3.1.3 乘法公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修 第二册创新导学案word（湘教版）

该高中数学导学案围绕概率的乘法公式展开，从条件概率公式推导入手，引导学生理解两个事件、三个事件到n个事件的乘法公式推广及独立事件的特殊情形，建立新旧知识联系，搭建学习支架。 资料通过判断题、填空题夯实基础，结合疾病心肌损害、卡片抽取等实例构建情境，设置不同层次练习题，帮助学生掌握公式应用，培养数学抽象、数学运算和数学建模素养，提升问题解决能力。

数学　选择性必修·第二册（湘教） 3．1．3　乘法公式 (教师独具内容) 课程标准：结合古典概型，会用乘法公式计算概率． 教学重点：理解并掌握乘法公式． 教学难点：应用乘法公式解决实际问题． 核心素养：1．通过乘法公式的学习培养数学抽象素养和数学运算素养．2．通过应用乘法公式解决问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点　概率的乘法公式 由条件概率的计算公式P(B|A)＝可知，对于两个事件A，B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．(1) 同理，若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)．(2) 我们称公式(1)(2)为概率的乘法公式． 如果三个事件A，B，C不相互独立，一般地，若P(AB)>0，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)·P(C|AB)．(3) 将(1)，(2)，(3)式推广到n个事件，则有： 若Ai(i＝1，2，…，n)为n个随机事件，且P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)．(4) (4)式常称为一般概率乘法公式． 若事件Ai(i＝1，2，…，n)相互独立，则(4)式变为P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．(5) 由此可知，(5)式实质上是(4)式的一种特殊情形． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．(　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)．(　　) 答案　(1)√　(2)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于________． (2)有一批种子的发芽率为0．8，出芽后的幼苗成活率为0．7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案　(1)　(2)0．56 题型　乘法公式的应用 　某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0．3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0．6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率． [解]　设A1表示“第一次患病心肌受损害”，A2表示“第二次患病心肌受损害”，则所求概率为P(12)． 由题意可知，P(A1)＝0．3，P(A2|1)＝0．6． 又P(1)＝1－P(A1)＝0．7， P(2|1)＝1－P(A2|1)＝0．4， 所以P(12)＝P(1)P(2|1)＝0．7×0．4＝0．28． 【感悟提升】 由条件概率公式P(B|A)＝，可推导得出乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)(P(A)>0)．即要求事件A，B同时发生的概率，需建立缩小的样本空间，再由概率相乘可得． 【跟踪训练】　 在标有1，2，3，4，5这5个数字的卡片里，无放回地抽取两次，一次一张，求： (1)第一次取到奇数卡片的概率； (2)已知第一次取到偶数卡片，求第二次取到奇数卡片的概率； (3)第二次才取到奇数卡片的概率． 解　设事件A，B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片，则 (1)P(A)＝． (2)第一次取出一张偶数卡片，还剩4张卡片，而其中有3张奇数卡片，故此时取一张奇数卡片的概率为，即P(B|)＝． (3)∵第二次才取到奇数卡片， ∴第一次应取偶数卡片，即第一次发生，故第二次才取到奇数卡片应是与B同时发生， ∴P(B)＝P()P(B|)＝×＝． 1．设A，B是任意两个随机事件，且A⊆B，P(B)>0，则下列各式中正确的是(　　) A．P(A)<P(A|B) B．P(A)≤P(A|B) C．P(A)>P(A|B) D．P(A)≥P(A|B) 答案　B 解析　因为A⊆B，所以A∩B＝A，所以P(A|B)＝＝，所以P(A)＝P(B)P(A|B)．又0＜P(B)≤1，所以P(A)≤P(A|B)．故选B． 2．在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　) A．0．665 B．0．564 C．0．245 D．0．285 答案　A 解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0．7，P(B|A)＝0．95，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0．7×0．95＝0．665． 3．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同)，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　记事件A为“从1号箱中取到红球放入2号箱”，事件B为“从2号箱中取到红球”．由题意，知P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为． 4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，从这批产品中任取一件，则该产品是一等品的概率为________． 答案　43．2% 解析　设A表示“取到的产品是一等品”，B表示“取到的产品是合格品”，则P(A|B)＝45%，P()＝4%，∴P(B)＝1－P()＝96%，∴P(A)＝P(AB)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43．2%． 5．已知随机事件A，B，若P(A)＝0．7，P()＝0．6，P(|A)＝0．6，则P(AB)＝________． 答案　0．28 解析　∵P(|A)＝0．6，∴P(B|A)＝1－P(|A)＝0．4．由乘法公式得P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0．7×0．4＝0．28． 课后课时精练 一、选择题 1．下列式子成立的是(　　) A．P(A|B)＝P(B|A) B．