精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

泊头市第一中学高二上学期12月份月考试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项试符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可． 【详解】由，得， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列中数据特征得到通项公式. 【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有， 满足， 所以数列的一个通项公式可以为，其余选项不适合， 故选：B. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直，可知，根据向量平行的坐标表示即可求得答案. 【详解】当时，，所以，即，， 则，解得，． 故选：C． 4. 一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意双曲线的方程为，将点代入计算可得. 【详解】由题意设双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以双曲线的方程为，即. 故选：A. 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【详解】在等差数列中，成等差数列， 则， 设，则， 故，解得， 所以. 故选：A. 6. 已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点距离公式结合圆的位置关系计算即可. 【详解】设，由， 得， 即点在圆上， 易知其圆心为，半径． 又圆的圆心为，半径， 而点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以， 解之得， 即的取值范围是． 故选：C． 7. 已知点在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用向量的数量积和三角形面积公式，可得到，，又，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示： 不妨设，，（，），， 则可知，， 两式相除可得，所以， 又，所以， 则由得，可得（，）， 由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立）， 所以, 所以的最小值为. 故选：B． 8. 若是函数的极值点，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，由求出，然后针对的每一个值，进行讨论，验证是不是函数的极值点，即可得答案. 【详解】， 由题意可知或， 当时，， 令，解得或，函数在和上单调递增， 令，解得，函数在上单调递减， 所以是函数的极值点符合题意； 当时，， 所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 综上所述，. 故选：B. 【点睛】易错点点睛：本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解. 【详解】依题意，抛物线：的准线为， 因为为上一点，且，则，解得，故A正确； 抛物线：，焦点为，因为为上一点，则， 所以，所以，故B错误； 直线的方程为，代入：，得， 整理得，解得或， 因为为上一点且在轴下方，所以，所以， 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 异面直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 的面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为四边形，都是正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 又，分别是线段，的中点，所以，， 所以，， 又，不共线，所以，故A正确； ，，设异面直线，所成角为， 则，又，所以， 即异面直线，所成角为，故B错误； 由，，得， 所以点到直线的距离为，故C正确； 因为，所以到的距离即为到的距离， 所以的面积，故D正确． 故选：ACD． 11. 某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为 D. 开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的信息求出递推公式判断A；变形递推公式判断B；求出通项公式，利用通项公式求项及前7项和判断CD即可. 【详解】依题意，当时，，A正确； 当时，，又，即， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确； 显然，即，则，C错误； 显然，又有1920名学生， 所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质即可得解. 【详解】由题意， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求出平面的法向量，利用向量法即可求点面距离. 【详解】由题意，， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知轴，设，又在渐近线上，可得，利用，和离心率的取值范围可得答案围． 【详解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限， 由轴，可知轴，所以可设， 又在渐近线上，所以，所以， 因为的离心率的取值范围是， 所以， 又，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，利用求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足． （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列； （2）由（1）求出首项，利用等差数列通项公式计算，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 数列为首项为，公差为的等差数列， 所以，解得. 因为，所以， 则， ， 于是， 两式相减得， 所以. 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率. 【答案】（1）或 （2）面积的最大值为，此时直线的斜率为. 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证直线与圆的位置关系；当直线直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，计算出圆心到直线的距离为，利用勾股定理结合三角形的面积公式可求得面积的最大值及其对应的的值，可得出关于实数的方程，解之即可得解. 【小问1详解】 解：圆的圆心为，半径为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，可得直线的方程为， 当直线与圆相切时，直线的方程为或. 【小问2详解】 解：若直线与圆相交，由（1）可知，直线的斜率必定存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离. 的面积为， 当时，面积的最大值为， 即，可得，解得， 故面积的最大值为，此时直线的斜率为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，， 因为F，G分别为，的中点， 所以，， 又E为的中点，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在直三棱柱中，平面， 又平面，平面， 所以，，又， 故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，， 所以，， ， 设平面的法向量为， 则令得，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在处切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间； （3）问题化为在上存在实数解，利用导数求右侧表达式在上最小值，即可得范围. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. 【小问2详解】 由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 原条件等价于在上存在实数解. 所以在上存在实数解， 令，则， 在上，得，故在上单调递增， 所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解. 19. 已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 （1）求的方程. （2）证明：的斜率为定值. （3）设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2）设的方程为，，. 联立方程组整理得， 即， 则，， ， 整理得，则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出，，； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. （3）利用（2）中直曲联立的结果，结合弦长公式求出，再利用点到直线距离求出四边形面积，得到方程，求解方程即可. 【小问1详解】 由题可知，解得，， 故的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得直线，，， 因为与线段（不含端点）相交，所以， ， 点到的距离， 点到的距离， 四边形的面积， 解得或（舍去）， 故的方程为：. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面， 不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系，解决弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泊头市第一中学高二上学期12月份月考试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项试符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若是函数的极值点，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 异面直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 的面积是 11. 某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为 D. 开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若则______． 13. 已知，则点到平面的距离为______． 14. 已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足． （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在处切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 19. 已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 （1）求的方程. （2）证明：的斜率为定值. （3）设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $