专题10相似三角形 （4大模块知识梳理+12个考点+9个重难点+3个易错点）-【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单

专题10 相似三角形 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理） 知识模块一：比例线段及其性质 知识模块二：平行线分线段成比例 知识模块三：相似三角形的性质与判定 知识模块四：位似图形 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（12大基础考点） 考点一： 黄金分割 考点二： 平行线分线段成比例 考点三： 选择合适的方法证明两个三角形相似 考点四： 利用相似三角形的性质求解 考点五： 相似三角形的性质与判定综合 考点六： 利用相似三角形列函数关系式 考点七：利用三点定形法证明比例式或等积式 考点八： 利用相似三角形解决实际问题 考点九：利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 考点十： 相似三角形与函数综合 考点十一： 利用位似图形的性质求解 考点十二： 坐标系中画位似图形 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（9大重难点） 考点一： 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 考点二： 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 考点三： 相似模型-A型 考点四： 相似模型-X型 考点五： 相似模型-母子型 考点六： 相似模型-手拉手模型 考点七： 相似模型-角含半角模型 考点八： 相似模型-三角形内接矩形模型 考点九： 相似模型-一线三等角模型 考点十一：05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（3大易错点） 易错点1： 当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论而漏解 易错点2：未掌握相似比与面积比的关系 易错点3： 求位似图形对应坐标时漏解 知识模块一：比例线段及其性质 知识点一：两条线段的比及比例线段 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 【易错点】 1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 3）线段的比，最终要化成最简整数比. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 知识点二：比例的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 合分比性质： 4）等比性质：如果 5）黄金分割 定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【补充】 1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2)，0.618又被称为黄金分割数； 知识模块二：平行线分线段成比例 知识点一：平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 知识模块三：相似三角形的性质与判定 知识点一：相似三角形的定义 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 知识点二：相似三角形的判定 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 知识点三：相似三角形的性质 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 知识模块四：位似图形 知识点一：位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 知识点二：位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 考点一： 黄金分割 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 3．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 考点二： 平行线分线段成比例 1．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 考点三： 选择合适的方法证明两个三角形相似 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 2．（2023·贵州·中考真题）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．    (1)写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______； (2)求证：； (3)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 考点四： 利用相似三角形的性质求解 1．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 考点五： 三角形的性质与判定综合 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下： 参考小丽的思考过程，完成推理． 2．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 考点六： 利用相似三角形列函数关系式 1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：      (1)当点M在上时，求t的值； (2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点．    (1)如图一，当点为的中点时，求证：． (2)如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式． (3)如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长． 3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求的长； (3)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 考点七： 利用三点定形法证明比例式或等积式 1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 3．（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 考点八： 利用相似三角形解决实际问题 1．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 2．（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，） (1)求阿育王塔的高度； (2)求小亮与阿育王塔之间的距离． 3．（2024福建漳州·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 考点九： 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是 ． 3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 考点十： 相似三角形与函数综合 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 2．（2024·江西·中考真题）综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 3．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作 交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．    (1)求关于的函数解析式； (2)当取何值时，的值最大？请求出最大值． 考点十一： 利用位似图形的性质求解 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．    考点十二： 在坐标系中画位似图形 1．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 2．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长． 重难点一： 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．    重难点二： 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 1．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则 ． 2．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   3．（2021·湖北·中考真题）如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成． （1）填空：①当时，______； ②______； （2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）当时，请直接写出x的取值范围． 重难点三： 相似模型-A型 1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在矩形中，，，点P，Q分别在和上，，M为上一点，且满足．连接、，若，则的长为 ．    2．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．    3．（2023·河南·中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ． 重难点四： 相似模型-X型 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    重难点五： 相似模型-母子型 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    2．（2023·湖北武汉·模拟预测）探索发现；（1）如图1，在中，；求证：； 初步应用：（2）如图2，在中，，，，连接、；求证：． 迁移拓展：（3）如图3，在中，，H为上一点使，过H作交AB于G，，求的值；    重难点六： 相似模型-手拉手模型 1．（2022·安徽合肥·三模）如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若 ，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    重难点七： 相似模型-角含半角模型 1．（2022·广东深圳·二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 2．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，C、D为边上的两个动点，． (1)若，则与相似吗?为什么? (2)若（即C、D重合），则_______°时，； (3)当和满足怎样的数量关系时，?请说明理由． 重难点八： 相似模型-三角形内接矩形模型 1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 2．（2024·河南·三模）阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：如图1，在中，，作的角平分线，交斜边于点D；然后过点D，分别作，的垂线，垂足分别为F，E，则．（依据1）容易证明四边形是正方形． 用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点． 如图2，如果的内接正方形的一边恰好在斜边上，我就可用如下方法， 第一步：过直角顶点C作，垂足为D； 第二步，延长到M，使得，连接； 第三步：作的平分线，交于点E； 第四步：过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，K，交于点F，的延长线交交于G； 第五步：分别过点F，G作的垂线，垂足分别为N，H． 则四边形就是的内接正方形，并且恰好在该直角三角形的斜边上． 理由如下：易证四边形是正方形，． ∵，，，，同理可得：．（依据2） ；． 学习任务： (1)材料中画横线部分的依据分别是： 依据1：__________；依据2：__________． (2)请完成图2说理过程的剩余部分． (3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形，再将正方形转化为正方形，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是__________．（填出字母代号即可）． A．旋转    B．平移    C．轴对称    D．位似 重难点九： 相似模型-一线三垂直 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 2．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    3．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    4．（2023·山东东营·中考真题）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．    易错点1： 当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论而漏解 1．如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ．    易错点2： 未掌握相似比与面积比的关系 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 易错点3： 求位似图形对应坐标时漏解 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似三角形 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理） 知识模块一：比例线段及其性质 知识模块二：平行线分线段成比例 知识模块三：相似三角形的性质与判定 知识模块四：位似图形 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（12大基础考点） 考点一： 黄金分割 考点二： 平行线分线段成比例 考点三： 选择合适的方法证明两个三角形相似 考点四： 利用相似三角形的性质求解 考点五： 相似三角形的性质与判定综合 考点六： 利用相似三角形列函数关系式 考点七：利用三点定形法证明比例式或等积式 考点八： 利用相似三角形解决实际问题 考点九：利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 考点十： 相似三角形与函数综合 考点十一： 利用位似图形的性质求解 考点十二： 坐标系中画位似图形 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（9大重难点） 考点一： 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 考点二： 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 考点三： 相似模型-A型 考点四： 相似模型-X型 考点五： 相似模型-母子型 考点六： 相似模型-手拉手模型 考点七： 相似模型-角含半角模型 考点八： 相似模型-三角形内接矩形模型 考点九： 相似模型-一线三等角模型 考点十一：05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（3大易错点） 易错点1： 当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论而漏解 易错点2：未掌握相似比与面积比的关系 易错点3： 求位似图形对应坐标时漏解 知识模块一：比例线段及其性质 知识点一：两条线段的比及比例线段 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 【易错点】 1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 3）线段的比，最终要化成最简整数比. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 知识点二：比例的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 合分比性质： 4）等比性质：如果 5）黄金分割 定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【补充】 1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2)，0.618又被称为黄金分割数； 知识模块二：平行线分线段成比例 知识点一：平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 知识模块三：相似三角形的性质与判定 知识点一：相似三角形的定义 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 知识点二：相似三角形的判定 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 知识点三：相似三角形的性质 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 知识模块四：位似图形 知识点一：位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 知识点二：位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 考点一： 黄金分割 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点C，D之间的距离． 【详解】解：设，则， ， ， 解得（舍）， ， 同理可求， ， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 考点二： 平行线分线段成比例 1．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答． 【详解】解：如图，过点A作垂足为H, ∵，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴，， ∴，， ∴， 过点C作垂足为M， ∴，， ∵,， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三： 选择合适的方法证明两个三角形相似 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 2．（2023·贵州·中考真题）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．    (1)写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______； (2)求证：； (3)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)、、、；； (2)证明见详解； (3)四边形是菱形； 【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案； （2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明； （3）连接，，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明； 【详解】（1）解：∵是等边三角形的外接圆， ∴是的角平分线，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的角有：、、、， ∵是的角平分线， ∴，， 在与中， ∵， ∴， 故答案为：、、、，； （2）证明：∵，， ∴； （3）解：连接，， ∵，， ∴ ，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形．    【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系． 3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 考点四： 利用相似三角形的性质求解 1．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 3．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接 ∵点是重心， ∴分别为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点五： 三角形的性质与判定综合 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下： 参考小丽的思考过程，完成推理． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，同理可得：，再进一步证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ，， ， 同理可得，， ∴ 又， 即， 又， ． 2．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【答案】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即的半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 3．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【答案】 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 考点六： 利用相似三角形列函数关系式 1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：      (1)当点M在上时，求t的值； (2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；的最大值为 (3) 【分析】（1）证明， 则 ， 即可求解； （2）由 即可求解； （3）当点在的平分线上时，则 ，在中， ，即可求解． 【详解】（1）∵平行四边形， ∴，，， 由题意得∶，， 如下图，点在上时，    ∵，，， ∴， ∴， 则 即 解得： （2）如上图， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， 则， ∴， ∴为等腰三角形， 则 过点作于点， 则 即 解得∶ ， 则 ， 设中边上的高为，则 即： ，故有最大值， 当时， 的最大值为； （3）存在， 理由∶ 如下图， 过点作于点，    当点在的平分线上时，则 ， 在中， ， 解得： 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定等，综合性强，难度适中． 2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点．    (1)如图一，当点为的中点时，求证：． (2)如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式． (3)如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)（或） (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据题意得出，即可证明； （2）在中，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）过点作于点，得出，为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，     在和中 ，    ∴； （2）∵四边形为矩形，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，，    ∵， ∴， ∴（或）； （3）过点作于点，    ∵四边形为矩形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，     ∵， ∴平分， ∴， 在中， ∵， ∴，     ∵， ∴，   ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求的长； (3)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)解析式为，当时，y有最大值为 【分析】（1）利用AA证明，即可； （2）过点E作于点N，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出BM=3，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解； （3）延长交的延长线于点G．根据，可得，再证得，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 又∵， ∴； （2）解：过点E作于点N， 在平行四边形中，， 又∵是边上的高， ∴AM⊥AD， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，； ； （3）解：延长交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵ABCD， ∴，∠EGC=∠BFE=90°， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴ ， ∴当时，y有最大值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键． 考点七： 利用三点定形法证明比例式或等积式 1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明 可得； （2）证明 ，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【详解】（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明： 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又 ， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，    ， ， 直径垂直弦， ，， 又 ， ， ， 设，， 则，   ， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； （2）解：∵是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1） 是的中位线， 且． 又 绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又 ， ． 根据外角定理 ， ， ． 又 ，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键． 考点八： 利用相似三角形解决实际问题 1．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 2．（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，） (1)求阿育王塔的高度； (2)求小亮与阿育王塔之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由，解方程即可求解． （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）在中，∵， ∴． ∵， ∴． 在中，由， 得， 解得． 经检验是方程的解 答：阿育王塔的高度约为． （2）由题意知， ∴， 即， ∴． 经检验是方程的解 答：小亮与阿育王塔之间的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024福建漳州·模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 考点九： 利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题 1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，③错误； 当时，， ∵， ∴, ∴，④正确 ∴正确的有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质． 2．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是 ． 【答案】②③/③② 【分析】先证明 再证明若 可得平分 与题干信息不符，可判断①不符合题意；再证明 可得 而 可判断②符合题意；如图，连接EH，求解 设 再建立方程组 可判断③符合题意；证明 可得 若，则 与题干信息不符，可判断④不符合题意；从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE， ∴ ∴ ∵ ∴ 若 ∴ ∴平分 与题干信息不符，故①不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴ 而 ∴，故②符合题意； 如图，连接EH， 由 ∴ ∵ ∴ 设 解得： 即BD=3，故③符合题意； ∵ 若，则 与题干信息不符，故④不符合题意； 故答案为：②③ 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键． 3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 平分，故②正确； ， ， ， ， ， ， 故③正确 故选D 【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 考点十： 相似三角形与函数综合 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 2．（2024·江西·中考真题）综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作 交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．    (1)求关于的函数解析式； (2)当取何值时，的值最大？请求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为 【分析】（1）过点作于点，连接，证明是等边三角形，可得，进而证明，得出，根据三角形面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，    ∵顶点的坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴，,， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ，，则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，坐标与图形，特殊角的三角函数值，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点十一： 利用位似图形的性质求解 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 3．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍， ∴四边形和四边形的相似比为， ∵， ∴第一象限内点 ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 考点十二： 在坐标系中画位似图形 1．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）如图，为所作． （2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 2．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长． 【答案】（1）见解析，A1(-2，-4)；（2）见解析，． 【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解． 【详解】（1）如图所示，A1(-2，-4)； （2）如图所示， ∵OA= ∴的长为：． 【点睛】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形．注意：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 重难点一： 利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵折叠得到， ， ，， 平分等边的面积， ， ， 又， ， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 重难点二： 利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象 1．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则 ． 【答案】 【分析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中， ∵，， ∴， ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴点在上运动时，为等腰直角三角形， ∴， ∴当点在上运动时，， 由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去）， ∴， 当时，过点作于点，如图： 此时， 在中，，， ∴，，， ∴， 即， 所以当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键． 2．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断． 【详解】解：过点D作于H， ， ∵，， ∴， ∴ 当时， 如图，重叠部分为，此时，， ， ∴， ∴，即， ∴ ∴； 当时， 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当 时 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 综上，， ∴符合题意的函数图象是选项A． 故选：A． 【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度． 3．（2021·湖北·中考真题）如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成． （1）填空：①当时，______； ②______； （2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）①10；②；（2）；（3）． 【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据时，即可得； ②先根据运动速度和时间求出的长，再根据正弦三角函数的定义即可得； （2）先求出当点与点重合时，的值，再分和两种情况，解直角三角形求出的长，然后利用三角形的面积公式即可得； （3）分和两种情况，分别利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）①， 是等腰直角三角形， ， 由图可知，当时，， 解得或（不符题意，舍去）， 故答案为：10； ②由题意得：当时，， 则， 故答案为：； （2）由函数图象可知，当时，点与点重合，如图所示： ， ， ， 在中，， ， 则当点与点重合时，， ①当时，，， 则； ②当时， 如图，设交于点，过点作，交延长线于点，连接， ，， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 则， ， ， 综上，； （3）①当时，， 令，解得或（舍去）， 在内，随的增大而增大， 当时，； ②当时，， 此二次函数的对称轴为， 则由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 则当时，取得最小值，最小值为36， 即在内，都有， 综上，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键． 重难点三： 相似模型-A型 1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在矩形中，，，点P，Q分别在和上，，M为上一点，且满足．连接、，若，则的长为 ．    【答案】3 【分析】可令的长为x，证明，可得，即，从而可得，，最后利用进行求解即可． 【详解】解：设的长为x， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，通过相似比找出其他线段与的关系是解题的关键． 2．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．    【答案】4 【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，   轴，     ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 即， 同理可得， ， ， ， 设，则，， ， 都在反比例函数上， ， 解得， ， 在中，， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键． 3．（2023·河南·中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接， ∵与相切于点A， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 重难点四： 相似模型-X型 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，    ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 重难点五： 相似模型-母子型 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）探索发现；（1）如图1，在中，；求证：； 初步应用：（2）如图2，在中，，，，连接、；求证：． 迁移拓展：（3）如图3，在中，，H为上一点使，过H作交AB于G，，求的值；    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到即，再结合可证，则；由正弦的定义可得，再运用等量代换即可证明结论； （3）由平行线等分线段和比的性质可得，即G是的中点；进而说明，设设，则 ，然后代入可得，最后代入计算即可 【详解】解：（1）在和中，，， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即G是的中点， ∴， 设，则 ， ∵， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 重难点六： 相似模型-手拉手模型 1．（2022·安徽合肥·三模）如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若 ，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，从而利用等式的性质可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，再利用平移的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，最后证明，从而可得，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由平移得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．    【答案】/0.8 【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理． 重难点七： 相似模型-角含半角模型 1．（2022·广东深圳·二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可； （2）根据正方形性质得出即可； （3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可． 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴, ∴ ∵,    ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2， ∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴, ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴cm， ∴ ， ∴线段的长为 ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键． 2．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，C、D为边上的两个动点，． (1)若，则与相似吗?为什么? (2)若（即C、D重合），则_______°时，； (3)当和满足怎样的数量关系时，?请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)90； (3)，理由见解析． 【分析】（1）由条件可证明为等边三角形，结合可得到，可证明； （2）由，知，则，当时，，进而可知，即可得结论； （3）由，知，可得，则当时，，则，再结合三角形内角和可找到和之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， 则为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴，则， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：90； （3）当和满足时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 则， 又∵。 ∴ 即：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 重难点八： 相似模型-三角形内接矩形模型 1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，，， ， 解得． 故答案为：． 2．（2024·河南·三模）阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：如图1，在中，，作的角平分线，交斜边于点D；然后过点D，分别作，的垂线，垂足分别为F，E，则．（依据1）容易证明四边形是正方形． 用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点． 如图2，如果的内接正方形的一边恰好在斜边上，我就可用如下方法， 第一步：过直角顶点C作，垂足为D； 第二步，延长到M，使得，连接； 第三步：作的平分线，交于点E； 第四步：过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，K，交于点F，的延长线交交于G； 第五步：分别过点F，G作的垂线，垂足分别为N，H． 则四边形就是的内接正方形，并且恰好在该直角三角形的斜边上． 理由如下：易证四边形是正方形，． ∵，，，，同理可得：．（依据2） ；． 学习任务： (1)材料中画横线部分的依据分别是： 依据1：__________；依据2：__________． (2)请完成图2说理过程的剩余部分． (3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形，再将正方形转化为正方形，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是__________．（填出字母代号即可）． A．旋转    B．平移    C．轴对称    D．位似 【答案】(1)角平分线的性质；两个角对应相等的两个三角形相似 (2)证明见解析 (3)B 【分析】（1）根据角平分线的性质定理与相似三角形的判定定理可得答案； （2）由（1）得：四边形是正方形，．证明，．；，证明，，证明，从而可得结论； （3）由作图可得答案． 【详解】（1）解：依据1：角平分线的性质； 依据2：两个角对应相等的两个三角形相似； （2）理由如下：由（1）得：四边形是正方形，． ∴， ∵， ∴，．（依据2） ∴；， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可得：四边形，四边形是矩形， ∴， ∵是的角平分线，且 ∴ ∴， ∴四边形，四边形是正方形， ∴四边形就是的内接正方形，并且恰好在该直角三角形的斜边上． （3）由作图可得：先做图形，再将正方形转化为正方形，由于这两个正方形的边，在同一直线上，因此在转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是平移； 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，平移变换的理解，掌握基础作图的方法及相似三角形的判定是解本题的关键． 重难点九： 相似模型-一线三垂直 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    【答案】6 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则 ，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则 ， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 3．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    【答案】 【分析】过作交延长线于点，证明，得到即可求解；过作交于点，交于点，证明，得到，故点的运动轨迹是一条平行于的线段，当点与重合时，，当点与重合时，由得到，即，从而求解． 【详解】解：过作交延长线于点    则四边形为矩形， ∴ 由题意可得： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 过作交于点，交于点，如下图    ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴， 故点的运动轨迹是一条平行于的线段， 当点与重合时， 当点与重合时，， ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得 ∵、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴，即点运动的路径长为 故答案为：， 【点睛】本题考查了正方形的性质，点的轨迹，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关基础性质，确定出点的轨迹，正确求出线段． 4．（2023·山东东营·中考真题）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．    【答案】－1 【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解． 【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F    由题意知，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键． 易错点1： 当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论而漏解 1．如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ．    【答案】3秒或秒 【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论列式求解即可求出本题答案． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则， ①当D与B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当D与C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 故答案为：3秒或秒． 易错点2： 未掌握相似比与面积比的关系 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出和的面积比即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴与的面积比为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，掌握相似三角形的性质是解题关键． 易错点3： 求位似图形对应坐标时漏解 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      【答案】或/或 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 22学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$