3.1.3 乘法公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.1.3 乘法公式 1.掌握乘法公式及其推广. 2.会用乘法公式求相应事件的概率. 学习目标 对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，能不能求出P(BA)？ 如果能，该如何求？ P(BA)=P(A)P(B | A) 能，由条件概率计算公式 可知， 新课导入 问题：在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖卷，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再出抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而且乙中奖的概率. 解：根据题意，甲乙两人先后进行抽奖，且抽完后不放回，共 有 种方法，甲中奖而且乙中奖的方法数有 种，甲没中奖而且乙中奖 的方法数有 种.因此 (1) (2) 新知讲解 上述问题我们也可以从条件概率的角度来分析. 设A：甲中奖，B：乙中奖，则P(A) (1)因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中 只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(B|A). 则甲中奖而且乙也中奖的概率为 新知讲解 (2)因为=1 ,所以= , 此时乙中奖的概率为P(B|). 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时， 还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样， 则甲没中奖而且乙中奖的概率为 新知讲解 证明：(方法一） 右边= =左边. (方法二) 左边= =右边 假设Ai表示事件，i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0.证明 P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 一定成立，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率， P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率. 新知讲解 类比可得： 思考：根据以上证明，说说P(A1A2A3…An)又可以如何表示？ 常称为概率的乘法公式. 若事件Ai(i=1，2，…，n)相互独立，则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)… P(An ). 称为相互独立事件的概率乘法公式. 新知讲解 例1 某人给朋友打电话时，发现电话本上号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试. 利用乘法公式，此人尝试3次但都拔不对电话号码的概率是多少？ 解：设Ai表示第i次没有拨对电话号码，i=1,2,3，则第一次拨打时，共有 10种可能，拨不对号码的情况下有9种，因此 如果第一次拨不对，那么第二次会从第一次尝试的数以外的数中随机选取一个进行尝试，总共有9种可能，拨不对电话号码的情况有8种. 因此 新知讲解 类似地，如果前两次拨不对，那么第3次会从前两次尝试的数以外的数随机选取一个进行尝试，共有8种可能，拨不对电话号码的情况有7种，因此 根据所推导的乘法公式可知，三次都拨不对电话号码的概率为 新知讲解 解：我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”(i=1，2，3，4，5)，则表示“第i个人未抽到入场券”. 例2 一场精彩的足球赛即将举行，5个球迷好不容易才买到一张入场券．大家都想去，只好用抽签的方法来决定．准备5张同样的卡片，其中一张卡片的正面写有“入场券”，其余的什么也不写．将它们背面朝上放在一起洗匀，让5个人依次不放回地抽取．问后抽比先抽的吃亏吗? 由题意可得，P(A1)=，P()=， 也就是说第1个人抽到入场券的概率是， 新知讲解 若第2个人抽到入场券，则第1个人肯定没抽到，则A2=A2， 由乘法公式P(A2)=P()P(A2|)计算可得P(A2)=×=， 同理P(A3)=P(A3)=P()P(A2|)P(A3|)= ， P(A4)=P(A4)=P()P(A2|)P(A3|)P(A4|)= ， P(A5)=P(A5)=P()P(A2|)P(A3|)P(A4|)P(|)= ， 也就是说每个人抽到入场券的概率都是 ， 因此后抽比先抽不吃亏. 新知讲解 1.设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于(　　) A.　　　 B. C. D. 2.已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为(　　) A．75%　　 B．96% C．72%　　 D．78.125% B C 当堂检测 课堂小结 $$