精品解析：河南省三门峡市灵宝市2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

灵宝市2024－2025学年上期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. “朝霞不出门，晚霞行千里”是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】“朝霞不出门，晚霞行千里”是随机事件， 故选：． 2. 下列选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的判断，判断的方法是：连接对应点的连线是否交于同一点，如果交于同一点，则是位似图形，对每项进行一一分析即可． 【详解】解：、连接两个正六边形对应点交于正六边形的中心，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似四边形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似三角形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形，故选项符合题意．   故选：． 3. 已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（ ） A. 0＜y1＜y2 B. 0＜y2＜y1 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0 【答案】A 【解析】 【详解】∵反比例函数的k=3＞0， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小． ∴当x1＞x2＞0时，有0＜y1＜y2．故选A． 考点：反比例函数的性质． 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质，先根据每个选项图象分别得出值，再进行比较，即可作答． 【详解】解：A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴 ，故该选项是不符合题意； B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即 ，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意； C、二次函数的开口方向向下，即 ，反比例函数经过第二、四象限，即 ，因为的对称轴 ，故该选项是符合题意； D、二次函数的开口方向向下，即 ，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意； 故选：C 6. 如图，在坡度的山坡 上植树，要求相邻两树间的水平距离 为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形－坡度．根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 7. 如图， 中，点D在线段 上，连接 ，要使与 相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：添加，结合条件∠A=∠A，不能证明两个三角形相似，故A符合题意； 添加，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故B不符合题意； 添加，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故C不符合题意； 添加 ，即，，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 8. 如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的计算方法计算方法求得侧面积． 【详解】解：∵圆锥的母线长是 ， ∴底面周长是 ∴圆锥体的侧面积是： 故选C． 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接 ， ．则 的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果. 【详解】解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等， ∵A在上，C在上，AB⊥x轴， ∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6， ∴△APC的面积为6， 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键. 10. 如图，在扇形中，，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在的直线与交于点若 ，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由翻折的性质得到 ，而，得到是等边三角形，根据，弓形 的面积为弓形的面积，所以． 【详解】解：连接， ，直线与交于点，如图所示， 扇形中， ， ， 点与圆心重合， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 弓形 的面积弓形的面积， ． 故选：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，四边形为 的内接正方形，点P为劣弧上的任意一点（不与B，C重合），则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 ，根据正方形的性质得到 ，再根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：连接 ， ∵四边形为 的内接正方形， ∴ ， ∵点在 上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答的关键． 12. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角 ，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出 的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：在 中，． ， （米）， 在 中， ． ， （米）， （米）． 故答案为． 13. 图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出和时对应的I，最后观察图象即可求解． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在 中，D、E、F分别是边 、 、上的点，，且，那么的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 矩形的边 在x轴上，点C在反比例函数的图象上，点D在反比创函数的图象上，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，则，，即，代入得， ，，利用锐角三角函数求得，再利用勾股定理求得，可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， ∴， 把点代入得，， ∴（负值舍去）， ∴ ，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数、待定系数法求反比例函数解析式、勾股定理、矩形的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 如图，在 中， ，，，求 的长和 的余弦值． 【答案】6，． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，在 中，先利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用勾股定理求出 的长，最后利用锐角三角函数的定义求出 的余弦值，即可解答． 【详解】解：在 中， ， ， ， ，的余弦值为． 17. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上， ，测得．（结果保留小数点后一位） （1）连接，求证：； （2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ∵ 即 ∴ 即 ∴； （2）雕塑的高约为米 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出 ，根据三角形内角和定理得出 ，进而得出，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，在 中，得出，则，在 中，根据 ，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点作，交的延长线于点， 在 中， ∴， ∴ ∴ 在 中，， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 18. 如图， 是 的直径，弦 于点E，． （1）若 ，求扇形（图中阴影部分）的面积； （2）若，求弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理求出的度数，再根据扇形面积公式求解即可； （2）根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【小问1详解】 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，， ∴， 又∵ ， ∴在中，利用勾股定理，可得 ， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合，熟练运用圆周角定理，勾股定理和垂径定理是解题的关键． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B为x轴负半轴上一点，以 为边构造菱形，点C的坐标为，反比例函数 的图象经过点 C，且与边 交于点P． （1）求反比例函数的解析式及A 点坐标； （2）判断点 P 是否为边 的中点，并说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 ，点A的坐标为 （2） 点P不是边的中点， 理由∶∵A的坐标为，点B的坐标为， ∴由中点公式可得的中点坐标是， ， ∴点P不是边的中点． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像和性质，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质求出点A坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，然后求出菱形的边长，利用菱形的四条边相等得到长，即可解题； （2）根据点A，B的坐标得到中点P的坐标，代入反比例函数解析式检验即可． 【小问1详解】 ∵点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C， ∴． ∴反比例函数的解析式为， 延长 交y轴于点 D． ∵， ∴ ． ∵点C的坐标为， ∴ ，． 在中， ， ∴． ∴． ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 略 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有 中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1） 补全统计图如图所示， （2） ；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据 乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为 （人） ∴选择大学的人数为 ． 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为 ， 选择A大学的大约有 （人） 故答案为： ；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段 表示三片风叶，，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为 的标杆影长为． （1）直接写出 的度数及的长； （2）求风叶转动时点B到地面的最小距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角以及三角形内角和性质列式计算得，运用平行线的性质证明，代入数值计算，即可作答． （2）先证明四边形为矩形，易得故，结合算出，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，同一时刻测得高为 的标杆影长为． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，作 于H点，于点G， ∵， ∴， 则四边形为矩形， 由题意可知， ， ， ∴点B到地面的最小距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、mn为者数且）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）画出函数图象． ①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 … ②描点并连线． （2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①__________，②___________； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位，其对称中心的坐标为__________． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足__________时，． 【答案】（1）见解析 （2）①图象是中心对称图形；②当 时，y随着x的增大而减小 （3）左；1； （4） 【解析】 【分析】（1）将x=-5，-3，-2，0，1，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答该函数图象的两条不同类型的特征； （3）结合图象即可得出结论； （4）结合图象可得出结论． 【小问1详解】 解：①列表： x … -5 -3 -2 0 1 3 … y … -1 -2 -4 4 2 1 … ②描点并连线． 【小问2详解】 解：观察图象， ①图象是中心对称图形； ②当x＞-1时，y随着x的增大减小． 故答案为：图象是中心对称图形；当x＞-1时，y随着x的增大减小． 【小问3详解】 解：函数的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位，其对称中心的坐标为（-1，0）． 故答案为：左；1；（-1，0）． 【小问4详解】 解：函数+2的图由函数的图象向上平移2个单位得到，因此根据函数的图象可知，当x满足-1＜x≤3时，函数的函数值y≥1，则函数的函数值． 故答案为：-1＜x≤3． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键． 23. 模型建立：（1）如图1，在等边 中，点D、E分别在边上， ，求证：； 模型应用：（2）如图2，在 中，， ， 于点D，点E在 边上， ，点F在边上，，则的值为_____________； 模型拓展：（3）如图3，在钝角 中， ，点D、E分别在边上，，若， ，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）9 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （3）在上截取，连接，如图3， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵宝市2024－2025学年上期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. “朝霞不出门，晚霞行千里”是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 2. 下列选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（ ） A. 0＜y1＜y2 B. 0＜y2＜y1 C. y1＜y2＜0 D. y2＜y1＜0 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 中，点D在线段上，连接 ，要使与 相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接 ， ．则 的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 12 10. 如图，在扇形中，，将扇形翻折，使点与圆心 重合，展开后折痕所在的直线与交于点若 ，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，四边形为 的内接正方形，点P为劣弧上的任意一点（不与B，C重合），则的度数是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角 ，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 13. 图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是___________． 14. 如图，在 中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为_________． 15. 矩形的边在x轴上，点C在反比例函数的图象上，点D在反比创函数的图象上，若，则_________． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 如图，在 中， ，，，求的长和 的余弦值． 17. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上， ，测得．（结果保留小数点后一位） （1）连接，求证：； （2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 18. 如图，是 的直径，弦 于点E，． （1）若 ，求扇形（图中阴影部分）的面积； （2）若，求弦的长． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B为x轴负半轴上一点，以 为边构造菱形，点C的坐标为，反比例函数 的图象经过点 C，且与边 交于点P． （1）求反比例函数的解析式及A 点坐标； （2）判断点 P 是否为边 的中点，并说明理由． 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有 中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 21. 风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段 表示三片风叶，，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为 的标杆影长为． （1）直接写出 的度数及的长； （2）求风叶转动时点B到地面的最小距离． 22. 问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、mn为者数且）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）画出函数图象． ①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 … ②描点并连线． （2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①__________，②___________； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位，其对称中心的坐标为__________． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足__________时，． 23. 模型建立：（1）如图1，在等边 中，点D、E分别在边上， ，求证：； 模型应用：（2）如图2，在 中，， ， 于点D，点E在边上， ，点F在边上，，则的值为_____________； 模型拓展：（3）如图3，在钝角 中， ，点D、E分别在边上，，若， ，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $