2025年中考数学一轮复习《图形的性质与判定之三角形》选择题

中考数学第一轮复习 选择题练习 图形的性质与判定之三角形 单选题： 1．试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　　） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个等边三角形一定是等腰三角形 D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形 2．如图，在△ABC中，AB边上的高线是（　　） A．线段AD B．线段AF C．线段BG D．线段CE 3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是AC的中点，连接DE，若△CDE的面积为6，则△BDC的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 4．如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢珩架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（　　） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 5．如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（　　） A．5 B．7.5 C．9 D．10 6．一个三角形的两边长分别为2cm和5cm，则此三角形第三边长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm 7．小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．180° B．240° C．270° D．300° 8．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 9．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为（　　） A．52° B．58° C．60° D．70° 11．如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 12．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 13．如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB平分线，这里的根据是（　　） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 14．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中AB段与AC段长度相等，经测量，BC段的长为6m，则AB段的长可能为（　　） A．2.4m B．2.8m C．3m D．4m 15．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，若AC＝8，则BD等于（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于G，BC＝6，△BCG周长是13，则AB的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 18．如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 19．如图，已知△ABC中，AC+BC＝24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（　　） A．12 B．24 C．36 D．不确定 20．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 21．已知a，b，c为△ABC的三边长，且，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 22．如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E是AD上的点，CE∥AB，与BD交于点F．若∠CBD＝40°，则∠DCE的度数为（　　） A．40° B．20° C．2° D．25° 23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 25．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，AD与BC相交于点F．若∠CED＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．72° 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的左侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBFC的面积为（　　） A．120 B．240 C．360 D．480 27．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 28．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝3：4：5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 29．如果m表示大于1的整数，设a＝2m，b＝m2﹣1，c＝2m2+2m，d＝m2+1，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　） A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 30．如图，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，其边长都是1cm．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处，最少要用时（　　） A．3.5s B． C．2s D．2.5s 31．有一个圆柱体礼盒，高18cm，底面周长为12cm．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为AC的中点），则彩带最短为（　　） A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm 32．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，点E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是（　　） A．7 B．9.5 C．5 D．10 33．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作D1E1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，则C2＝（　　） A．4 B．2 C． D．1 34．如图，已知线段AB上有一动点C，分别以AC、BC为边在同方向作等边△ACM和等边△CBN，连接AN，交MC于点E，连接MB，交CN于点F，连接EF，有以下结论：①AN＝BM；②∠ENC＝∠FBC；③EN＝BF；④MC＝MF；⑤EF∥AB．其中正确的是（　　） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 35．如图，△ABC的面积为8cm2，CD与∠BAC的平分线垂直，垂足为D，连接DB，则△ABD的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 36．如图，点G是△ABC的重心，若S△BGC＝6cm2，则S△ABC为（　　） A．12cm2 B．18cm2 C．54cm D．24cm 37．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B． C．2，2，4 D．2，3，6 38．如图，已知△ABC≌△ADE，点D在BC边上，∠CAE＝40°，则∠ABC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．80° 39．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，连接DE，EF垂直平分AB，交AD于点G．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③△GHE是等腰三角形；④AG2﹣GD2＝CD2，其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③④ C．①④ D．②③④ 40．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．7对 41．如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB+EC＝AC． 下列判断正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 42．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 43．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 44．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时， 46．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，点H为DE的中点．连结HF，EG并延长，分别交正方形ABCD各边于点M，N，P，Q，若，则PQ的长为（　　） A． B． C． D． 47．如图①，分别以Rt△PMN（MN＞NP）的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，再按图②的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内，则下列结论不成立的是（　　） A．CF＝AG B．以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形 C．AE+CG＝AB D．四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等 48．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m． A． B． C．6 D． 49．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点C作CD⊥AD，AD交BC于点G，DE∥AB交AC于点E，作∠BCA的平分线CF交AD于点P，交AB于点F，若∠B＝60°，下列结论：①∠PCD＝30°；②∠AFC+∠DCG＝90°；③BG＝AE；④AC＝AF+CG；⑤S△APF+S△CPG＝S△APC．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 50．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D，E分别为BC，PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC，AC分别交于F，G两点．连接DG，交PC于点H．有以下判断：①∠EDC＝45°；②DG⊥PE，且DG＝PE； ③当AP＝6时，△APG的面积为9；④的最大值为．其中正确的是（　　） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 40页） 解析答案 单选题 1．试用学过的知识判断，下列说法正确的是（ ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个等边三角形一定是等腰三角形 D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形 【解答】解：A、等腰直角三角形一定是等腰三角形，故不符合题意； B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，故不符合题意； C、一个等边三角形一定是等腰三角形，故符合题意； D、一个等腰三角形一定不是钝角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB边上的高线是（ ） A．线段 AD B．线段 AF C．线段 BG D．线段 CE 【解答】解：如图，∵CE⊥BA延长线于 E， ∴△ABC中 AB边上的高线是线段 CE． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形角平分线、中线和高，正确把握相关定义是解题关键． 3．如图，在△ABC中，CD是 AB边上的中线，E是 AC的中点，连接 DE，若△CDE的面积为 6，则△BDC 的面积为（ ） 第 2页（共 40页） A．3 B．6 C．9 D．12 【解答】解：∵点 E是 AC的中点，△CDE的面积为 6， ∴△ACD的面积为 6×2＝12， ∵CD为 AB边上的中线， ∴△BDC的面积＝△ACD的面积为 12． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，熟记三角形中线的性质是解题的关 键． 4．如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长 1341.4米，桥面到谷底垂直高度 565米， 差不多相当于 200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最 高桥”．主桥采用双塔双索面钢珩架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 180° 【解答】解：主桥采用双塔双索面钢珩架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定 性． 故选：A． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、 房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得． 5．如图，已知点 G是△ABC的重心，分别延长线段 BG、CG，交边 AC、AB于点 E，D．若 BE＝15，则 第 3页（共 40页） BG的长是（ ） A．5 B．7.5 C．9 D．10 【解答】解：∵点 G是△ABC的重心， ∴BG＝2GE， ∵BE＝BG+GE＝15， ∴BG＝10， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的重心，正确理解三角形重心的性质是解题的关键． 6．一个三角形的两边长分别为 2cm和 5cm，则此三角形第三边长可能是（ ） A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm 【解答】解：设第三边长为 x cm， 则 5﹣2＜x＜5+2， 3＜x＜7， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两 边和． 7．小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ） A．180° B．240° C．270° D．300° 【解答】解：如图， 第 4页（共 40页） 在△BCM中，∠B+∠C+∠BMC＝180°， ∴∠BMC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵∠AMN＝∠BMC， ∴∠AMN＝180°﹣（∠B+∠C）， 在△DEN中，∠D+∠E+∠DNE＝180°， ∴∠DNE＝180°﹣（∠D+∠E）， ∵∠ANM＝∠DNE， ∴∠ANM＝180°﹣（∠D+∠E）， 在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM＝180°， ∴∠A+180°﹣（∠B+∠C）+180°﹣（∠D+∠E）＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+180°， ∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝240°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 8．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（ ） A．50° B．60° C．75° D．85° 【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 9．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． 第 5页（共 40页） C． D． 【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 10．如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为（ ） A．52° B．58° C．60° D．70° 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝52°． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 11．如图，AC与 BD相交于点 O，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是 （ ） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ∠� = ∠� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ABO≌△DCO（AAS）， 第 6页（共 40页） 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 12．如图，要用“HL”判定 Rt△ABC和 Rt△A′B′C′全等的条件是（ ） A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 【解答】解：∵在 Rt△ABC和 Rt△A′B′C′中， 如果 AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么 Rt△ABC和 Rt△A′B′C′一定全等， 故选：C． 【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 13．如图，∠AOB是一个任意角，在边 OA、OB上分别取点 M、N，使 OM＝ON．移动角尺，使角尺两边 相同的刻度分别与 M、N重合，则过角尺顶点 C的射线 OC便是∠AOB平分线，这里的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 【解答】证明：在△OMC和△ONC中， �� = �� �� = �� �� = �� ， ∴△OMC≌△ONC（SSS）， ∴∠MOC＝∠NOC， ∴OC平分∠AOB， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座 双坡式房屋的剖面图，其中 AB段与 AC段长度相等，经测量，BC段的长为 6m，则 AB段的长可能为 第 7页（共 40页） （ ） A．2.4m B．2.8m C．3m D．4m 【解答】解：如图，过点 A作 AD⊥BC于点 D， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD= 12�� =3m， 在 Rt△ABD中，AB为斜边， ∴AB＞BD， 即 AB＞3m， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 15．如图，直线 l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站 P，使 P到三条公路的距离都相等，则中转 站 P可选择的点有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角两两平分线的交点，共三处． 故选：D． 第 8页（共 40页） 【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交 BC于点 D，交 AB于点 E，若 AC ＝8，则 BD等于（ ） A．10 B．12 C．16 D．18 【解答】解： ∵DE为线段 AB垂直平分线， ∴BD＝AD， ∴∠ADC＝2∠B＝30°，且∠C＝90°， ∴AD＝2AC＝16， ∴BD＝16， 故选：C． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等求 得 AD＝BD和∠ADC的是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交 AC于 G，BC＝6，△BCG周长是 13，则 AB的长 是（ ） 第 9页（共 40页） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：∵AB的垂直平分线交 AC于 G， ∴AG＝BG， ∵△BCG周长是 13， ∴BG+CG+BC＝13， ∵BC＝6， ∴BG+CG＝13﹣6＝7， ∴AG+CG＝7， 即 AC＝7， ∵AB＝AC， ∴AB＝7， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关 键． 18．如图，直线 l1、l2相交于点 A，点 B是直线外一点，在直线 l1、l2上找一点 C，使△ABC为一个等腰 三角形．满足条件的点 C有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【解答】解：以 A为圆心，AB长为半径画弧，交 l1、l2于 4个点； 以 B为圆心，AB长为半径画弧交 l1、l2于 2个点， 再作 AB的垂直平分线交 l1、l2于 2个点， 共有 8个点， 故选：D． 第 10页（共 40页） 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形． 19．如图，已知△ABC中，AC+BC＝24，AO，BO分别是角平分线，且 MN∥BA，分别交 AC于 N，BC 于 M，则△CMN的周长为（ ） A．12 B．24 C．36 D．不确定 【解答】解：由 AO，BO分别是角平分线得∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵MN∥BA，∴∠1＝∠6，∠3＝∠5， ∴∠2＝∠6，∠4＝∠5， ∴AN＝NO，BM＝OM． ∵AC+BC＝24，∴AC+BC＝AN+NC+BM+MC＝24， 即 MN+MC+NC＝24，也就是△CMN的周长是 24． 故选：B． 【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题主要求得△ANO △BMO是等腰三角形，这是解答此题的关键． 20．如图，直线 a∥b，等边三角形 ABC的顶点 C在直线 b上，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ） A．90° B．80° C．70° D．60° 【解答】解：如图， 第 11页（共 40页） ∵直线 a∥b， ∴∠3＝∠1＝50°， 在等边△ABC中，∠A＝60°， ∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣60°﹣50°＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 21．已知 a，b，c为△ABC的三边长，且 � − � + |� − �| = 0，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：根据非负性得，a﹣b＝0，b﹣c＝0， 解得：a＝b，b＝c， ∴△ABC的形状是等边三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都 等于 0是解题的关键． 22．如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E是 AD上的点，CE∥AB，与 BD交于点 F．若∠CBD ＝40°，则∠DCE的度数为（ ） A．40° B．20° C．2° D．25° 第 12页（共 40页） 【解答】解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠ABD＝∠EFD＝60°， ∵BC＝BD，∠CBD＝40°， ∴∠CDB＝∠CBD＝40°， ∵∠DCE+∠CDB＝∠EFD， ∴∠DCE＝20°， 故选：B． 【点评】此题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，熟记等边三角形的性质、平行线的性质是解题 的关键． 23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边 BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别 为 E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：如图，∵AD是斜边 BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°， ∴∠C＝∠BDF＝∠BAD， ∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°， ∴∠C＝∠ADE， ∴图中与∠C（除之 C外）相等的角的个数是 3， 故选：A． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点 D在 BC上，AB⊥AD，AD＝2，则 BC等于（ ） 第 13页（共 40页） A．4 B．5 C．6 D．8 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∵AD＝2， ∴BD＝2AD＝4， ∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴AD＝DC＝2， ∴BC＝BD+DC＝4+2＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含 30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用， 解此题的关键是求出 BD和 DC的长． 25．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为 AB的中点，AD与 BC相交于点 F．若∠CED＝56°，则∠DCE 的度数是（ ） A．56° B．62° C．63° D．72° 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为 AB的中点， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点 E是公共斜边 AB的中点， ∴EC＝ED= 12AB， ∴∠DCE＝∠CDE， ∵∠CED＝56°，∠CED+∠DCE+∠CDE＝180°， ∴∠DCE＝62°， 第 14页（共 40页） 故选：B． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边 AB上一点，连接 CE，在 BC的左侧作 BF∥AC，且 BF＝AE， 连接 CF．若 AC＝26，BC＝20，则四边形 EBFC的面积为（ ） A．120 B．240 C．360 D．480 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BF∥AC， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴BC平分∠ABF， 过点 C作 CM⊥AB，CN⊥BF， ∴CM＝CN， ∵S△ACE= 1 2AE•CM，S△CBF= 1 2BF•CN，BF＝AE， ∴S△CBF＝S△ACE， ∴四边形 EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA， ∵AC＝26， ∴AB＝26， 设 AM＝x，则 BM＝26﹣x， 由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2， ∴262﹣x2＝202﹣（26﹣x）2， 第 15页（共 40页） 解得 x= 23813 ， ∴CM= 262 − ( 23813 ) 2 = 24013 ， ∴S△ABC= 1 2AB•CM= 1 2 ×26× 240 13 =240， ∴四边形 EBFC的面积为 240， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 27．