专题02 空间向量基本定理及坐标表示知识归纳与题型突破（12类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题02 空间向量基本定理及坐标表示知识归纳与题型突破 知识点1 空间向量的分解与坐标表示 1.共面向量：能平移到同一平面内的向量. 2.共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使. 3.空间向量基本定理 把{}称为空间的一组基，叫作基向量，（x,y,z）称为向量在基{}下的坐标. 4.空间向量的直角坐标表示： （1）标准正交基：空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面，可将它们组成空间的一组基，称之为标准正交基. （2）向量的坐标：空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和： ，系数按顺序排成的实数组（），称为向量p的坐标，记作p=（） （3）两点确定向量的坐标：一个空间向量在直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标. （4）向量在坐标轴正方向上的投影：向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标. 知识点2 空间向量运算的坐标表示 1．线性运算的坐标表示： （1）和、差的坐标： （2）数乘的坐标： （3）平行向量的坐标表示： （4） 有向线段的定比分点： 设，点M在直线AB上，,为实数，且，则有向线段的定比分点M的坐标为： 2．向量数量积的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) （1）数量积：a·b＝(a1，a2，a3)·(b1，b2，b3)=a1b1＋a2b2＋a3b3 （2）模： （3）夹角公式：cos〈a，b〉＝ （3）垂直向量的坐标表示：a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 题型一 共面向量定理及其应用 【例1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、由空间向量共线求参数或值、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 【变式1-1】（浙江省宁波市九校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【详解】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】对于，当时，四点共面，故可判断选项. 【详解】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 题型二 根据“共面”求参数 【例2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据四点共面的性质即可求解. 【详解】由题意可知四点共面， 故，故， 故选：A 【变式2-2】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间共面向量定理的推论计算. 【详解】∵四点共面，且任意三点不共线， ∴，则. 故选：D. 【变式2-3】（2022·高二课时练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则_________． 【答案】 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 题型三 用基底表示向量 【例3】（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】运用向量的线性运用表示向量，进而求得，进而求值即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于基底的表达式. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，则，所以，，则， 因此，. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】由图形可得，根据比例关系可得,, 再根据向量的减法,代入整理，并用基底代换得答案. 【详解】由 整理得， 由，，代入得， . 故选：D 【变式3-3】（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，分别是四面体的棱，的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量基本定理，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】 在四面体中，，分别是，的中点，所以： ， ， ， ， ， . 故选：B. 题型四 空间向量基本定理的应用 【例4】（24-25高二上·吉林四平·期中）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意 ， 又，所以，. 故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·福建泉州·期中）空间四边形中，点是的中点，点是边上靠近的三等分点，设，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求，即可得. 【详解】由题可知： ， 可得，所以. 故选：B. 【变式4-2】（湖北省楚天协作体2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】记线段的中点为，由正四面体的性质可知，为的重心， 因为为的中点，则，所以，， 所以，，所以 所以 . 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、空间向量加减运算的几何表示、空间向量基本定理及其应用 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 题型五 空间向量运算的坐标表示 【例5】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知，求 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算逐项运算求解. 【详解】因为， 则： ； . 【变式5-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为向量，，， 则， 因此，. 故选：A. 【变式5-2】（广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题）已知，且，则（    ） A． B． C．11 D． 【答案】B 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】先利用向量垂直数量积为零求出的值，再求出的坐标，最后根据模长公式求解. 【详解】因为且， 所以， 所以，则， 所以， 故选：B. 【变式5-3】（湖北省部分市州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题）已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】建系，利用空间向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】连接，交于点，连接，， 因为正四棱锥与正四棱锥， 所以平面，平面， 因为，， 所以，，， 以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以. 故选：D. 题型六 空间向量的投影 【例6】（广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 【变式6-1】（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 【变式6-2】（24-25高二上·广东清远·期中）（周测二4)已知，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据投影向量定义利用已知条件求得数量积和模长可得结果. 【详解】由可得； 所以，即可得； 因此在上的投影向量的坐标为. 故选：B 【变式6-3】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、求投影向量 【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可. 【详解】 设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 题型七 根据共线、共面向量求参数 【例7】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）已知向量共面，则实数的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可. 【详解】因为共面，所以存在，使得， 整理得，解得. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·北京·期末）设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用向量共线的充要条件求解即可. 【详解】因为向量，，，所以存在，使得， 即，解得， 故选：C. 【变式7-2】（湖北省部分市州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题）已知向量，向量，向量，若三个向量共面，则实数等于（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】根据题意可知存在，使得，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，向量，向量，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得，所以. 故选：D. 【变式7-3】（23-24高一下·广东阳江·期中）已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面可得，进而可得，即得答案. 【详解】因为共面， 所以存在实数，使， 所以， ∴， 解得. 故选：B. 题型八 空间向量垂直的坐标表示 【例8】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件求得，即可求模； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）因为，. 得，所以. 由，可得， 因为，所以向量与的夹角为. （2）， 故4. （3）由向量与互相垂直，得， ，整理得，解得. 【变式8-1】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值. 【详解】向量， 若， 则， . 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示及模长公式即可求解. 【详解】因为，，与垂直， 所以，解得， 所以，所以. 故选D. 【变式8-3】（四川省巴中市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）已知向量，若与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】2 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】由向量，得，， 由与互相垂直，得， 所以. 故答案为：2 题型九 向量夹角运算的坐标表示 【例9】（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 【变式9-1】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知空间中三个点，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】由已知得， 记直线与的夹角为， 则． 故选：D 【变式9-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得．联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可． 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 【变式9-3】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 题型十 空间向量坐标运算求参数问题 【例10】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，则 . 【答案】3或 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】先利用向量的线性坐标运算求出的坐标，再求出，然后求出即可. 【详解】， 所以，解得或， 故答案为：3或 【变式10-1】（多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 【答案】AC 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据空间向量夹角公式得到方程，求出或. 【详解】由题意得，即， 化简得，解得或 故选：AC 【变式10-2】（2010·广东·高考真题）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解. 【详解】解： ，解得 故答案为： 【变式10-3】（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算 【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可. 【详解】因为，夹角为钝角，所以，且，不共线， 所以，解得且， 即的取值范围为， 故答案为： 题型十一 空间向量的综合问题 【例11】（多选）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ACD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；对于B：利用投影的几何意义即可求解；对于C：结合向量的四则运算即可求解； 对于D：根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A：，， 又，， 即：， 解得：，故A选项正确； 对于B：在上的投影向量为：，即， 代入坐标化简可得：， 故，无解，故B选项错误； 对于C：， ，解得：，故C选项正确； 对于D：与夹角为锐角， ，解得：， 且与不共线，即，解得：， 所以与夹角为锐角，解得：，故D选项正确； 故选：ACD. 【变式11-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知向量，，，则下列列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为钝角 D．在上的投影向量为 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；判断出，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，所以，与不垂直，A错； 对于B选项，，故与不共线，B错； 对于C选项，因为，且、为非零向量，故与所成角为，C错； 对于D选项，在上的投影向量为 ，D对. 故选：D. 【变式11-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知空间向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量减法坐标运算、数量积的坐标运算求、夹角坐标运算及投影向量的定义和求法，判断各项正误. 【详解】A：由题设，错； B：，错； C：，错； D：向量在向量上的投影向量是，对. 故选：D 【变式11-3】（多选）（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【答案】BD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量模长的坐标表示、求直线的方向向量、求投影向量 【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项. 【详解】，，， ，， 对于A：，故A错误； 对于B：直线的方向向量与共线，而， 直线的一个方向向量是，故B正确； 对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为 ，故C错误； 对于D：，，与不共线， ，， 设存在唯一实数对使得，则 ， ，， 存在唯一实数对使得， 与、共面，即，，，四点共面，故D正确. 故选：BD. 题型十二 空间向量的应用 【例12】（2023·全国·高二课堂例题）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长. （2）利用向量法求得与所成角的余弦值. 【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. （2），，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为．    【变式12-1】（四川省成都市2024-2025学年高二上学期1月期末调研数学试题）已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由题意得，根据空间向量的模及夹角的余弦值公式，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】因为， ， 所以，， ， 所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：. 【变式12-2】（2023秋·河南新乡·高二校考阶段练习）已知在正四棱台中，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，侧棱与下底面所成的角均为60°，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据正四棱台的几何特征可以的交点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别表示出直线与的方向向量，利用空间向量即可求出结果. 【详解】连接交于点，连接交于点，连接，则平面； 因为平面，所以； 又底面是正方形，所以，即； 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，，所以. 易知平面平面，所以为侧棱与底面所成的角， 即，. 设棱台的高为，则，解得； 所以， 可得， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式12-3】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量基本定理及坐标表示知识归纳与题型突破 知识点1 空间向量的分解与坐标表示 1.