上海市进才中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年上海市进才中学高一年级上学期 12月月考数学试卷 2024.12 一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，112题每个空格填对得3分，否则一律得0分： 1.函数y=d+3(a>0,a≠)的图象恒过定点P,则点P的坐标为 【答案】0,4) 【解析】f(x)=4+3的图象可以看作把f(x)=d的图象向右平移一个单位再向上平移3 个单位而得到，且f(x)=d一定过点(0，)，则f(x)=a+3应过点(L,4). 2.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)x在区间(0，+)上是严格减函数，则m的值为 【答案】-1 【解析】，幂函数f(x)=(m2-3m-3)x"在区问(0，+0)上是减函数， m2-3m-3=1,解得m=-l m<0 3.函数y=2-1的反函数是 【答案】y=l1og2(x+1),x>-1 【解析】由y=2*-1得x=log2(y+)且y>-1,即：y=1og2(x+1),x>-l, 所以函数y=2”-1的反函数是y=l0g2(x+1),x>-1. 4已知通数y满足（生）-8士则心的标折式为一 【答案】f(x)=log:(x-l) 【解折1*生=4(>0)→1=1+>小1-1→f0=og,0-), 5,关于x的不等式x+上≥a在(L,2)上恒成立，则实数a的取值范用是 【答案】（-0,2] 【折】由超意+ ≥a,x+在(，2)严格增，则当x=1时，x+=2a≤2. 第1页（共10页） 6已知数y=行x+小 的定义域是[2,4小，则函数g(x)=f(2x)的定义域为 【答案】 【解折】由题意知xe2,4小7x+1e2,3→2≤2x≤3→15x 2 7.若函数f(x)=lg(x2-4x-5)在（化，+∞）上是严格增函数，则实数1的取值范围是 【答案】t≥5 【解析】由题意知函数定义域为x2-4x-5>0→x>5或x<-1, 由复合函数单调性可知，f(x)=g(x2-4x-5)在(5，+∞)上严格增，则1≥5. 8.已知函数fx)=log(3x+12),g()=m2+2(m≠0)，若任意x∈[0,1，存在x2∈[-3,5]， 使得g(x)=f(x),则实数m的取值范围是 【答案】-20U0 【解析】当xe[-3,5]时，f(x)e[l,3],当m>0时，当xe[0,],g(x)e[m+2,2m+2], 又任意x∈[0,1，存在x2∈[-3,5]使得gx)=fx),所以[m+2,2m+2][1,3], 所以 0棉得0分当a<0时当xe.e创em+2m+斗 又任意x∈[0，小，存在x∈[-3,5，使得gx)=fx), 所2m+2m+2小小所2将-m0 综上，实数m的取值范围是-20U0: 9,已知函数()=log,(4+m2x的定义域为R,且对任意实数a,都满足 f(a)之f(-a),则实数m= 【答案】1 【解折】（法-）函数f(=l6g,4+m小的定文城为R所以m≥0， 第2页（共10页） f(@)zf(-a)..l0B.(4+m)-zazlog.(4-+m)+za. 4+m≥a,即4+m≥4的，(4-)0-m≥0， 即1og4°+m 4+m a∈R,l-m=0,即m=1. (法二)对任意实数a,都满足f(a)≥f(-a),所以f(-a)≥f(a,所以可得对任意实 数a,都满足f(a)=f(-a),所以f(x)为偶函数，然后代特值即可。 10.已知关于x的不等式x2-1<logx(a>0,a≠1)的解集为M,若(1,2)sM,则实数a 的取值范围是 【答案】（山，] log,223→1<as5. a>1 【解析】数形结合，由题意可知 11对于函数y=f(x),若存在x。,使f(x)+∫(-x)=0,则称点(：。，f(x)》是曲线f(x)的 “优关点”，已知(x)= :+2x,x<0,若曲线)存在“优关点”，则实数k的取值范国为 G+2,x20 【答案】 (-0,2-2] 【解析】f(x)= x2+2x,x<0 kx+2,x≥0 当x<0时，f(x)=x2+2x,关于原点对称的函数解析式为y=-x2+2x,x>0, 由y=:+2与y=-+2x联立，可得k=-x-2+2在x>0有解， 由-x-子+2≤-25+2=2-25，当且仪当x=5时，取得等号， 即有k<2-22,则k的取值范围是(-0,2-22] 12.已知函数y=f(),其中f(x)=近+d,存在n个不同的实数x,,,x,∈[l,8]使 得f(x)+f(x)++f(x)=f(x)成立，若止整数n的最大值为8，则实数a的取值 范围是 【带案[今引（名月 第3页（共10页） 【解析】根据分蛋糕理论，则7f(x)<f(x)≤8f(x)m, 令1=，le[l,2],1+a∈[l+a,2+a小，y=+d, ①当a+1≤0≤2+a,即-2≤a≤-1时， f(x)的函数值可趋近于0，此时可趋近于+0（舍）： @当1+a>0时，即a>-l7a+0<2+a≤8(a+)→-9sa<-名 6 @当2+a<0,即a<-2时，-7(a+2)<-(1+a)s-8(a+2)→-3<a≤-5 6 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的 相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.下列四组函数中f(x)与g(x)是同一函数的是() Af)=x,g=号 B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx C.(x)Axl,g(x)= D.)=分，g)= 【答案】C 【解析】A:)=x的定义域是R,g=二的定义域是xx≠O,所以不是同一函数 B:f()=2gr的定义域是{x|x>0),g(x)=g2的定义域是xx≠0，所以不是同一函数 C:g()=√Fx仁了)，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一函数 D:八x)=(宁广的定义域是R,g)=x的定义域是x20,所以不是同一函数 故选：C 14.函数f(x)=x2 2+x的大致图象是（） 2-x 2 第4页（共10页） 【答案】A 【解析】从函数图象看，定义域都一样，关于原点对称， 因为f(-x)=(-x)g -x=xg +x 2-x=-x2 2+x 2+x=-f(小， 2-x 所以(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除BC, 又f刊=Pe岩-g3>0,所以呵排降D故选：A 15.已知函数y=f(x)的定义域为D,,x3∈D 命题P:若当f(x)+f2)=0时，都有x+x,=0,则函数y=f(x)是D上的奇函数 命题9：若当(x)<(x)时，都有x<x,则函数y=f(x)是D上的增函数. 下列说法正确的是() Ap、g都是真命题 Bp是真命题，q是假命题 Cp是假命题，g是真命题 Dp、g都是假命题 【答案】C 【解析】p:反例f(x)=x,当f(x)+f(x2)=0时，x=x3=0,x+x2=0,但y=f(x)不 是奇函数，故p错误： q:假设存在x>名，使得f(x)<f(x2),则由题意知x<x2,矛盾，故对任意x>x2,都有 f(x)之f(x),所以函数y=f(x)是D上的增函数： 故选C 16已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若任总a,b∈[0，+o),且a≠b,都有 @)-6<0成立，则不等式)-（径+f+2)<0的解集为（） a-b A.（-0,-1)U(2,+∞) B.(-1,0jU(2,+∞) C.(-1,2) D.(-0,-l)U(0,+o) 【答案】B 【解析】设g(x)=(x),由于函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-(-x)=f(x)=g(x),所以g(x)是偶函数， 由于任意a,b∈[0，+o),且a*b,都有@-b<0成立， a-b 所以8@)-位<0，所以g)在[0，+o)上单调递减， a-b 根据偶函数的对称性可知，g(x)在(-©，0)上单调递增， 第5页（共10页） 由f)-+0+2)<0可知1*0， ①当1>0时，有2f2)-0+2)f0+2)<0,2f)<0+2)fu+2), 即g()<g+2),而2>0,1+2>0， 所以2>1+2,2-1-2=0-21+1)>0，解得1>2. ②当1<0时，有2f()-(t+2)f+2)>0,2f)>(+2)fu+2), 甲g同>0+3，所，脚化0+北：6。 u<0 <0 不等式组 +2<-f的解集为集，不等式组化2的解集为-L,0, t< 1<0 综上所述，1的取值范围是(-1,0)U(2,+o),故选：B. 三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本趣满分6分，第1小题3分，第2小题3分) 已知全集U=R,集合M 2x-3 x+a (1)当a=1时，求集合M: (2)若-1∈M,求实数a的取值范围， 【答案】(1)M={x1<x≤4：(2)(-4， 【解折11)当a=1时，则2x=3512x-3--50三=4 0→-1<x≤4， x+1 x+1 x+1 集合M={x1<x≤4. (2)若-1eM,则-551曰4-0s0三g+4≥0→a>1咸a5-4, -1+a a-1 a-1 则若-1eM,a∈(-4，] 18.(本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分) 设常数aeR,函数f代)=a-了+了 (1)若函数f(x)是奇函数，求实数a的值： (2)当a=-3时，求函数y=f(x)-2的零点. 第6页（共10页） 【答案】(1)a=-1:(2)x=-1 【解析】(1)由题意知：函数∫(x)的定义域为R, 因是奇函数，八)=-闭，即a3”+写=a3+宁， 即号+3=a3r+宁》，整理可得：(a+9+0=0,a+1=0,a=-小. (2)若a=-3,则)=-33+→f)-2=-3-3r-2=0 1-3.32-23=0→3.32+23-1=0→(33-1)3*+1)=0， 3r写→x=-1. 19.(木题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益企业的人力 资源部门研究对开发该软件的闭队进行奖励：奖金y(单位：万元)随经济收益x(单位： 万元)的增加而增加，且y>0,奖金金额不超过20万元. 20x (1)若该公司采用函数y= 作为奖励函数模型，试判断该函数是否符合公司奖励 x+50 要求，并说明理出： x+1, 50≤x≤500， (2)若该企业采用函数y 50 作为奖励函数模型，试确定实数 19+1- ,500<x≤1500 a的取值范围. 【答案】(1)满足：(2)1<a≤4001 【解析】(1)y= 20x_20(x+50）-1000=20-1000 x+50 x+50 x+50 为格超的商嘉。若GB015网，则y[0] 因为60<20，则函数满足)>0，奖金金额不超过20万元， 31 故满足公司奖励的要求 2)当50≤x≤50时，易知y=0+1是增函数，且当x=50时，y=0×50+1=2>0,当 50 x=500时，y=×500+1=11<20,即满足奖金y>0且不超过20万的要求： 50 故当50≤x≤500时，y= =50x+1符合企业奖刷要求 当500<x≤1500时，函数f)=19+二0是增函数，即对任意为∈(50,1500]，且：<名时， 第7页（共10页） f)-寸，)=0-a)点二<0成立.故当且仅当1-a<0,即a>1时，此时函数在(50,1500上 名式3 是增函数 由19+≥0，得a≤9501：进一步可知，1二0<0，故y=19+二9<19<20成立，即当 500 1<a≤9501时，函数符合奖金y>0且金额不超过20万的要求， x+1,50≤x≤500， 依据函数模型y= 501 是符合企业的奖励要求， 19+-, 500<x≤1500 即此函数为增函数， 于是，有0×50+1s19+ 500 ,解得a≤4001. 综上，所求实数a的取值范围是1<a≤4001. 20.(本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分) 已知f(x)x-al(x-2a,a>0. (1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)<0: (2)若g(x)=f(x)+a有两个零点x,x2,求a的值： (3)若对任意x,x∈[0，，总有/(x)-f(x≤2成立，求a的取值范围. 【答案】(1)(-o,1U,2):(2)a=4:(3)(0, 【解析】(1)当a=1时，f(x)= (x-0x-2),x21 l(1-x)x-2),x<1 当21时，由f(x)<0,可得(x-1(x-2)<0,解得1<x<2: 当x<1时，由f(x)<0,可得-(-10(x-2)<0,解得x<1, 所以x<1或1<x<2,所以不等式f(x)<0的解集为(-∞，)UL,2): (2)因为gx)x-al(x-2a)+a= [(x-a)(x-2a)+a,xa -(x-a)(x-2a)+a,x<a 当x2a时，g)=x2-3mr+2d2+a的对称轴为x=3 2>, 当x<a时，8)=-+3am-2a+a的对称轴为x=>a 所以g)在(-od]上单调递增，在口，受1上单调递减，在（受+o)上单调通增， 因为g(a)=a>0,g(x)有两个零点，，2， 第8页（共10页） 所以g(受=0，即- -+a=0, 由a>0,得a=4. (3)由题意得f(x).-f(x)≤2， ①当a>1,f(x)在[0，上单调递增， f()f(0)=-(1-aj(1-2a)+2d2=3a-1s2→as1(舍去)： ②当a51≤2a时，即a51时， 0)--28<-oi-/o).()-)-0./()-0)--20, 2as2=a-划2别] ®当1>2a,即a<时，fm=f0/y)=fa.f0-fo)--0-2a)-2a2s2, sae[-]ae(o) 综上，实数a的取值范围是(0， 21.(木题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分) 已知函数y=f,若对于其定义域D中任意给定的实数x,都有f)+f白=0，就称函 数y=f(x)为JC函数” (1)已知f(x)=2x+1,判断y=∫(x)是香是“JC函数”，并说明理由： (2)已知y=(x)是定义在(0，+o)上的JC函数”，且y=f(x)在(0，)上是严格增函数，判 定并证明y=f(x)在(1，+o)上的单调性： 3)若y=f是C函数且定义城为(Qo,已知e0)时，=l6e,x-是，求 函数f(x)的解析式并指出方程f(x)=255是否有正整数解？请说明理由， 【答案】(1)不是：(2)单调递增：(3)没有 【解析】(1)因为f网+f白=2x+1+径+1=2x+2+2=0不恒成立， 所以y=fx)不是C函数” (2)①证明：任取x>5>1,则0<<上<1， 则)-)=-f宁）-f八2=f分-f x. 第9页（共10页） 因为f)在(0，)上单调递增，且0<<<1， 所以宁>空· 所以fx)-fs)=)-f)>0, X 即f(x)>f(s) 所以f(x)在(L,+o)上单调递增. ②当x>1时，0<<1， 此时f闭=-f=-log3x)=3x2+logx, 义当x=1时，f)+f0)=0,所以f0)=0 log0 所以f(x)={0,x=1 3x2+l0gx,x>1 假设方程f(x)=255有正整数解n, 则3n2+logn=255, 要使上式能成立，则必有n=3,k>l,k∈N, 所以3×3+1og3=324+k=255, 明显y=3+k为单调递增函数， 又当k=2时，32*+k=3°+2=245<255， 当k=3时，3241+k=37+3=2190>255, 故方程f(x)=255没有正整数解. 第10页（共10页）2024-2025学年上海市进才中学高一年级上学期 12月月考数学试卷 2024.12 一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分. 1.函数y=d+3(a>0,a≠)的图象恒过定点P,则点P的坐标为· 2.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)x在区间(0，+)上是严格减函数，则m的值为 3函数y=2-1的反函数足 4.已知函数f(x)满足f + x =1og,上，则了)的解析式为 5.关于x的不等式x+≥a在(L,2)上恒成立，则实数a的取值范用是 6已知肠数y=寸行x+小的定文城是即，4小，则桶数8（钊=2）的定文城为 7若函数f(x)=g(x2-4x-5)在（化，+∞）上是严格增函数，则实数1的取值范围是 8.已知函数f(x)=log,(3x+12),g(x)=m2+2(m≠0)，若任意x∈[0,1，存在x3∈[-3,5] 使得g(:)=x),则实数m的取值范围是 9.已知函数()=log,(4+m小-x的定义域为R,且对任意实数a,都满足 f(a)2f(-a,则实数m= 10.已知关于x的不等式x2-1<log.x(a>0,a≠1)的解集为M,若(1,2)sM,则实数a 的取值范围是 11对于函数y=∫(x),若存在。，使(x)+(-x)=0,则称点(，，(x》是山线f(x)的 “优关点”，已知f(x)= 广+2x,<0,若曲线)存在“优类点”，则实数k的取值范国为 +2,x≥0 2.已知函数y=f(x),其中f(x)=卡+，存在n个不同的实数x,出，，x,∈[，8]使 得f(x)+f(x)+…+f(x)=f(x)成立，若止整数n的最大值为8，则实数a的取值 范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的 相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.下列四组函数中f(x)与g(x)是同一函数的是() A.)=x g() B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx C.f(x)xl,g(x)= D.f)=(,g()=x2 14函数f(内)=x1g2+的大致图象是() 2-X 15已知函数y=f(x)的定义域为D,x,x2∈D. 命题P:若当f(x)+f(x)=0时，都有x+x,=0,则函数y=f(x)是D上的奇函数. 命题9：若当f(x)<f(x)时，都有x<x2,则函数y=f(x)是D上的增函数. 下列说法正确的是() Ap、9都是真命题 B,p是真命题，q是假命题 Cp是假命题，g是其命题 DP、q都是假命题 16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若任意a,b∈[0，+o),且a≠b,都有 @-位<0成立，则不等式f)-己+/0+2)<0的解樂为（） a-b A.(-0,-1)U(2,+∞) B.(-1,0)U(2,+∞) C.(-1,2) D.(-o,-l)U(0,+o) 三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分6分，第1小题3分，第2小题3分) 2x-3 已知全集U=R,集合M= ≤1 x+a (1)当a=1时，求集合M: (2)若-1eM,求实数a的取值范围 18.(本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分) 设常数aeR,函数f)=a3+ (1)若函数f(x)是奇函数，求实数a的值： (2)当a=-3时，求函数y=f(x)-2的零点。 19.(木题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业的人力 资源部门研究对开发该软件的团队进行奖励：奖金y(单位：万元)随经济收益x(单位： 万元)的增加而增加，且y>0,奖金金额不超过20万元 (1)若该公司采用函数y 20x x+50 ,作为奖励函数模型，试判断该函数是否符合公可奖励 要求，并说明理出： [1 x+l,50≤x≤500， (2)若该企业采用函数y= 50 作为奖励函数模型，试确定实数 19+1-a 500<x≤1500 a的取值范围。 20.(本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分) 已知fx)x-al(x-2a,a>0. (1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)<0: (2)若g(x)=f(x)+a有两个零点x,名2，求a的值： (3)若对任意x,xe[0,,总有/(x)-f(3≤2成立，求a的取值范围. 21.(木题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分) 已知函数y=f心闭，若对于其定义域D中任意给定的实数x,都有f因+f宁-0，就称函 数y=fx)为JC函数” (1)已知(x)=2x+1,判断y=f(x)是杳是JC函数”，并说明理由： (2)已知y=(x)是定义在(0，+∞)上的JC函数”，且y=f(x)在(0，)上是严格增函数，判 定并证明y=f(x)在(L,+∞)上的单调性： (3)若y=f是C西数，且定义域为Q+,已知xeQ)时，f创-leg-子求 函数(x)的解析式并指出方程f(x)=255是否有正整数解？请说明理由