精品解析：重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

重庆市杨家坪中学2024-2025学年高2027届高一上期第二次月考数学试题 一、选选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D 2. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件． 故选：B. 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式先判断在上的奇偶性，再利用特殊点求出的值，用排除法可得答案. 【详解】因为，所以函数在区间上为奇函数，排除A，C； 当时，，排除D，故B项正确. 故选：B. 4. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心角算出弧长，再由扇形面积公式算出扇形面积，在作差得出扇环的面积. 【详解】，弧长为，∴， 又∵，∴扇环的面积为， 故选：A. 5. 已知与是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先由韦达定理写出，再求出的值，联立方程即可求得结果. 【详解】因为与是方程的两个根， 所以由韦达定理得， 所以， 所以， 当，与方程联立，解得, 又，所以 当，与方程联立，解得 又，所以 故选：C 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 7. 已知函数定义域为，满足为偶函数，当且时有不等式恒成立，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得的图像关于对称，然后可得，结合在上单调递增，即可得到结果. 【详解】因为为偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称， 且当且时有不等式恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 则，且， 又在上单调递增， 所以，即， 即. 故选：B 8. 已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合零点存在性定理得到，再变形得到，根据对勾函数性质得到答案. 【详解】由于在R上单调递减， ，在R上单调递减， 故在R上单调递减， ，， 由零点存在性定理可得，故， 由题意得，故， 故， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 故. 故选：C 二、多项选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法，正确的是（ ） A. 命题：，使得，则：，使得 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 如果是第三象限角，则的终边一定不在第二象限. D. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于，得出命题的否定判断即可；对于，由即可判断；对于，根据即可判断；对于，分段讨论，但要注意结合即可求解. 【详解】对于，命题：，使得， 则：，使得，故错误； 对于，因为函数的定义域为， 所以，所以， 所以函数的定义域为，故正确； 对于，因为是第三象限角，所以， 所以， 当时，的终边在第一象限， 当时，的终边在第三象限， 当时，的终边在第四象限， 所以的终边一定不在第二象限，故正确； 对于，函数在上是增函数， 当时，单调递增，所以， 当时，单调递增， 由对称轴为，所以，所以， 要使函数在上是增函数， 还需满足，所以， 所以实数的取值范围为，故错误. 故选：. 10. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式判断即可. 【详解】对于选项A:因为且，所以，当且仅当即时取等号，故A正确. 对于选项B：因为，得所以， 所以，故选项B正确. 对于选项C： ，当且仅当即时取等号，故选项C错误. 对于选项D：当且仅当即时取等号，所以，故选项D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断. 【详解】对于A，由题可画出大致图象， 则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点， 则由图可得，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确； 对于C，由题. 又由题及图可得，， 则，注意到函数 在上单调递减，则，故C正确； 对于D，令，则， 由图可得，则的零点个数为 方程根的个数之和， 即图象与直线交点个数之和. 由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2， 图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3， 则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题. 二、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】分子、分母同时除以，将代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递增区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知函数与函数互为反函数，可得，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以函数与函数互为反函数， 所以，所以， 令，，则或， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数是增函数， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知函数，若且，，则的最小值是_____; 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得函数为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性和单调性可得，然后平方，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由可得定义域为， 且， 所以 ， 所以函数为奇函数， 又函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又函数为奇函数，所以函数在上单调递增， 因为且，， 所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据解析式判断函数的单调性和奇偶性，然后根据函数的单调性和奇偶性求解. 三、解答题本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为第二象限角，. （1）化简； （2）若，求，的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简得解； （2）通过角的变换结合诱导公式即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以. 16. 已知函数在区间上的最大值是1. （1）求的值； （2）若函数的定义域为，求关于的不等式2的解集. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论，利用对数函数单调性和最值，求的值； （2）由定义域为，确定的取值，再利用单调性解对数不等式. 【小问1详解】 已知函数（且）在区间上的最大值是1． 当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. 【小问2详解】 函数的定义域为，则恒成立， 有，解得，所以， 由（1）可知，则即为 ，即， 解得，所以，即不等式的解集为. 17. 某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 （1）给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: （2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 【答案】（1）比较合适， （2）元 【解析】 【分析】（1）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可； （2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可. 【小问1详解】 由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把，，代入， 得，所以，所以， 显然，也满足函数的解析式， 所以； 【小问2详解】 ， 当，时， ， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为， 当，时， ， 此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为， 综上所述：函数的最小值为元. 18. 函数对任意的实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）设且，取，， 则，即， 由于当时，，因为，所以， 即， 由增函数的定义可知是上的增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，令，即可求出结果； （2）设且，取，，根据题中条件，作差比较，根据单调性的定义，即可证明结论成立； （3）由（1）（2），将不等式化为，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为函数对任意的实数a，b，都有， 令，则，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式等价于， 由（2）可知是上的增函数， 故在上恒成立， 下面求函数的最大值： 令，，其对称轴为， 故有：当时， 函数递增，函数递增，故函数递增； 当时，函数递增，函数递减，故函数递减； 因此，函数在时有最大值，即所求范围为. 【点睛】方法点睛： 定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取，，规定， 2.作差：计算； 3.定号：确定的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由: （2）若实数时，为的“2重覆盖函数”.求实数: （3）函数表示不超过的最大整数，如.，若为的"2024重覆盖函数"，求正实数的取值范围. 【答案】（1） 对于，有，而， 显然对于取时，不存在， 所以不是的“2重覆盖函数”. （2）2； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可； （2）由题意可得即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），即，对进行分类讨论来进行求解. （3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得的定义域为， ，则， ，即， 由题意知对任意，存在2个不同的实数），使得（其中）， 即对任意有2个实根， 当时，必有一个根， 故只需时，仅有1个根： 因为，令，解得， 当时，，此时， 这样当，这样没有根，与仅有1个根相矛盾； 当时，，此时区间上递减， 在区间上递增，这样当或时至少有一个有两个根， 又与仅有一个根相矛盾； 当时，，此时，在区间上递减， 且值域为，满足仅有1个根： 综上所述： 【小问3详解】 因为， 当时，， 当时，且， 当且仅当时取等号，结合对钩函数的性质可知： 在区间上递增，在区间上递减， 所以． 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 作出函数的图象（部分），如图： 要使有2024个根，则必有，此时， 且还需要满足，当时，即有，解得， 综上有，故正实数的取值范围． 【点睛】关键点点睛：关键点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为求值域，再转化为直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学2024-2025学年高2027届高一上期第二次月考数学试题 一、选选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. 3 C. D. 2. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知与是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，满足为偶函数，当且时有不等式恒成立，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（其中），若是的一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法，正确的是（ ） A. 命题：，使得，则：，使得 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 如果是第三象限角，则的终边一定不在第二象限. D. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 10. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有6个零点 二、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 13. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递增区间为_____. 14. 已知函数，若且，，则的最小值是_____; 三、解答题本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知为第二象限角，. （1）化简； （2）若，求，的值. 16. 已知函数在区间上的最大值是1. （1）求的值； （2）若函数的定义域为，求关于的不等式2的解集. 17. 某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 （1）给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: （2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 18. 函数对任意的实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由: （2）若实数时，为的“2重覆盖函数”.求实数: （3）函数表示不超过的最大整数，如.，若为的"2024重覆盖函数"，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $