精品解析：江西省南昌市进贤县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

第一次月考 一､单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 若，，，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设S是实数集的非空子集，如果有，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是 A. 存在有限集S，S是一个“和谐集” B. 对任意无理数，集合都是“和谐集” C. 若，且均是“和谐集”，则 D. 对任意两个“和谐集”，若，则 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ） A. B. C. - D. 0 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 三､填空题 12. 函数的图象如图所示，则的定义域为________，值域为________． 13. 如果把抛物线向右平移1个单位长度，新图像与直线相交于点，则的值为________. 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 四､解答题 15. 已知全集 . （1）求集合； （2）若集合，求实数的值. 16. 设命题实数x满足；命题实数x满足. （1）若，且都为真，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 18. （1）已知，，，证明：； （2）解关于的不等式：. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考 一､单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交运算以及补运算的定义即可求解. 【详解】集合，则. . 故选：D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定求得结果. 【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反， 则命题的否定为“，”. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域计算可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】利用相等函数的定义对每一个选项的两个函数分析判断得解. 【详解】当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数. A. 定义域为与的定义域为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数； B. ，，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数； C. 的定义域是R，的定义域为，两个函数的定义域不同所以两个函数不是同一函数； D. 的定义域是R，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查同一函数的定义和判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 若，，，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 6. 已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式以及一元二次解求解，为真命题时的范围，即可结合逻辑关系求解. 【详解】由得， 由不等式的解集为，所以或者，解得， 综上为真时，， 故成立是既不充分也不必要条件， 故选：D 7. 关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，可得解之即求. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴可化为，即 ∴， ∴，解得. 故选：C. 8. 设S是实数集的非空子集，如果有，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是 A. 存在有限集S，S是一个“和谐集” B. 对任意无理数，集合都是“和谐集” C. 若，且均是“和谐集”，则 D. 对任意两个“和谐集”，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举特例可判断A;根据“和谐集”的定义可判断B; 据“和谐集”的定义可知，当时，，故任意“和谐集”都包含元素0,由此判断C;举反例判断D. 【详解】对于A，不妨取是有限集且也是“和谐集”，A正确； 对于B,任意，则存在有， 则，， 因为，所以，所以，，故是“和谐集”，B正确； 对于C,根据“和谐集”的定义可知，当时，， 故任意“和谐集”都包含元素0，所以，即，C正确； 对于D,，则都是“和谐集”， 但，所以，D不正确， 故选：D 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由集合的概念与关系逐一判断 【详解】对于选项A，两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，A正确； 对于选项B，空集是任意集合的子集，故，B正确； 对于选项C，两个集合所研究的对象不同，故，为不同集合，C错误； 对于选项D，元素与集合之间只有属于、不属于关系，故D错误． 故选AB． 10. 已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ） A. B. C. - D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. 故选：BCD 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一计算即可. 【详解】显然当时，，故A错误； 原式可化为：， 当且仅当即时取得等号，故B正确； 由， 所以， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 由， 则，当且仅当时取得等号， 故D正确. 故选：BCD 三､填空题 12. 函数的图象如图所示，则的定义域为________，值域为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数图象得到、的取值范围，即可得到函数的定义域与值域. 【详解】解：由的图象可知，，. 所以的定义域为，值域为. 故答案为：；. 13. 如果把抛物线向右平移1个单位长度，新图像与直线相交于点，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 点在直线上得到，由图象平移得到新函数的解析式，再代入A点坐标，可得值. 【详解】因为新函数图象与直线相交于点， 所以，即， 抛物线图象向右平移1个单位长度， 新图象对应的解析式为，又在图象上， 所以，得， 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，图象的平移，属于基础题. 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】利用参变分离，根据结合基本不等式求得结果. 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ， 当且仅当，即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故答案为：9. 四､解答题 15. 已知全集 . （1）求集合； （2）若集合，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解； （2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可. 【小问1详解】 ， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得， 又，所以， 所以，得. 16. 设命题实数x满足；命题实数x满足. （1）若，且都为真，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求得p为真的取值，再求得得出q为真时，进而求得实数x的取值范围； （2）先求得不等式的解集，结合题意，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，不等式化为，解得， 由不等式，可得，所以， 因为都为真，所以，解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 由方程，可得，， 所以，不等式的解集为， 因为是的充分不必要条件，则，解得， 所以实数的取值范围. 17. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】（1）， （2）当为时，取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为，所以，， 因为，，所以. 【小问2详解】 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 18. （1）已知，，，证明：； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）证明: ，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用“”的代换及基本不等式计算可得； （2）对分类讨论，根据相应方程根的情况，求出不等式的解集. 【详解】（1）略； （2）①当时，原不等式化为，解得. ②当时，原不等式化为，解得或. ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $