精品解析：天津市第四十一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2027届高一数学上学期(数学) 质量调研 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数， 在区间 上单调递减， 函数 在区间上单调递增，故选A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断； 【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增， ，，， 所以在上存在一个零点. 故选：. 【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题． 3. 给出下列命题： (1)第二象限角大于第一象限角： (2)不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关 (3)将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 (4)若，则θ是第二或第三象限角. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可. 【详解】对于(1)，由是第二象限角，是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，(1)错误； 对于(2)，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，(2)正确； 对于(3)，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为，(3)错误； 对于(4)，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，(4)错误； 综上，其中正确命题只有个，即(2)，. 故选：A. 4. 设，角的终边经过点，则的值等于（ ） A. B. － C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再用三角函数的定义分别求出的值，可得答案. 【详解】. 由三角函数的定义：，， 当时，，， . 故选：B 5. 下列各式（各式均有意义）正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则和指数的性质直接求解． 【详解】对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，当为偶数时，；当为奇数时，；故错误； 对于，，故正确； 故选：D. 6. 已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，结合中间量法即可得解. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：A. 8. 已知，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数与对数的互换表示出，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可． 【详解】由题可得，即． 原式． 故选：． 10. 若函数是定义在上的增函数，且对一切，满足，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据函数作差的性质，可得函数作和的性质，由此整理不等式，利用函数的单调性，解不等式，结合定义域，可得答案. 【详解】解：∵对一切满足，则， ∴对一切满足，且， ∴变形为：， 又函数是定义在上的增函数，∴，即， 解得：，又，解得，则所求符合题意的解集为． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 11. 已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为___________弧度. 周长是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，然后由扇形的面积公式与弧长公式求解即可. 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，由于扇形的面积为 因为扇形的面积为4，半径为2，所以，所以， 所以扇形的弧长为，故扇形的周长为：. 故答案为：； 12. 函数的单调递增区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 按照复合函数单调性的判断方法求解. 【详解】函数写成内外层函数，， 根据复合函数单调性的判断方法“同增异减”可知，外层是单调递减函数， 内层函数，也是单调递减函数，所以 ，解得：， 即函数的单调递增区间是. 故答案为： 13. 函数的定义域为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】解对数不等式得出函数定义域. 【详解】因为满足，所以，即得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. ________________________. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 故答案为：. 15. 已知幂函数的图象经过点，则函数是_______函数（奇偶性），若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 ①. 非奇非偶 ②. 【解析】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；再利用函数定义域和单调性求不等式的解集. 【详解】设幂函数，其图象过点，则，解得； 所以，函数定义域为， 因为定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数； 又因为，所以函数在上单调递增， 不等式等价于，解得； 则实数的取值范围是. 故答案为：非奇非偶；. 16. 已知函数，则的值为___________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合指对数的运算律化简求值. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 17. 函数的定义域为R，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义与性质，列出相应的一元二次不等式，利用判别式，即可求出k的取值范围． 【详解】由题意，函数的定义域为R， 所以关于x的不等式恒成立， 时，不等式为恒成立； 时，应满足， 解得， 综上，实数k的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据函数的定义域，列出相应的不等式，结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 18. 函数，且的图象恒过定点，若 ，则的最小值为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数函数性质求出定点的坐标，由点的坐标与集合的关系可得，结合关系利用基本不等式求结论. 【详解】因为时，， 所以函数的图象过定点， 故点的坐标为， 因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 19. 已知函数，若 且则的取值范围是_______________ 【答案】. 【解析】 【分析】根据对数函数图象的性质求解判断 【详解】根据对数函数性质，画出， 因为所以即，且 ， 由对勾函数的性质可知，在上是增函数， 故有 故答案为：. 20. 已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围． 【详解】函数（且）， 在上单调递减，则：； 解得，． 由图象可知，在上,有且仅有一个解， 故在上,同样有且仅有一个解， 当即时,联立, 则,解得或1（舍去）， 当时,由图象可知，符合条件， 综上：的取值范围为. 故答案为． 【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题. 三、解答题：本题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. (1)计算: (式中字母均为正数)； (2)求值: (3)求值: 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则，结合根式与分数指数幂的互化计算即可； （2）利用指数运算法则计算即可； （3）利用对数性质及对数运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； (3) . 22. 已知函数，且， （1）求函数的定义域，并在判断函数的奇偶性后加以证明： （2）当时， （i）判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （ii）解关于的不等式：. 【答案】（1）定义域为，奇函数，证明：函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 显然， 所以函数是奇函数. （2）（i）减函数，证明：当时，在上单调递减， ，， 因为，则，， 因此，，即， 所以函数是上的减函数. （ii）. 【解析】 【分析】（1）借助对数函数定义求出定义域，再利用奇偶函数定义判断证明即得. （2）（i）判断单调性，再利用函数单调性定义推理即得；（ii）利用单调性脱去法则，再解指数不等式即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（1）知，， 而函数是上的减函数，则，即， 解，即，得，解，即，得， 解，即，得，因此， 所以原不等式的解集为. 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高一数学上学期(数学) 质量调研 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列命题： (1)第二象限角大于第一象限角： (2)不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关 (3)将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 (4)若，则θ是第二或第三象限角. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设，角的终边经过点，则的值等于（ ） A. B. － C. D. － 5. 下列各式（各式均有意义）正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数是定义在上的增函数，且对一切，满足，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 11. 已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为___________弧度. 周长是________. 12. 函数的单调递增区间为__________． 13. 函数的定义域为__________. 14. ________________________. 15. 已知幂函数的图象经过点，则函数是_______函数（奇偶性），若，则实数的取值范围是_________. 16. 已知函数，则的值为___________________. 17. 函数的定义域为R，则实数k的取值范围是______． 18. 函数，且的图象恒过定点，若 ，则的最小值为__________________. 19. 已知函数，若 且则的取值范围是_______________ 20. 已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____． 三、解答题：本题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. (1)计算: (式中字母均为正数)； (2)求值: (3)求值: 22. 已知函数，且， （1）求函数的定义域，并在判断函数的奇偶性后加以证明： （2）当时， （i）判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （ii）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $