专题09特殊三角形（含勾股定理）（4大模块知识梳理+11个考点+5个重难点+3个易错点）-【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单

专题09 特殊三角形（含勾股定理） 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理） 知识模块一：等腰三角形 知识模块二：等边三角形 知识模块三：直角三角形 知识模块四：勾股定理 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大考点） 考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用 考点二： 利用特殊三角形的性质求解 考点三： 特殊三角形的判定 考点四： 特殊三角形性质与判定综合 考点五： 与特殊三角形性质有关的折叠问题 考点六： 与特殊三角形性质有关的多结论问题 考点七：与特殊三角形性质有关的规律探究问题 考点八： 利用勾股定理及其逆定理求解 考点九： 利用勾股定理及其逆定理与网格问题 考点十： 用勾股定理逆定理解决实际生活问题 考点十一： 特殊三角形与函数综合 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一：手拉手模型 重难点二： 赵爽弦图 重难点三：利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型） 重难点四：求最短路径问题 重难点五：勾股树模型 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点） 易错点一：等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理 易错点二：机械的运用勾股定理逆定理求解 易错点三：等腰三角形中未利用分类讨论思想求解 知识模块一：等腰三角形 知识点一：等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 知识点二：等腰三角形的性质 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 知识点三：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 知识模块二：等边三角形 知识点一：等边三角形的定义 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 知识点二：等边三角形的性质 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 知识点三：等边三角形的判定 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 知识模块三：直角三角形 知识点一：直角三角形的定义 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 知识点二：直角三角形的性质 性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 知识点二：直角三角形的判定 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 知识模块四：勾股定理 知识点一：勾股定理的内容 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 知识点二：勾股定理的证明 方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 知识点三：勾股数 勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 知识点四：勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 3．（2011·山东济南·中考真题）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是 ． 考点二： 利用特殊三角形的性质求解 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 考点三： 特殊三角形的判定 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 2．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．    (1)若，求证：是等边三角形； (2)延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 3．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 考点四： 特殊三角形性质与判定综合 1．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 2．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 考点五： 与特殊三角形性质有关的折叠问题 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 2．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 3．（2024·河北张家口·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片对折，折痕为．展平后，再将点折叠在边上（不与、重合），折痕为，点在上的对应点为，设与交于点，连接．已知． (1)若为的中点，求的长； (2)随着点在边上取不同的位置， ①的形状是否发生变化？请说明理由； ②求的周长的取值范围． 考点六： 与特殊三角形性质有关的多结论问题 1．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：①；②垂直平分线段；③；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点七： 与特殊三角形性质有关的规律探究问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 3．（2024·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，，……在轴的正半轴上，，平行四边形按此规律依次排列，则第个平行四边形对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点八： 利用勾股定理及其逆定理求解 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 考点九： 利用勾股定理及其逆定理与网格问题 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 2．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 考点十： 用勾股定理逆定理解决实际生活问题 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，） 3．（2023·海南海口·模拟预测）深秋已至，稻客张师傅在一块四边形（如图）的田地里收割稻谷．已知四边形中，，，，，，若张师傅的收割价格为元，请你计算这块田地张师傅应该收费多少元？    考点十一： 特殊三角形与函数综合 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   4．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，连接，，求的面积； (3)作直线，分别垂直于轴和轴，垂足为，，与交于点，在第一象限内存在一点使得，连接，若点是的中点，连接，当最大时，求出此时点的坐标及的值． 重难点一： 手拉手模型 1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 重难点二： 赵爽弦图 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 2．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 3．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1． （1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ． （2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ． 重难点三： 利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型） 1．（2023·湖南永州·二模）如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过C作于D，为AB边上的高过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：．即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．      (1)如图1，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、．求的值； (2)如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、．若，直接写出的面积． 2．（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 重难点四： 求最短路径问题 1．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ） v   A． B． C． D． 3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    重难点五： 勾股树模型 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 2．（2023·武汉模拟预测）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． 如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： 如图 2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论 ． 如图 3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论 是否成立？请说明理由． 如图 4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积． 易错点1： 等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理 1. 如图1，已知中，，，垂足为，，则___.            易错点2： 机械的运用勾股定理逆定理求解 1. 在中，，，，若．试判断是不是直角三角形． 易错点3： 等腰三角形中未利用分类讨论思想求解 1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ． 2．（2024·青海·一模）一个等腰（非等边）三角形的三边长均满足一元二次方程，则这个三角形的周长是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 24学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 特殊三角形（含勾股定理） 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理） 知识模块一：等腰三角形 知识模块二：等边三角形 知识模块三：直角三角形 知识模块四：勾股定理 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大考点） 考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用 考点二： 利用特殊三角形的性质求解 考点三： 特殊三角形的判定 考点四： 特殊三角形性质与判定综合 考点五： 与特殊三角形性质有关的折叠问题 考点六： 与特殊三角形性质有关的多结论问题 考点七：与特殊三角形性质有关的规律探究问题 考点八： 利用勾股定理及其逆定理求解 考点九： 利用勾股定理及其逆定理与网格问题 考点十： 用勾股定理逆定理解决实际生活问题 考点十一： 特殊三角形与函数综合 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一：手拉手模型 重难点二： 赵爽弦图 重难点三：利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型） 重难点四：求最短路径问题 重难点五：勾股树模型 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点） 易错点一：等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理 易错点二：机械的运用勾股定理逆定理求解 易错点三：等腰三角形中未利用分类讨论思想求解 知识模块一：等腰三角形 知识点一：等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 知识点二：等腰三角形的性质 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 知识点三：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 知识模块二：等边三角形 知识点一：等边三角形的定义 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 知识点二：等边三角形的性质 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 知识点三：等边三角形的判定 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 知识模块三：直角三角形 知识点一：直角三角形的定义 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 知识点二：直角三角形的性质 性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 知识点二：直角三角形的判定 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 知识模块四：勾股定理 知识点一：勾股定理的内容 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 知识点二：勾股定理的证明 方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 知识点三：勾股数 勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 知识点四：勾股定理逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 3．（2011·山东济南·中考真题）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8， ∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的长是， 当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的长是， 综上所述，一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是或， 故答案为：或． 考点二： 利用特殊三角形的性质求解 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 考点三： 特殊三角形的判定 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 2．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．    (1)若，求证：是等边三角形； (2)延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)①能为等腰三角形，；② 【分析】（1）由轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，得到，推出点B不可能是等腰三角形的顶点，若点F是等腰三角形的顶点，则有，此时E与D重合，不合题意，于是得到只剩下了，连接交于H，根据全等三角形的性质得到，得到为等腰三角形，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到； ②由①知，，要求面积的最大值，即求面积的最大值，在中，底边是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，设，则，根据直角三角形的性质得到，推出，当当G，M，N三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设与交于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵于对称的线段为， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）①∵于对称的线段为， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是边上一动点， ∴， ∴点B不可能是等腰三角形的顶点， 若点F是等腰三角形的顶点， 则有， 此时E与D重合，不合题意， ∴只剩下了，连接交于H，    ∵ ∴ ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②由①知， 要求面积的最大值，即求面积的最大值， 在中，底边是定值，即求高的最大值即可， 如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，      设，则， ∵，M是的中点， ∴， ∴， 当G，M，N三点共线时，取等号， ∴面积的最大值， 的面积 如图3，设与交于Q，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 考点四： 特殊三角形性质与判定综合 1．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 2．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 【答案】(1)菱形 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为； （3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵点E是的中点， ∴， ∴为过的圆的直径， 又∵， ∴为过的圆的直径， ∴点H为圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）解：∵都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， 过点E作， ∴设，则，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接， ∵都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴由勾股定理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 考点五： 与特殊三角形性质有关的折叠问题 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 2．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得； （2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形； （3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果． 【详解】解：（1）如图①，在中，， ∵是斜边上的中线，， ∴． （2）四边形是菱形． 理由如下： 如图②∵于点， ∴， ∴； 由折叠得，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图③，点与点在直线异侧， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴； 如图④，点与点在直线同侧， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解． 3．（2024·河北张家口·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片对折，折痕为．展平后，再将点折叠在边上（不与、重合），折痕为，点在上的对应点为，设与交于点，连接．已知． (1)若为的中点，求的长； (2)随着点在边上取不同的位置， ①的形状是否发生变化？请说明理由； ②求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2)①等腰直角三角形，不会发生变化，理由见解析；② 【分析】（1）由折叠的性质可知，，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）①的形状是等腰直角三角形，想办法证明，可得，延长即可解决问题； ②设，由勾股定理可知：，可得的周长，由，可得结论． 【详解】（1）解：为的中点， ， 由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，，即， 解得，，即； （2）解：①的形状是等腰直角三角形，不会发生变化， 理由如下：由折叠的性质可知，， 是中垂线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ②是等腰直角三角形，设， 由勾股定理可知：， 的周长， 与重合时，，与重合时，， 的周长满足：． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 考点六： 与特殊三角形性质有关的多结论问题 1．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 考点七： 与特殊三角形性质有关的规律探究问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，坐标与图形等，找出规律是解题的关键．先根据题意求出、，、的坐标，发现规律，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，点的坐标为，将绕点旋转180°得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， 即，， 则， 同理可得， ， ······， ， 故点的坐标为， 即． 故答案为：． 3．（2024·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，，……在轴的正半轴上，，平行四边形按此规律依次排列，则第个平行四边形对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标规律，先求出前几个点的坐标，找到规律第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接轴于点，    ∵ ∴ 又∵ ∴重合， ∴ 则的中点即为所第个平行四边形的对称中心，其坐标为； 同理可得，， 则的中点坐标即第个平行四边形的对称中心坐标为 同理可得第个平行四边形的对称中心坐标为 …… 同理可得第个平行四边形的对称中心坐标为 ∴第个平行四边形的对称中心的坐标是即 故选：A． 考点八： 利用勾股定理及其逆定理求解 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 考点九： 利用勾股定理及其逆定理与网格问题 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)40 (3)(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示：    （2）连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 2．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．    3．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上． (1)求的值． (2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键． （1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得； （2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴． （2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下： 在中，． 考点十： 用勾股定理逆定理解决实际生活问题 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 2．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确做辅助线是解题的关键．过点作的垂线，垂足为，把转化成两个直角三角形，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，如图所示：    有题意可得：，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即从地到地的路程将缩短约． 3．（2023·海南海口·模拟预测）深秋已至，稻客张师傅在一块四边形（如图）的田地里收割稻谷．已知四边形中，，，，，，若张师傅的收割价格为元，请你计算这块田地张师傅应该收费多少元？    【答案】元 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 如图，连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， ∴（元）， ∴这块田地张师傅应该收费元． 考点十一： 特殊三角形与函数综合 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； (3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 (3)存在，m的值为2或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可； （3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设， 根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况： 当时，点B和点P关于y轴对称，    ∵，∴； 当时，则， ∴， 整理，得， 解得，， 当时， ，则， 当时， ，则， 综上，满足题意的点B的坐标为或或； （3）解：存在常数m，使得． 根据题意，画出图形如下图，      设抛物线与直线的交点坐标为，， 由得， ∴，； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得， ∴， 同理，可得直线的表达式为，则， 过E作轴于Q，过D作轴于N， 则，，，， 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 整理，得， 即， 将，代入，得， 即，则或， 解得，， 综上，存在常数m，使得，m的值为2或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值； (3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，12个， 【分析】（1）先解方程求出，然后求出直线解析式即可求得点D的坐标； （2）过点E作于点H，求出，然后证明，即可得到，然后求出得正切值即可； （3）利用分类讨论画出图形，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴，即点A的坐标为， 把代入得， ∴，点D的坐标为； （2）解：过点E作于点H， ∵， ∴，， ∴， 又∵是平行四边形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当时，有个， 解：∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴点N得坐标为； 当时，有个，如图， 当时，有个，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点与O重合， 故点得坐标为， 综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，直线的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． 4．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，连接，，求的面积； (3)作直线，分别垂直于轴和轴，垂足为，，与交于点，在第一象限内存在一点使得，连接，若点是的中点，连接，当最大时，求出此时点的坐标及的值． 【答案】(1)； (2) (3)，． 【分析】（1）求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立，求得，再利用割补法求解即可； （3）取中点，求得，再取中点，求得，根据斜边中线的性质，三角形中位线定理结合勾股定理求得，，由两点之间线段最短知，当共线时，即可求得的最大值；利用待定系数法求得直线的解析式，设点，利用两点之间的距离公式列式计算求得的值，求得，再中点坐标，据此求解即可． 【详解】（1）解：直线过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立，， 解得或， 当时，， ∴， ∴ ； （3）解：∵，， ∴，，， 取中点，连接，，则， 再取中点，连接，，则， ∵，点为中点， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴，， 又，， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由两点之间线段最短知，当共线时，有最大值，最大值为； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，设点，且， ∵，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， ∴点， 设， ∵点为中点， ∴，， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，公式法解一元二次方程，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，数形结合是解答本题的关键． 重难点一： 手拉手模型 1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 重难点二： 赵爽弦图 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 【答案】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可． 【详解】如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数 则大正方形的面积为 小正方形的面积为 设 则 又，即 解得或（不符题意，舍去） 将代入得： 两边同除以得： 令 则 解得或（不符题意，舍去） 即的值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键． 3．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1． （1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ． （2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意在中，利用勾股定理求出的长即可求出答案； （2）根据正方形的性质证明，得到，再根据即可求解． 【详解】（1）∵正方形的面积为25，正方形的面积为1 ∴正方形的边长为5，正方形的边长为1 设， ∵四个直角三角形全等， ∴，则 在中，，即，解得：（负值舍去） ∴， ∵ ∴ 同理可得：，， ∴风车图案的周长为； （2）∵四边形是正方形， ∴ ∵四个直角三角形全等， ∴ ∴，即 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用所学知识是关键． 重难点三： 利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型） 1．（2023·湖南永州·二模）如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过C作于D，为AB边上的高过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：．即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．      (1)如图1，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、．求的值； (2)如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、．若，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)平行四边形的周长为 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，设到的距离为，等面积法求得，根据题意，即可求解； （2）根据折叠的性质，得出是等腰三角形，勾股定理求得即等腰三角形腰上的高，结合平行四边形的性质即可求解； （3）根据三角形的面积公式，根据，求得，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， 设到的距离为， 则， ∴， ∵等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高． ∴ （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合， ∴，，， ∴ ∴ ∴是等腰三角形， 在与中， ∴ ∴， 在中，, 即等腰三角形，腰上的高为， 依题意，， ∴平行四边形的周长为； （3）解：如图所示，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握题中结论是解题的关键． 2．（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）连接，由的面积的面积的面积，得到 ，又，即可推出； （）连接，由，得到，又，即可证明； 本题考查了三角形的面积，等腰三角形、等边三角形的性质，掌握面积法解答问题是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， ∵，，， ∴的面积，的面积，的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：连接， ∵是的高，分别与直线垂直， ∴的面积，的面积，的面积， 的面积， ， ∴， ， ， 故答案为：． 重难点四： 求最短路径问题 1．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    【答案】 【分析】：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，当在右侧处时，可得，当在下方时，由等边三角形的性质可得：，此时，如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形，可得，，，，此时重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，    当在右侧处时， ∴，， ∴， 当在下方时，由等边三角形的性质可得：， 此时， 如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形， ∴，，    则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴此时重合， ∴，， ∴， ∵， ∴小虫爬行的最短路程等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，最短路径的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ） v   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ， ∴ 解得： ∵ 解得： ∴侧面展开图的圆心角为 如图所示，即为所求，过点作， ∵，，则 ∵，则 ∴，，    故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键． 3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 重难点五： 勾股树模型 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：48． 2．（2023·武汉模拟预测）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释． 如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： 如图 2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论 ． 如图 3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论 是否成立？请说明理由． 如图 4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）结论仍成立，理由见详解；（4）30 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答案； （2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可； （3）分别求出三个半圆的面积，计算即可； （4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积． 【详解】解：（1）由正方形的面积可得出：； 故答案为： ； （2）由图可得：, 在直角三角形中有： ∴； 故答案为：； （3）结论仍成立，理由如下： 由图可得出： ∴ 在直角三角形中有： ∴． 因此，结论仍成立． （4）由图可知： 阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积， ∵． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展，巧妙利用数形结合思想方法，借助这种方法将抽象的数学知识变得直观是解此题的关键． 易错点1： 等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理 1. 如图1，已知中，，，垂足为，，则___.            【详解】(1)∵ ， ∴∠C==70° 又∵ ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=90°-70°=20° 易错点2： 机械的运用勾股定理逆定理求解 1. 在中，，，，若．试判断是不是直角三角形． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，假设，根据勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ， 可以假设， ， 是直角三角形． 易错点3： 等腰三角形中未利用分类讨论思想求解 1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ，， ， 即顶角的度数为； ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ，， ， ， 即顶角的度数为 综上，顶角的度数为或 故答案为：或． 2．（2024·青海·一模）一个等腰（非等边）三角形的三边长均满足一元二次方程，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系判断是否符合题意．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：或， 当该等腰三角形的腰为时， ∵， ∴以、、为边不能构成三角形，舍去； ∴该等腰三角形的腰只能为， ∴这个三角形的周长是：． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 / 85学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$