专题突破：导数及其应用重点题型突破（16大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题突破：导数及其应用重点题型突破 1、 求曲线的切线方程（斜率） （1）求在曲线上一点的切线方程（斜率）： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． （2）求过一点的切线方程（斜率）： 如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 2、切线的平行与垂直及其应用： 3、曲线的公切线问题： (1)解决此类问题通常有两种方法 一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； 二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝. （2）处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 4、利用导数几何意义求参数： (1)已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题． (2)求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 5、利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开． 6、比较大小或解不等式的思路方法 (1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数． (2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系． （3）构造函数解不等式或比较大小 一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果． 常见构造的辅助函数形式有： ①f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)； ②xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′； ③xf ′(x)－f (x)→； ④f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′； ⑤f ′(x)－f (x)→. 5、由函数的单调性（单调区间）求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围． (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 6、导数与函数图像： （1）有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解． （2）函数图象的辨识要点： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置； ②从函数的值域，判断图象的上下位置． ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7、函数极值、最值与参数问题： （1）讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． （2）由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论． （3）已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决． （4）求解函数极值与最值综合问题的策略： ①求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围． ②求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 8、不等式恒成立与不等式的证明： （1）将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易． 一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min． （2）利用导数证明不等式常见类型及解题策略： ①构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式； ②根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. （3）利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 ①若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max； ②若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. （4）证明不等式时的一些常见结论 ①ln x≤x－1，等号当且仅当x＝1时取到； ②ex≥x＋1，等号当且仅当x＝0时取到； ③ln x<x<ex，x>0； ④≤ln(x＋1)≤x，x>－1，等号当且仅当x＝0时取到．　 9、函数的零点问题： (1）解函数零点问题的一般思路 ①对函数求导． ②分析函数的单调性，极值情况． ③结合函数性质画函数的草图． ④依据函数草图确定函数零点情况． （2）根据零点求参数问题： ①分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； ②利用零点的存在性定理构建不等式求解； ③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 题型一 求在曲线上一点的切线方程（斜率） 【例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象与直线相切于点，则（    ） A．4 B．8 C．0 D．-8 【变式1-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 求过一点的切线方程（斜率） 【例2】（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【变式2-1】（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式2-2】（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 题型三 切线的平行与垂直及其应用 【例3】（23-24高二下·全国·课后作业）已知点，点是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程. 【变式3-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高二下·浙江杭州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 曲线的公切线问题 【例4】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为 . 【变式4-1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 【变式4-3】（24-25高三上·福建泉州·期末）已知曲线与的公切线为，则实数 . 题型五 利用导数几何意义求参数 【例5】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数在点处的切线方程为，则 ． 【变式5-1】（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线经过点（3，5），则a的值为（    ） A． B．e C．1 D．2 【变式5-2】（多选）（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 题型六 判断或证明函数的单调性 【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知，判断函数的单调性. 【变式6-1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，若在处的切线恰好与轴平行，判断此时的单调性. 题型七 求函数的单调区间 【例7】（湘豫名校联考2024-2025学年高三一轮复习质量检测数学试题）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点求，实数的值； (2)求函数的单调递增区间． 【变式7-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【变式7-3】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)若在区间单调递增，求a的取值范围； (2)讨论的单调性. 题型八 比较大小与不等式的解 【例8】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【变式8-1】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高三上·广西·期末）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型九 根据函数的单调性（单调区间）求参数范围 【例9】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）若 为上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【变式9-2】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十 函数极值、最值的确定 【例10】（2021·北京高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【变式10-1】（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______. 【变式10-2】（2023上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 【变式10-3】（2023下·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）设函数． (1)求的单调区间与极小值： (2)求在上的值域． 题型十一 根据函数极值（点）求参数的值或范围 【例11】（2025·全国·模拟预测）已知函数（且），当时，. (1)求； (2)若为的极小值，求的取值范围； 【变式11-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知是函数的极小值点，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【变式11-3】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围. 题型十二 根据函数最值求参数的值或范围 【例12】（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【变式12-1】（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 【变式12-2】（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【变式12-3】（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若的最小值不大于0，求的取值范围. 题型十三 函数不等式恒成立问题 【例13】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数关于直线对称． (1)求的值； (2)判断函数的单调性； (3)若时恒成立，求m的取值范围． 【变式13-1】（24-25高三上·甘肃白银·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2024高三·全国·专题练习）设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 【变式13-3】（24-25高三上·湖北·期末）已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型十四 不等式的证明 【例14】（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【变式14-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【变式14-2】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，当时，有极大值． (1)求实数a，b的值； (2)当时，证明：． 【变式14-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 题型十五 函数零点问题 【例15】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【变式15-1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数，若有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（多选）（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．有三个零点 C．有两个零点 D．函数为奇函数 题型十六 函数、导函数图象关系及应用 【例16】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）    A．单调减区间是 B．是极大值点 C．没有最大值 D．最多能有四个零点 【变式16-1】（22-23高二下·江苏扬州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值 B．是的极大值 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【变式16-2】（多选）（2023上·云南楚雄·高三云南省楚雄东兴中学校考阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（    ）    A．在上单调递减 B．有极小值 C．有2个极值点 D．在处取得最大值 【变式16-3】（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：导数及其应用重点题型突破 1、 求曲线的切线方程（斜率） （1）求在曲线上一点的切线方程（斜率）： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． （2）求过一点的切线方程（斜率）： 如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 2、切线的平行与垂直及其应用： 3、曲线的公切线问题： (1)解决此类问题通常有两种方法 一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； 二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝. （2）处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 4、利用导数几何意义求参数： (1)已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题． (2)求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 5、利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． 温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开． 6、比较大小或解不等式的思路方法 (1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数． (2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系． （3）构造函数解不等式或比较大小 一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f ′(x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果． 常见构造的辅助函数形式有： ①f (x)＞g(x)→F(x)＝f (x)－g(x)； ②xf ′(x)＋f (x)→[xf (x)]′； ③xf ′(x)－f (x)→； ④f ′(x)＋f (x)→[exf (x)]′； ⑤f ′(x)－f (x)→. 5、由函数的单调性（单调区间）求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围． (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 6、导数与函数图像： （1）有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解． （2）函数图象的辨识要点： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置； ②从函数的值域，判断图象的上下位置． ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7、函数极值、最值与参数问题： （1）讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． （2）由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论． （3）已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决． （4）求解函数极值与最值综合问题的策略： ①求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围． ②求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 8、不等式恒成立与不等式的证明： （1）将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易． 一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min． （2）利用导数证明不等式常见类型及解题策略： ①构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式； ②根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. （3）利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 ①若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max； ②若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. （4）证明不等式时的一些常见结论 ①ln x≤x－1，等号当且仅当x＝1时取到； ②ex≥x＋1，等号当且仅当x＝0时取到； ③ln x<x<ex，x>0； ④≤ln(x＋1)≤x，x>－1，等号当且仅当x＝0时取到．　 9、函数的零点问题： (1）解函数零点问题的一般思路 ①对函数求导． ②分析函数的单调性，极值情况． ③结合函数性质画函数的草图． ④依据函数草图确定函数零点情况． （2）根据零点求参数问题： ①分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； ②利用零点的存在性定理构建不等式求解； ③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 题型一 求在曲线上一点的切线方程（斜率） 【例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象与直线相切于点，则（    ） A．4 B．8 C．0 D．-8 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果. 【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点， 根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以， 又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以， ． 则． 故选：B． 【变式1-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出，求导，得到，根据导数几何意义求出切线方程. 【详解】，， 故， 故在处的切线方程为，即. 故选：B 【变式1-2】（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，求出截距即可求解面积. 【详解】，则，切点坐标为， 又，则切线斜率， 所以曲线在点处的切线是，即， 取，得，取，得， 故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题知, 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：B. 题型二 求过一点的切线方程（斜率） 【例2】（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 【变式2-1】（2022·河南洛阳·三模）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 【变式2-2】（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程． 【详解】∵，∴. 设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【答案】或. 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求过一点的切线方程 【分析】设所求切线与曲线相切于点，根据导数的定义求得切线斜率，列方程求，进而可得切线方程. 【详解】设所求切线与曲线相切于点，显然， 由题意，得切线斜率 又，于是， 解得或，所以或16. 从而所求切线方程为或， 即或. 题型三 切线的平行与垂直及其应用 【例3】（23-24高二下·全国·课后作业）已知点，点是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】 可设切点为，从而得出切线的斜率为，并可求出，从而根据条件，这样即可求出，求出切点的坐标，根据直线的点斜式方程便可得出切线的方程． 【详解】 设切点为； ； 切线和直线平行，且切线的斜率为； ； ； 切点为； 切线方程为； 即． 【变式3-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故选：C 【变式3-2】（22-23高二下·浙江杭州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. 【详解】由，得曲线在处的切线斜率为. 由，得曲线在处的切线斜率为. 又曲线上总存在切线满足，且，而， 则， 故， 所以，解得， 即． 故选：D． 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据题意，可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此可求得，，即得，结合图象，可得等腰直角三角形，从而得到，对取值即可判断. 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 题型四 曲线的公切线问题 【例4】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】联立方程可得，设切点，求导，可根据点斜式求解处的切线方程为，与二次函数联立，根据判别式为0可得，,以及切线方程，即可根据点点距离以及点到直线距离公式求解. 【详解】联立与可得，故，因此, 设，对求导可得， 故处的切线方程为，即， 联立与可得，由于相切，故，解得，且， 因此，,切线的方程为， 因此,点到直线的距离为， 故面积为， 故答案为： 【变式4-1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高三上·福建泉州·期末）已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】2 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，利用导数的几何意义，得出公切线斜率，再利用切点既在曲线上，又在切线上，代入方程，求得. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：2 题型五 利用导数几何意义求参数 【例5】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数在点处的切线方程为，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由函数，可得，可得， 因为函数在点处的切线方程为， 可得，解得，所以. 故答案为：. 【变式5-1】（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线经过点（3，5），则a的值为（    ） A． B．e C．1 D．2 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义求在处的切线方程，再由点在直线上求参数a即可. 【详解】由题意， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线经过(3,5)，得，解得. 故选：A. 【变式5-2】（多选）（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法 【分析】先设切点为，得出切线方程为，再根据有两个切线得出方程有两个解求参即可. 【详解】令，则， 设切点为，所以切线方程为，切线过点， 代入得，即方程有两个解， 则，解得或. 故选：BCD. 【变式5-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点可得.构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 题型六 判断或证明函数的单调性 【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知，判断函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，求得，分类讨论，结合导数的符号，即可求解. 【详解】由函数，可得定义域为， 且， 当时，，则， 令，解得；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，可得；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，可得或；令，可得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，； 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，可得或；令，可得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，. 综述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，所以在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 【变式6-1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断， 【详解】结合图象可得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，若在处的切线恰好与轴平行，判断此时的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增. 【分析】由导数的几何意义求出的值，再利用导数求函数单调性. 【详解】由题意得，的定义域为，， ∵在处的切线恰好与轴平行，∴，∴， ∴，. 令，则，∴在上单调递增，且， ∴当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 题型七 求函数的单调区间 【例7】（湘豫名校联考2024-2025学年高三一轮复习质量检测数学试题）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点求，实数的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，得到切线斜率，点斜式得到曲线在处的切线方程，代入可求实数的值； （2）对讨论两种情况，分别求出导函数，再分别对进行讨论，对每种情况判断导函数的符号，即可求得函数的单调递增区间． 【详解】（1）当时，． 因为， 所以． 所以切线方程为． 又切线过点，代入切线方程可得． （2）当时，． 因为， 所以若，则当时，单调递增； 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增． 当时，． 因为． 所以若时，则当时，单调递增； 若时，则当时，单调递减； 当时，单调递增． 又易知时，对任意，均有， 所以时，单调递增区间是． 综上所述，时，单调递增区间是； 时，单调递增区间是； 时，单调递增区间是． 【变式7-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；； (2)的单调递增区间为，单调递减区间为. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由导数几何意义得到切线斜率进而求出b和切线方程，再由切点在曲线上又在切线上建立关于a的等量关系即可求出a. （2）求出函数定义域，求导，由导数与函数单调性的关系即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. （2）由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为. (2)单调递增区间为；单调递减区间为和. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】运用单调性与导数关系，结合导数运算法则分类讨论，逐个计算即可. 【详解】（1）函数的定义域为. 因为，所以，令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 令，解得，又， 所以函数的单调递减区间为. （2）函数的定义域为. . 因为，所以. 令，解得，所以函数的单调递增区间为； 令，解得，又， 所以函数的单调递减区间为和. 【变式7-3】（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)若在区间单调递增，求a的取值范围； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) . (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由函数的单调区间求参数 【分析】（1）由题意可知：当 时， 恒成立，结合对勾函数分析求解； （2）分 和 两种情况，结合导数以及不等式的解法分析求解. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， ， 在区间 单调递增，即当 时， 恒成立， 亦即 在区间 恒成立； 因为 当且仅当 时取等号 所以 a 的取值范围为 . （2）①当 时， 在 恒成立， 则在 单调递增； ②当 时， ，易知 ， 令 ，解得 ， ，且 当 ， ；当 或 时， ； 所以， 在区间 单调递减，在区间 和 单调递增. 综上所述，当 时， 在 单调递增； 当 时， 在区间 单调递减， 在区间 和 单调递增. 题型八 比较大小与不等式的解 【例8】（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数并根据奇偶性定义可得是上的奇函数，求导可得在上单调递增，结合奇函数性质可将不等式化为，即可得出解集. 【详解】令，所以， 因为，所以， 化简得，所以是上的奇函数； 易知， 因为当时，， 所以当时，，从而在上单调递增， 又是上的奇函数，所以在上单调递增； 考虑到，由，得， 即， 又在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式8-1】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解. 【详解】 因为,因为当 所以,即,所以； 设， ，所以在单调递增， 则,所以， 所以,所以， 故选：A 【变式8-2】（24-25高三上·广西·期末）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用对数的性质比较大小，应用导数研究函数的区间单调性，进而比较大小. 【详解】由，则，而， 所以， 又，显然上，即在上递减， 所以. 故选：D 【变式8-3】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 题型九 根据函数的单调性（单调区间）求参数范围 【例9】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）若 为上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、根据分段函数的单调性求参数 【分析】令，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调区间，在同一直角坐标系中作出与，根据题设，数形结合，即可求解. 【详解】因为二次函数的图象为拋物线，开口向上，顶点为，且最小值为， 记，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点，且， 则时总有，与在同一直角坐标系下的图象如图所示， 因为 为上的减函数，由图知， 故选：B. 【变式9-1】（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 【变式9-2】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】法一： 令，则在上单调递减， 且在上恒成立， 所以解得. 法二：，则， 则在区间上恒成立， 则或，解之得. 故选：A. 【变式9-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、与二次函数相关的复合函数问题、由函数在区间上的单调性求参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】令，“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，求出的对称轴方程，分在上单调递增和在上单调递减两种情况求解. 【详解】，令， 则“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，的对称轴为，若在上单调递增， 则，解得，若在上单调递减， 则，解得，综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 题型十 函数极值、最值的确定 【例10】（2021·北京高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】 （1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】 （1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 【变式10-1】（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】 由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】 由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 【变式10-2】（2023上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导，根据a的范围讨论单调性，求极值； （2）根据单调性求函数在区间上的最值. 【详解】（1）定义域， ①时，成立，所以在上递减，所以无极值； ②时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，单调递减，所以的极大值为，无极小值； （2）时，在单调递减，所以； 时，在上单调递增，单调递减，所以； 时，在单增，所以； 综上：. 【变式10-3】（2023下·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）设函数． (1)求的单调区间与极小值： (2)求在上的值域． 【答案】(1)的单调递增区间为；单调递减区间为；极小值为； (2) 【分析】（1）求出函数导数，解不等式可得单调区间，继而求得极小值； （2）根据函数的单调性，结合函数端点处的函数值大小比较，即可确定函数的值域. 【详解】（1）由可得， 令，即的单调递增区间为； 令，即的单调递减区间为； 则的极小值为； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， ， 故在上的最大值为，最小值为， 故在上的值域为. 题型十一 根据函数极值（点）求参数的值或范围 【例11】（2025·全国·模拟预测）已知函数（且），当时，. (1)求； (2)若为的极小值，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、已知函数最值求参数 【分析】（1）由确定为最小值，从而由求得； （2）求出导函数，然后分类讨论时，对再求导确定单调性，从而确定的正负得的单调性，判断极小值，对，同样利用的导函数确定函数性质，得出结论； 【详解】（1）当时, ， 因为，且， 所以的最小值为 所以 解得，即 若， 令，得， 当，，单调递减；当，，单调递增, 所以，时，取得极小值，也是最小值，即 所以 （2）由（1）知， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ∵， ∴函数为偶函数，故只需研究的情况， 若，则，令， 则， 所以在上单调递增 所以，在上单调递增， 依对称性，在上单调递减， 故为极小值，故符合题意. 若，， 令，， 令，即， 解得（舍），所以 因为， 当时，，在上单调递减， 所以在上均小于， 所以在上单调递减，而，故不合题意， 综上，的取值范围为. 【变式11-1】（24-25高三上·北京·开学考试）已知是函数的极小值点，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求得，令，得到或，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得或， 要使得是函数的极小值点，则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式11-2】（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）当时，函数取得极大值，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】对函数求导，根据极值点及对应极值求参数，进而求. 【详解】由题设，则，又， 所以，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 所以为极大值点，满足题设， 故. 故选：B 【变式11-3】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】(1)将代入函数中，得到函数解析式，再对其求导即可求出在的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程. （2）首先对参数a进行讨论，分为和两种情况，再当时求出函数的极小值点为，由极小值小于0，得到，解这个不等式即可求出参数a的取值范围. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 当时，，则， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得，， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，此时函数不存在极值，不合题意. 当时，令，即，则. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值， 且. 又因为，则等价于， 令， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即不等式的解集为， 故实数的取值范围是. 题型十二 根据函数最值求参数的值或范围 【例12】（22-23高三上·北京石景山·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若和有相同的最小值，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，， 所以，曲线在点处的切线方程，即． （2）函数的定义域为， 所以，， 所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增， 综上，当时，增区间为，无减区间； 当时， 减区间为，增区间为. （3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增. 所以， 因为，得， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，， 因为和有相同的最小值， 所以，即， 令，， 令，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即， 所以，在上单调递增， 因为， 所以，等价于 即的值为. 【变式12-1】（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】求导确定函数的单调性，从而可得的最小值，再根据复合函数的最值设则，由此可得的最值，从而可得有解，构造函数，，求导确定单调性得实数m的取值范围，即可得实数m的的最小值. 【详解】由题可得，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 对于函数，设，则， 则当时，取得最小值， 所以有解，即有解. 令，，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，为. 因为有解，所以. 故m的最小值为. 故答案为：. 【变式12-2】（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据极值求参数、已知函数最值求参数 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 【变式12-3】（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若的最小值不大于0，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由函数求导，根据导数与函数单调性的关系，利用分类讨论，可得答案； （2）根据（1）求得函数的最小值，建立不等式，根据对数运算，可得答案. 【详解】（1）由函数，则其定义域为， 求导可得，令，解得， 当时，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知，当时，无最小值； 则当时，在单调递减，在单调递增， 则， 由题意可得：，由，则，解得. 题型十三 函数不等式恒成立问题 【例13】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数关于直线对称． (1)求的值； (2)判断函数的单调性； (3)若时恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)递减区间是，递增区间是； (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数对称性求函数值或参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的定义域，由对称性可得，再取特值求出并验证得解. （2）利用导数探讨函数在上的单调性，由对称性可得的对称性得解. （3）将不等式等价转化为，构造函数，利用导数分类讨论单调性求出范围. 【详解】（1）函数中，由，得或， 由函数的图象关于直线对称，则必有，且， 即，解得，此时， ， 即， 因此当时，函数的图象关于直线对称， 所以. （2）由（1）知，，其中或， 求导得 当时，令，函数， 求导得，函数在上递减，，即， 因此函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递减， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （3）当时，， 令，，求导得， 当时，，令，， ，求导得， 函数在上单调递增，，即成立，则； 当时，令，方程，， ①当时，有两根，且，不妨设，有， 当时，，当时，，函数在上递减， 而当时，，从而，不合题意； ②当时，在上单调递增， 而当时，，因此，符合题意，则； ③当时，有两根，且， 不妨设，有，当时，，在上单调递增， 而当时，，因此，符合题意，则， 所以实数m的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 【变式13-1】（24-25高三上·甘肃白银·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对进行讨论，当时，求导可得函数的最值，进而得，当时，代入验证即可求解. 【详解】若，则显然不能恒成立； 若，则，所以，即， 对于，则，故时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 因此的最大值为，所以；BD可以； 当时，， 可知当时，，此时单调递增，故， 故， 当时，，此时单调递增，故， 故，故时，满足题意，C正确， 当时，，不符合题意，故A错误 故选：A． 【变式13-2】（2024高三·全国·专题练习）设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】由题意得，对求导，对分和讨论，利用导数分析单调性，求出函数的最值即可求解. 【详解】， 由题意恒成立，则， ①当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得 ②当时，存在，不满足题意， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式13-3】（24-25高三上·湖北·期末）已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数取得极大值，无极小值； (2) 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题. 【详解】（1）当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； （2）由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 题型十四 不等式的证明 【例14】（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【变式14-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【详解】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【变式14-2】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，当时，有极大值． (1)求实数a，b的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用极大值的定义可得即可求解； （2）令，要证，即证，即证，令，利用导数分析的单调性及最值，继而即可求解. 【详解】（1）， 又当时，有极大值， 所以，解得. （2）令，要证，即证， 由（1）知，即证，即证， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，即. 故当时，. 【变式14-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得. （2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得，函数在上单调递减， 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，则， 于是，有，当时，则， 因此， 所以. 题型十五 函数零点问题 【例15】（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围？ 【答案】(1)的单调减区间为；单调增区间为， (2)1个 (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域然后数形结合即可求解. 【详解】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 【变式15-1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数，若有两个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据条件将问题转化成与直线有两个交点，利用导数求出函数的单调区间及基本函数的图象，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】根据题意，有两个解等价于函数的图象与直线有两个交点，也即函数的图象与直线有两个交点， 其中函数， 当时，，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又，，所以图象如图所示， 由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则， 故选：B. 【变式15-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】根据函数与方程的关系，将问题等价为函数图象求交点，利用导数研究函数的单调性与最值，作出图象，可得答案. 【详解】函数有两个零点等价于直线与函数的图象有两个交点． 对求导得，令，解得， 则当时，，单调递减且，当时，，单调递增， 则，作出函数的大致图象和直线，如图所示： 故的取值范围为． 故选：A． 【变式15-3】（多选）（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．有三个零点 C．有两个零点 D．函数为奇函数 【答案】AB 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B、C，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案． 【详解】，令，解得或1，可得下表： x      1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 对于A，是的极小值点，故A正确； 对于BC，，， 又，， 显然函数在，，分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确，C错误； 对于D，令，，故D错误． 故选： 题型十六 函数、导函数图象关系及应用 【例16】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）    A．单调减区间是 B．是极大值点 C．没有最大值 D．最多能有四个零点 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数最值与极值的关系辨析、利用导数研究函数的零点、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】利用给定的导函数图象，求出函数的单调区间，再逐一分析各个选项即可. 【详解】由图可知：当或时，，当或时，， 因此函数在和上单调递减，在和上单调递增， ∴函数在上不单调，A错误；不是极值点，B错误； 函数在处取得极大值，当不小于函数在，上的所有函数值时，函数有最大值，C错误； 当，，，且函数在，上的图象都与轴相交时， 函数在，，，上各有1个零点，共有4个零点， 因此最多能有四个零点，D正确. 故选：D. 【变式16-1】（22-23高二下·江苏扬州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值 B．是的极大值 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图像可知是函数的极小值点，的极小值为，A选项错误； B选项：时，，的极大值为，B选项错误； C选项：由导函数图像可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图像可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确； 故选：D. 【变式16-2】（多选）（2023上·云南楚雄·高三云南省楚雄东兴中学校考阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（    ）    A．在上单调递减 B．有极小值 C．有2个极值点 D．在处取得最大值 【答案】AB 【分析】结合图象，利用导数与函数的关系逐一分析判断即可. 【详解】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确； 又或时，，则单调递增， 所以当时，有极小值，故B正确； 由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误； 当时，，则单调递增， 所以，在处不能取得最大值，故D错误． 故选：AB． 【变式16-3】（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数奇偶性的应用 【分析】由偶函数得到函数的另一个零点，由图像写出和对应的区间，再写出和对应区间，由不等式转换为不等式组，求出的取值范围. 【详解】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$