列函数在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立. 【详解】对于A，，，不符合题意； 对于B，在上恒成立，符合题意； 对于C，，，不符合题意； 对于D，，，不符合题意. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，则的解析式可以为 （写出一个满足条件的解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】举例，根据题意结合导数判断其单调性，进而分析判断 【详解】当时，，且， 当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式1-3】（2021·全国·高考真题（文））已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和. 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】 (1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 题型二 求函数的单调区间 【例2】（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 因为切点为，所以切线方程为，即. （2）解：由函数，其定义域为，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式2-1】（22-23高二下·河南·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得． 【详解】的定义域为， ， 由，可得， 故的单调递减区间为． 故选：C． 【变式2-2】（多选）（22-23高二下·吉林长春·期中）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由导数求得函数的单调增区间后判断各选项. 【详解】由题意，，，因此的增区间是， 因此ABD正确，C错误． 故选：ABD． 【变式2-3】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求得后由点斜式得切线方程并整理成一般式； （2）由得增区间，由得减区间． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 题型三 利用函数的单调性解不等式 【例3】（23-24高二下·湖南郴州·期末）设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以，得到， 因为，所以，令， 所以， 因为，所以，所以为奇函数； ，当时，单调递减，因此在上单调递减； ，， 所以 ， 因为，所以 即，所以， 由于在上单调递减，所以，解之得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造了函数，从而分析得的性质，由此得解. 【变式3-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断单调性即可求解． 【详解】设，则， ∵，∴， ∴，即在定义域R上单调递减． ∵，∴， ∴不等式等价于，即，解得， 故选：D． 【变式3-2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，且对任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，由可得单调递增，由可得是偶函数，最后在根据的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】设，当时，，所以在单调递增， ，所以为偶函数， 所以，两边平方解得. 故选：C 【变式3-3】（23-24高二下·江西·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】当时，令，求导后结合已知可得在上单调递减，再由可得到时，，当时，，再利用为奇函数，可求出结果. 【详解】当时，令，则， 所以在上单调递减， 因为，所以， 于是当时，，即； 当时，，即. 又为上的奇函数， 所以当时，，当时，， 又， 所以的解集为. 故选：A. 题型四 比较函数值大小 【例4】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由已知可得，令，可得在上单调递增，进而可得，，可得结论. 【详解】由题意可得，即， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，故与2的大小关系不确定. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【详解】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D 【变式4-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 【变式4-3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 题型五 根据函数的单调性求参数范围 【例5】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）若是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数、基本不等式求和的最小值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当时，在上单调递增，因此可得在上恒成立，且，进而求解即可. 【详解】因为， 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 当时，， 由题意知，在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 又由，得到， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，利用导数分析得当时，的单调性，从而确定在上的单调性，从而得解. 【变式5-1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由分段函数的单调性，列出不等式，求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以当，单调递增，所以， 当时，，单调递增，且当，， 所以的范围是. 故选:A 【变式5-2】（22-23高二下·湖南湘潭·期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用求导数的方法，含参讨论函数的单调性，即可求出实数a的取值范围. 【详解】， 当时，在区间上单调递减，不符合题意. 当，时，， 在区间上单调递减，不符合题意. 当时，令，解得， 要使在区间上不单调，则， 即，解得， 此时在区间上递减； 在区间上递增. 故选：B 【变式5-3】（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的单调增区间，由即可解出. 【详解】函数的定义域是， 所以. 当时，，则在上单调递增，符合题意. 当时，由，得（负根舍去）， 所以当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 依题意，函数在区间内存在单调递增区间， 所以，解得. 综上，. 故选：C. 题型六 根据函数的单调区间求参数范围 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解. 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意将问题转化为恒成立，参变分离，结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以恒成立， 即恒成立， 而（当且仅当时，等号成立）， 所以只需，解得.