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意； B、∵4 × 12 �� + (� − �) 2 = �2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵4 × 12 �� + � 2 = (� + �)2， ∴整理得：a2+b2＝c2， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、∵ 1 2 �� + 1 2 �2 + 1 2 �� = 1 2 (� + �)(� + �)， 第 16页（共 40页） ∴整理得：a2+b2＝c2， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：A． 28．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ） A．a：b：c＝3：4：5 B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【解答】解：A、a：b：c＝3：4：5， 设 a＝3x，b＝4x，c＝5x，则：a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形，不符合题意； B、a：b：c＝5：12：13， 设 a＝5x，b＝12x，c＝13x，则：a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠� = 53+4+5 × 180° = 75°＜90°，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2＝ c2，那么这个三角形就是直角三角形． 29．如果 m表示大于 1的整数，设 a＝2m，b＝m2﹣1，c＝2m2+2m，d＝m2+1，其中任选三个数能构成勾 股数的为（ ） A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【解答】解：∵a＝2m，b＝m2﹣1，d＝m2+1， ∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝+m4+2m2+1＝（m2+1）2， d2＝（m2+1）2， ∴a2+b2＝d2， ∴a，b，d三个数能构成勾股数， 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股数，满足 a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 30．如图，一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3×3个小正方形，其边长都是 1cm．假设一只蚂 第 17页（共 40页） 蚁每秒爬行 2cm，则它从底面 A处沿表面爬行至侧面的 B处，最少要用时（ ） A．3.5s B． 3 2 2 � C．2s D．2.5s 【解答】解：分两种情况讨论： （1）展开底面与右面，如图 1， 由勾股定理得 (3 + 3)2 + 12 = 82（cm）； （2）展开前面与上面，如图 2， 由勾股定理得 (1 + 3)2 + 32 = 5(��)， ∴最短路径长为 5cm，用时最少：5÷2＝2.5（s）， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，“化曲面为平面”是解答本题的关键． 31．有一个圆柱体礼盒，高 18cm，底面周长为 12cm．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端 粘在 A处，另一端绕礼盒侧面 2周后粘贴在 C处（B为 AC的中点），则彩带最短为（ ） 第 18页（共 40页） A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm 【解答】解：展开后图形是： 因为底面周长为 12cm，高 18cm， 故�� = 122 + ( 182 ) 2 = 15��， 故绕礼盒侧面 2周后彩带最短为 15×2＝30（cm）， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理和平面展开﹣最短路线问题，关键是能理解题意知道求出那一条线段长． 32．如图，△ABC中，∠C＝90°，点 D为 AC上一点，点 E是 AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE ＝AE，若 BC＝5，则 AD的长是（ ） A．7 B．9.5 C．5 3 D．10 【解答】解：过 E作 EF⊥AC于 F，如图： ∵∠BDE＝90°， ∴∠EDF＝90°﹣∠BDC＝∠DBC， 在△BDC和△DEF中， 第 19页（共 40页） ∠� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BDC≌△DEF（AAS）， ∴DF＝BC＝5， ∵DE＝AE，EF⊥AC， ∴AD＝2DF＝10， 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定及性质应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是证 明△BDC≌△DEF，从而求出 DF的长度． 33．如图，△ABC是边长为 2的等边三角形，取 BC边中点 E，作 ED∥AB，EF∥AC，得到四边形 EDAF， 它的周长记作 C1；取 BE中点 E1，作 D1E1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形 E1D1FF1，它的周长记作 C2， 则 C2＝（ ） A．4 B．2 C． 3 2 D．1 【解答】解：∵E是 BC的中点，ED∥AB， ∴DE是△ABC的中位线， ∵△ABC是边长为 2的等边三角形， ∴DE= 12AB＝AF＝1，AD= 1 2�� =1， ∴DE＝AD， ∵EF∥AC， ∴四边形 EDAF是菱形， ∴C1＝4×1＝4， 同理求得：C2＝4× 1 2 =2． 故选：B． 第 20页（共 40页） 【点评】本题主要考查三角形的中位线，等边三角形的性质，找出计算周长的规律是解题的关键． 34．如图，已知线段 AB上有一动点 C，分别以 AC、BC为边在同方向作等边△ACM和等边△CBN，连接 AN，交 MC于点 E，连接 MB，交 CN于点 F，连接 EF，有以下结论：①AN＝BM；②∠ENC＝∠FBC； ③EN＝BF；④MC＝MF；⑤EF∥AB．其中正确的是（ ） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【解答】解：∵等边△ACM和等边△CBN， ∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°， ∴∠ECF＝60°， ∴∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中 �� = �� ∠��� = ��� �� = �� ， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN＝BM，∠ANC＝∠MBC，故①②正确， 在△ECN和△FCB中 ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△ECN≌△FCB， ∴EN＝BF，CE＝CF，故③正确 ∵∠ECF＝60°， ∴△ECF是等边三角形， ∴∠CEF＝60°， ∴∠ACE＝∠CEF， ∴EF∥AB；故⑤正确 ∵△ECF是等边三角形， ∴∠MCF＝∠EFC＝60°， ∴∠MCF≠∠MFC， ∴MC≠MF．故④错误， 第 21页（共 40页） 即：正确的有①②③⑤； 故选：B． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解 本题的根据是判断出△ACN≌△MCB． 35．如图，△ABC的面积为 8cm2，CD与∠BAC的平分线垂直，垂足为 D，连接 DB，则△ABD的面积为 （ ） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【解答】解：延长 CD交 AB于点 E． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在 Rt△ADC和 Rt△ADE中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ��� ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（ASA）， ∴DC＝DE， ∴SRt△ADC＝SRt△ADE（设 SRt△ADC＝SRt△ADE＝S1 cm2），S△BCD＝S△BDE（设 S△BCD＝S△BDE＝S2 cm2）， ∵SRt△ADC+SRt△ADE+S△BCD+S△BDE＝S△ABC， ∵2S1+2S2＝2（S1+S2）＝8（cm2）， 第 22页（共 40页） ∴S1+S2＝4（cm2）， ∴S△ABD＝SRt△ADE+S△BDE＝S1+S2＝4（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质、“等底同高的两个三角形面积相等” 是解题的关键． 36．如图，点 G是△ABC的重心，若 S△BGC＝6cm2，则 S△ABC为（ ） A．12cm2 B．18cm2 C．54cm D．24cm 【解答】解：∵G为△ABC的重心， ∴AG＝2GD， ∴S△ABG＝2S△BDG，S△ACG＝2S△CDG， ∵S△BGC＝6cm2， ∴S△ABC＝3×S△BGC＝18（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的重心的性质． 37．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A．1，2，3 B．1， 2， 3 C．2，2，4 D．2，3，6 【解答】解：利用三角形的三边关系定理逐项分析判断可知： A、1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意； B、1 + 2＞ 3，能构成三角形，符合题意； C、2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意； D、2+3＜6，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，算术平方根，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条 线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长 第 23页（共 40页） 度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 38．如图，已知△ABC≌△ADE，点 D在 BC边上，∠CAE＝40°，则∠ABC的度数是（ ） A．60° B．65° C．70° D．80° 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， 即∠BAD＝∠CAE＝40°， ∵AB＝AD， ∴∠ABC＝∠ADB= 12（180°﹣∠BAD）= 1 2 ×（180°﹣40°）＝70°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相 等． 39．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点 H，连接 DE，EF垂直平 分 AB，交 AD于点 G．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③△GHE是等腰三角形；④AG2 ﹣GD2＝CD2，其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③④ C．①④ D．②③④ 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的高， ∴BD＝CD， ∴BC＝2DE，所以①正确； 第 24页（共 40页） ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， 而 AC与 BC不确定相等， ∴△BEC≌△ADC不成立，所以②错误； ∵∠DAC+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°， ∴∠DAC＝∠CBE， ∵AB＝AC，AD是△ABC的高， ∴AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠DAB， ∵EF垂直平分 AB， ∴∠DAB+∠AGF＝90°， 而∠CBE+∠BHD＝90°， ∴∠AGF＝∠BHD， ∵∠EGH＝∠AGF，∠EHG＝∠BHD， ∴∠EGH＝∠EHG， ∴EG＝EH， ∴△GHE是等腰三角形， 连接 BG，如图， ∵EF垂直平分 AB， ∴AG＝BG， 在 Rt△BDG中，BG2﹣GD2＝BD2， ∵BD＝CD， ∴AG2﹣GD2＝CD2，所以④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的 5种判定方法是解决问题的关键；选用 第 25页（共 40页） 哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质． 40．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于 D，CE⊥AB于 E，BD和 CE交于 O，AO的延长线交 BC于 F，则图中全等的三角形有（ ） A．3对 B．4对 C．5对 D．7对 【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∵AC＝AB， ∵∠CAE＝∠BAD， ∴△AEC≌△ADB； ∴CE＝BD， ∵AC＝AB， ∴∠CBE＝∠BCD， ∵∠BEC＝∠CDB＝90°， ∴△BCE≌△CBD； ∴BE＝CD， ∴AD＝AE， ∵AO＝AO， ∴△AOD≌△AOE； ∵∠DOC＝∠EOB， ∴△COD≌△BOE； ∴OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴CF＝BF，AF⊥BC， ∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF． ∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC， ∴△AOB≌△AOC， 第 26页（共 40页） 共 7对， 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、HL．做题 时要由易到难，不重不漏． 41．如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB+EC＝AC． 下列判断正确的是（ ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对 【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∵∠B＝90°， ∴BD＝DE，故甲正确； ∠CDE＝∠CAB，故乙正确； 在 Rt△ABD和 Rt△ABD中， �� = �� �� = ��， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AB＝AE， ∴AC＝AE+CE＝AB+CE，故丙正确； 故选：D． 第 27页（共 40页） 【点评】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握 以上知识点是关键． 42．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交 BC于点 E、F，若 AB＝4，BC＝9，则△AEF的周 长为（ ） A．4 B．5 C．9 D．13 【解答】解：∵EG垂直平分 AB，FH垂直平分 AC， ∴AE＝BE，AF＝CF， ∴△ABC的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝9， 故选：C． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． 43．如图，在边长为 2的等边三角形 ABC中，D为边 BC上一点，且 BD= 12CD．点 E，F分别在边 AB， AC上，且∠EDF＝90°，M为边 EF的中点，连接 CM交 DF于点 N．若 DF∥AB，则 CM的长为（ ） A． 2 3 3 B． 3 4 3 C． 5 6 3 D． 3 【解答】解：∵等边三角形边长为 2，BD= 12CD， ∴BD= 23，CD= 4 3， ∵等边三角形 ABC中，DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B＝60°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝30°， ∴DE⊥BE， 第 28页（共 40页） ∴∠BED＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BDE＝30°， ∴BE= 12BD= 1 3， ∴DE= ��2 − ��2 = 33 ， 如图，连接 DM，则 Rt△DEF中，DM= 12EF＝FM， ∵∠FDC＝∠FCD＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝CF= 43， ∴CM垂直平分 DF， ∴∠DCN＝30°，DN＝FN， ∴Rt△CDN中，DN= 23，CN= 2 3 3 ， ∵M为 EF的中点， ∴MN= 12DE= 3 6 ， ∴CM＝CN+MN= 2 33 + 3 6 = 5 3 6 ， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、 线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键． 44．在直角三角形 ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线 AD交 BC于点 D，∠ABC的平分线 BE交 AC 于点 E，AD、BE相交于点 F，过点 D作 DG∥AB，过点 B作 BG⊥DG交 DG于点 G．有以下结论： ①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是 （ ） 第 29页（共 40页） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAF＝∠CAF= 12∠BAC，∠FBA＝∠CBE= 1 2∠ABC， ∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠FAB+∠FBA= 12（∠BAC+∠ABC）＝45°， ∴∠AFB＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正确，符合题意； ∵DG∥AB， ∴∠BDG＝∠ABC， ∵∠CBE= 12∠ABC， ∴∠BDG＝2∠CBE，故②正确，符合题意； ∵BG⊥DG， ∴∠G＝90°， ∴∠GDB+∠GBD＝90°， 又∵∠GDB＝∠ABC， ∴∠ABC+∠GBD＝90°，无法判定∠GBD＝∠ABC，故③错误，不符合题意； 又∵∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠GBD， ∵∠ABF＝∠EBC， ∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD， ∴∠BEC＝∠EBG，故④正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思 想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换． 45．如图，在△ABC中，D是 AC的中点，CE⊥AB，BD与 CE交于点 O，且 BE＝CD．下列说法错误的 第 30页（共 40页） 是（ ） A．BD的垂直平分线一定与 AB相交于点 E B．∠BDC＝3∠ABD C．当 E为 AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当 E为 AB中点时， �△��� �△��� = 3 4 【解答】解：连接 DE，如图 1所示： ∵CE⊥AB，点 D是 AC的中点， ∴DE为 Rt△AEC斜边上的中线， ∴�� = �� = �� = 12��， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点 D在线段 BD的垂直平分线上， 即线段 BD的垂直平分线一定与 AB相交于点 E，故选项 A正确，不符合题意； 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，