0<P(B|A)<1 C．P(AB)＝P(A)P(B|A) D．P((AB)|B)＝P(B|A) 答案　C 解析　显然A错误；0≤P(B|A)≤1，B错误；由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(A)P(B|A)，C正确；P((AB)|B)＝＝P(A|B)，D错误．故选C． 2．在一次数学测试中，某学校成绩不及格的学生占5%，在及格生中优秀生占80%，则在该学校随机抽取一名学生是优秀生的概率为(　　) A．0．04 B．0．76 C．0．8 D．0．95 答案　B 解析　记事件A为“随机抽取的一名学生为及格生”，事件B为“随机抽取的一名学生为优秀生”．因为P(A)＝1－P()＝0．95，P(B|A)＝0．8，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0．95×0．8＝0．76． 3．某食物的致敏率为2%，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹的概率为99%，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为(　　) A．1．98% B．0．98% C．97．02% D．99% 答案　A 解析　设事件A表示“食用该食物过敏”，事件B表示“嘴周产生皮疹”，则P(A)＝2%，P(B|A)＝99%，所以某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝2%×99%＝1．98%．故选A． 4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝． 5．(多选)连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数．设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则下列结论正确的是(　　) A．P(AB)＝ B．P(B|A)＝ C．P(AB)＝ D．P(B|A)＝ 答案　AB 解析　设第一次掷骰子出现的点数为x，第二次掷骰子出现的点数为y，两次掷骰子的情况为(x，y)，共有6×6＝36种可能，则事件A中包含的样本点为(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，共6个，事件B中包含的样本点为(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，共5个，则P(A)＝＝，P(B|A)＝，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝．故选AB． 二、填空题 6．5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为________． 答案　 解析　记事件Ai为“第i个人摸到中奖彩票”，显然P(A1)＝，则P(A2)＝P(1A2)＝P(1)P(A2|1)＝×＝． 7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0．8，继续射击，射中第二个目标的概率为0．5，则这个选手过关的概率为________． 答案　0．4 解析　记事件A为“射中第一个目标”，事件B为“射中第二个目标”，则P(A)＝0．8，P(B|A)＝0．5．所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0．8×0．5＝0．4． 8．第一个袋中有黑球、白球各2只，第二个袋中有黑球、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球．则第一次取到白球且第二次取到黑球的概率为________． 答案　 解析　记Ai为“第i(i＝1，2)次取到白球”，则P(A1)＝，P(2|A1)＝，由乘法公式得，P(A12)＝P(A1)P(2|A1)＝×＝． 三、解答题 9．100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，求第三次才取得次品的概率(精确到0．001)． 解　设Ai表示“第i(i＝1，2，3)次取得次品”， B表示“第三次才取得次品”，则B＝12A3，P(B)＝P(12A3)＝P(1)P(2|1)·P(A3|12)＝××≈0．046． 所以第三次才取得次品的概率约为0．046． 10．已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同． (1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率． 解　设事件Ai表示“第i(i＝1，2，3)次摸到的是黑球”，则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”． (1)由题意知P(A1)＝，P(A2|A1)＝． 根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝． 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为． (2)设事件A表示“第三次才摸到黑球”， 则A＝12A3． 由题意知P(1)＝，P(2|1)＝，P(A3|12)＝． 根据乘法公式，有P(12A3)＝P(1)·P(2|1)P(A3|12)＝××＝． 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为． 1．设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球．若在盒中连取四次，则第一次、第二次取到红球，第三次、第四次取到白球的概率为________________． 答案　··· 解析　令Ai为第i(i＝1，2，3，4)次取到红球，则P(A1A234)＝P(A1)P(A2|A1)P(3|A1A2)·P(4|A1A23)＝···． 2．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A1，3个球标有字母B1；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A1的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B1的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解　设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A1的球”， B＝“从第一个盒子中取得标有字母B1的球”， R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝． 事件“试验成功”为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0．59． 1 学科网（北京）股份有限公司 $