经检验，当时，仅有使，符合题意. 故选：B. 【变式6-2】（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由的解集，求出的值. 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 题型七 利用导数研究函数的图象 【例7】（23-24高二下·福建莆田·期末）函数，的图象大致为（    ） A. B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据条件，得出的奇偶性和在区间上的单调性，结合图象，选项A符合题意，选项BCD不符合题意，即可求出结果. 【详解】因为，关于原点对称，又， 即为偶函数， 当时，，， 令，则为增函数，因为，， ，使，即有， 当时，，时，， 即，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又，，， ，当时，，时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，结合图象，选项A符合题意，选项BCD不符合题意， 故选：A. 【变式7-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A. B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数与原函数图象的关系，结合排除法确定满足要求的图象即可. 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 【变式7-3】（2023·辽宁沈阳·二模）某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案. 【详解】A：，即在定义域上递增，故A不符合题意； B：， 在上，在上，在上， 所以在、上递减，上递增，故B符合题意； C：由且定义域为， 为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧， 研究上性质：，故递增，故C不符合题意； D：由且定义域为R，为奇函数， 研究上性质：， 当时，； 当时，，所以， 故，，在递增， 所以在R上递增，故D不符合题意； 故选：B 题型八 求函数极值点 【例8】（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的最小值为 C．方程的解有个 D．导函数的极值点为 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根、求已知函数的极值点 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 【变式8-1】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的极大值为 【答案】AB 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值进行判断. 【详解】函数的定义域为，且. 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以函数有两个极值点， 函数在处取极大值，为极大值点，在处取极小值，为极小值点. 故选：AB 【变式8-2】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 【答案】2 【分析】求导，得到的解，进而得到函数单调性，求出极大值点. 【详解】， 令，解得或6， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在取得极大值，故极大值点为2. 故答案为：2 【变式8-3】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数，则的极大值点为 ，极大值为 . 【答案】 2e 2ln 2 【分析】首先求函数的导数，并求，并判断函数的单调区间，再求函数的极值点和极值. 【详解】易求，， 所以，则， 因此，， 由得，由得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此的极大值点为，极大值为. 故答案为：； 题型九 求函数的极值 【例9】（24-25高三上·河北保定·期末）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）由导数的意义令，列方程组求解即可； （2）由导数分析单调性和极值即可； 【详解】（1），切点坐标为， ，即，解得， . （2），定义域为， 得或， 得或得； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 的极大值为的极小值为. 【变式9-1】（22-23高二下·河南洛阳·期中）已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求导，根据题意结合极值点解得或，再验证函数极值点即可. 【详解】因为， 由题意可得：，解得或. 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极小值，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极大值； 综上所述：的极大值为32. 故选：B. 【变式9-2】（多选）（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、求某点处的导数值 【分析】根据导数求值判断A；根据奇偶性的定义判断B；求解函数的单调性及极值判断CD． 【详解】因为，所以，，故A错误； 因为且， 所以函数为奇函数，故B正确； 由，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值为，故C错误； 由在上单调递增，故D正确． 故选：BD． 【变式9-3】（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为13 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）求函数的导数，最后根据切点求切线方程； （2）利用导数求极值. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以曲线在点处切线的方程为， 即． （2）令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，所以函数的极小值为，极大值为13． 题型十 求函数极值点的个数 【例10】（2024·四川遂宁·统考一模）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并说明理由； (2)当，探究在上的极值点个数. 【答案】(1)时，在上单调递增.理由见解析. (2)当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【分析】（1）求的导函数，根据时，导函数的符号，判断函数的单调性； （2）求的导函数，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，再求的导函数，对a分类讨论，得到的极值点个数. 【详解】（1）时，，，，，所以在上单调递增. （2）由，得， 依题意，只要探究在上的变号零点个数即可， 令，，则， (Ⅰ)当，即时，，此时在上恒成立， 则即单调递增，，在上无零点， 在上的极值点个数为0. (Ⅱ) 当，即时， ，使得，即， 当，；当，， 所以即在上单调递增，在上单调递减， 由于，， 若，即时，在上无零点， 在上的极值点个数为0. 若，即时，在上有1个变号零点， 在上的极值点个数为1. 综上所述，当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【变式10-1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】函数与方程的综合应用、求已知函数的极值点 【分析】先求导函数，再数形结合得出导函数有两个零点，左右正负有变化即可得出极值点个数. 