共面向量：能平移到同一平面内的向量. 2.共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使. 3.空间向量基本定理 把{}称为空间的一组基，叫作基向量，（x,y,z）称为向量在基{}下的坐标. 4.空间向量的直角坐标表示： （1）标准正交基：空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面，可将它们组成空间的一组基，称之为标准正交基. （2）向量的坐标：空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和： ，系数按顺序排成的实数组（），称为向量p的坐标，记作p=（） （3）两点确定向量的坐标：一个空间向量在直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标. （4）向量在坐标轴正方向上的投影：向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标. 知识点2 空间向量运算的坐标表示 1．线性运算的坐标表示： （1）和、差的坐标： （2）数乘的坐标： （3）平行向量的坐标表示： （4） 有向线段的定比分点： 设，点M在直线AB上，,为实数，且，则有向线段的定比分点M的坐标为： 2．向量数量积的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) （1）数量积：a·b＝(a1，a2，a3)·(b1，b2，b3)=a1b1＋a2b2＋a3b3 （2）模： （3）夹角公式：cos〈a，b〉＝ （3）垂直向量的坐标表示：a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 题型一 共面向量定理及其应用 【例1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【变式1-1】（浙江省宁波市九校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 题型二 根据“共面”求参数 【例2】（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【变式2-1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2-2】（24-25高二上·上海宝山·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】（2022·高二课时练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则_________． 题型三 用基底表示向量 【例3】（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，分别是四面体的棱，的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量基本定理的应用 【例4】（24-25高二上·吉林四平·期中）如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·福建泉州·期中）空间四边形中，点是的中点，点是边上靠近的三等分点，设，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式4-2】（湖北省楚天协作体2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 题型五 空间向量运算的坐标表示 【例5】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知，求 【变式5-1】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题）已知，且，则（    ） A． B． C．11 D． 【变式5-3】（湖北省部分市州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题）已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（    ） A．0 B．2 C． D． 题型六 空间向量的投影 【例6】（广东省江门市2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试题）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·广东清远·期中）（周测二4)已知，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 题型七 根据共线、共面向量求参数 【例7】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）已知向量共面，则实数的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-1】（24-25高二上·北京·期末）设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（湖北省部分市州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题）已知向量，向量，向量，若三个向量共面，则实数等于（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 【变式7-3】（23-24高一下·广东阳江·期中）已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 题型八 空间向量垂直的坐标表示 【例8】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知向量，且. (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【变式8-1】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式8-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D． 【变式8-3】（四川省巴中市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题）已知向量，若与互相垂直，则实数的值为 . 题型九 向量夹角运算的坐标表示 【例9】（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式9-1】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知空间中三个点，则直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式9-3】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 题型十 空间向量坐标运算求参数问题 【例10】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，则 . 【变式10-1】（多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 【变式10-2】（2010·广东·高考真题）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ． 【变式10-3】（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 题型十一 空间向量的综合问题 【例11】（多选）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 【变式11-1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知向量，，，则下列列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为钝角 D．在上的投影向量为 【变式11-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知空间向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量是 【变式11-3】（多选）（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 题型十二 空间向量的应用 【例12】（2023·全国·高二课堂例题）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【变式12-1】（四川省成都市2024-2025学年高二上学期1月期末调研数学试题）已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【变式12-2】（2023秋·河南新乡·高二校考阶段练习）已知在正四棱台中，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，侧棱与下底面所成的角均为60°，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式12-3】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$