【详解】由题意得，令，得，令，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图所示， 由图象可知，函数与的图象有两个交点，则方程有两个不同的根，故有两个不同的根，且两个根左右的单调性不同. 由极值点的定义可知，函数有两个极值点. 故选：C. 【变式10-2】（多选）（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】BC 【分析】根据的图象，得到的单调性和极值情况，得到答案. 【详解】根据的图象，可得 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， AC选项，在和1处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点， A错误，C正确； B选项，为函数的极大值，B正确； D选项，不为函数的极小值，D错误. 故选：BC 【变式10-3】（24-25高三上·河南·期中）已知函数，其中，. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可； （2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即. （2）当时，，定义域为， 所以， 因为在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 令，则在上必存在变号零点， 因为，所以，解得， 当时，，且在上单调递增， 又，故存在，使得， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为. 题型十一 根据函数极值（点）研究参数 【例11】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知函数在处取得极小值，且极小值为. (1)求，的值； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】(1)求导，利用导函数与极值点的关系结合已知条件列方程组求解即可； (2)利用导函数的符号判断单调性，进而求值域即可. 【详解】（1）由题意可得， 因为在处取得极小值，且极小值为， 所以，解得， 此时， 当，，当，， 则满足在处取得极小值， 故； （2）由(1)得，， 当时，令解得，令解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 又因为，所以在上的最小值为， 故在上的值域为. 【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令且恒成立，根据的极值点得到矛盾，有两个不同的零点，利用三次函数性质判断单调性，进而求参数范围. 【详解】由题意，令， 若恒成立，易知：当时，当时， 所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点． 设的两个零点分别为，则， 结合三次函数的图象与性质知： ， 在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意， 此时需，得，所以实数的取值范围为． 故选：D 【点睛】方法点睛：对于三次函数，易知， 当时，若，则在上单调递增，若，则在上单调递减； 当时，若，则的大致图象如图1所示，若，则的大致图象如图2所示． 【变式11-2】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3 【变式11-3】（2023·上海嘉定·统考一模）对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求a-b= 【答案】/1.5 【分析】由函数在处取极值得，求出a的值并检验，再由函数为奇函数，利用奇函数定义求出b的值，即可求出的值. 【详解】由题， 因为函数在处取极值， 所以，所以. 检验：当时，的根为或 当时，，当时，；当时，， 所以函数在处取极值，成立. 故. 又该函数为奇函数，所以对定义域内任意都成立， 即对任意都成立 所以， 故. 故答案为：. 题型十二 根据函数极值点个数研究参数 【例12】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，即，令，，分和两种情况讨论，根据与有两个交点，求出过原点的切线，比较过原点的切线的斜率与斜率，得出关于两斜率的不等式求解即可. 【详解】对函数求导得：， 因为存在两个极值点，所以有两个不同的变号零点． 令，有 ，令，， 所以与有两个交点； 当时，，， 设过原点的直线与的切点坐标为， 切线斜率为， 所以切线方程为：， 将原点坐标带入切线方程得． 此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点， 即，因为，有，所以，所以； 同理知当时，， ， 即，所以． 综上知：的取值范围为． 故答案为： 【变式12-1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数极值的辨析、根据极值点求参数 【分析】根据极值点个数与导函数零点个数的关系，计算可得结果. 【详解】易知， 因为有两个极值点，故有两个变号零点， 故在上有两个不同的解， 故所以. 故选：D. 【变式12-2】（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点个数求参数 【分析】根据函数有两个极值点，转化为导数有两个不等零点即可得解. 【详解】因为， 且函数有两个极值点， 所以有两个不等实根， 所以，解得或， 故选：D 【变式12-3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】求，根据是的两个极值点可得为方程的两个根，结合韦达定理可得，令，构造函数分析单调性可得的值域，即得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴为方程的两个根， ∴，∴，， ∴ 代入可得：， 设，∵，∴， 设，则， ∴在上单调递减， ∵， ∴ ，即的取值范围是. 故答案为：. 题型十三 函数最值问题 【例13】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知非负实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参） 【分析】这是多变量问题，解答时要逐步减少变量个数，即代换掉c，进而将a看作主元，构造函数，利用导数解决问题. 【详解】由题意非负实数满足， 则， 令， 由，得，而， 在单调递减， ， 令， 则， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 则时，取最小值， 故选：C 【变式13-1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知，对任意的，当时，恒有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，通过变形将不等式等价于恒成立；构造，借助导数研究单调性和最值即可. 【详解】令，因为，所以， 不等式两边取以为底的对数，得，即 不等式等价于恒成立； 令， ， 当即时，恒有单调递增，当时，恒有； 当时，即时，时，有单调递减， 则不合题意，舍； 综上，. 故选：C. 【变式13-2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性转化为在区间上恒成立， 构造函数，利用导数求最小值即可求得即. 【详解】因为，所以． 由的图象在区间上单调递增， 可知不等式即在区间上恒成立． 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 故要使在上恒成立，只需． 由，解得， 故实数a的取值范围为，则a的最小值为． 故答案为： 【变式13-3】（24-25高三上·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）利用导数知识可判断在区间上的单调性，据此可得在区间上的最值. 【详解】（1）由题可得：， 则，故； （2）， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 则. 故的最大值为，最小值为． 题型十四 函数极值与最值的综合问题 【例14】（2021·北京高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】 （1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】 （1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 【变式14-1】（多选）（2024·重庆·模拟预测）关于函数 ，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．的一个极大值为1 【答案】AC 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】首先求函数的导数，利用导数与函数单调性，极值的关系，即可判断ACD，利用特殊值，即可判断B. 【详解】，得或， 的变化情况如下表， 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当时取极小值，也是最小值，无极大值， ，，，所以函数也不关于对称， 所以正确的只有AC. 故选：AC 【变式14-2】（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】根据已知条件确定、的值，利用导数研究函数的单调性及极值，结合函数的值域，得到方程，求方程的解即可确定的取值范围. 【详解】由题意可得：， 因为函数在处取得极小值， 所以，即，解得， 又因为，则有，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在处取极小值，在处取极大值， 令，即， 化为，解得， 令，即， 化为，解得或， 所以函数图像大致如图：    又因为函数在处取得极小值， 若满足定义域为，值域为，则有，. 故答案为： 【变式14-3】（24-25高二上·甘肃武威·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】(1)求导，根据函数在处取得极值求解； (2)由(1)得到，利用导数法求解最值. 【详解】（1）， 函数在处取得极值， 所以有，经检验满足题意； （2）由(1)可知：， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故函数在处取得极小值，因此， ，， 故函数的最大值为，最小值为. 题型十五 优化问题 【例15】（24-25高二下·全国·课后作业）某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比．已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件． (1)求该商店的日利润元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润最大，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利润最大问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）设日销售量为，由条件确定，结合题意求函数解析式； （2）由（1）可知，然后直接求导，分类讨论利用导数求其最值即可. 【详解】（1）设日销售量为，则， 则，且日销售量为件， 所以日利润，． （2）由（1）得，则． 因为，则， ①当时，则， 当时，，在内单调递减． 可知当时，取最大值，最大值为； ②当时，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则当时，取最大值，最大值为． 综上所述：. 【变式15-1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面积、体积最大问题、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由外接球的体积得出球半径，再由正三棱锥得出体积，利用导数求最值即可. 【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ，， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 故选：B 【变式15-2】（24-25高三·上海·课堂例题）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为元，销量（单位：件）与零售价（单位：元）有如下关系：，则该商品利润的最大值为 元． 【答案】23000 【知识点】利润最大问题 【分析】求出该商品利润的表达式，利用导数求出最值可得答案. 【详解】该商品利润， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时有最大值， 为元. 故答案为：23000. 【变式15-3】（23-24高二下·宁夏·阶段练习）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 【答案】(1) (2) 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、用料最省问题 【分析】（1）利用矩形堆料场的面积可整理得到函数关系式，结合实际意义可得的范围； （2）利用导数可求得函数的单调性，得到函数的最值点，进而得到长宽比. 【详解】（1）由题意知：与原有墙壁垂直的新墙长度为，的取值范围为， 则，整理可得：， 关于的函数解析式为. （2）由（1）可得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，此时， 当堆料场的长、宽比为时，需要砌起的新墙用的材料最省. 题型十六 根据函数的最值研究参数 【例16】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【答案】(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数 【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案； （2）利用导数分别求出与的最大值，由最大值相等可得关于的方程，再构造关于的函数，然后利用导数求最值即可． 【详解】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 【变式16-1】（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 【变式16-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式16-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上的最大值是，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，结合分类讨论即可求解， （2）根据（1）问中函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， ∴，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则；令，则， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2）若，由（1）可知，函数在上单调递增，不存在最大值，与题意不符， ∴， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得， ∴a的值为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$