精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性调研数学试卷

2024年秋学期金坛一中高二年级12月阶段性调研数学试卷 12.26 一、单选题 1. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由排列数公式2）， 可知. 故选：B. 2. 两条平行线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线，所以所求距离为. 故选：A 3. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 4. 已知，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 5. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为、，且， 因为. 故选：C. 6. 在等比数列中，已知，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质得到，即可求出公比. 【详解】因为，， 所以， 所以，从而. 故选：D. 7. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 8. 已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【详解】如图, 由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 中存在连续三项成等差数列 C. 中存在连续三项成等比数列 D. 数列的前项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项，再逐项判断即得. 【详解】数列中，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即， 对于A，，A正确； 对于B，，，，，即、、成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项、、成等比数列，则， 整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D，，则， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ABD. 10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 被8整除的余数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用二项式系数和结论得到，然后取特殊值即可验证A，取得，与联立求解即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，求出每一项系数的符号并取特殊值即可验证D． 【详解】由已知有，故，． 所以． 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，取得，又， 所以，B正确； 对于C，， 则后一项即为余数1，C正确； 对于D， 由 有． 在中 取得， 所以，D正确. 故选：BCD． 11. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 已知为数列的前项和，且满足，则的通项公式为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出通项公式. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而不满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 13. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件按三位数中是否有0分类，再利用排列组合应用问题列式计算得解. 【详解】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种； ②不含数字0，则有种， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为. 故答案为：14 14. 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数性质得值，然后由二项展开式通项公式确定常数项． 【详解】展开式中二项式系数只有第4项最大，则， ， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知是等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前100项和. 【答案】（1） （2）200 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式. （2）求出，利用分组求和公式得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由，，得， 解得，则 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 16. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）150 （2）48 （3）120 （4） 【解析】 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【小问1详解】 将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． 【小问2详解】 先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． 【小问3详解】 先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． 【小问4详解】 先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 17. 已知（n为正整数）. （1）若，求该式的展开式中所有项的系数之和； （2）若，求该式的展开式中无理项的个数； （3）若，求该式的展开式中系数最大的项. 【答案】（1）1 （2）15 （3） 【解析】 【分析】（1）由求出，再令可得答案； （2）由求出，求出展开式的通项公式，再由的指数不为整数可得答案； （3）求出展开式的通项公式由解不等式可得答案． 【小问1详解】 由可得， 令可得， 所以展开式中所有项的系数之和为1； 【小问2详解】 若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项； 【小问3详解】 设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为． 18. 已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程. （2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助为线段中点，利用相关点法求轨迹方程； （2）设直线：，联立抛物线方程，设，，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标. 【小问1详解】 设，，是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． 【小问2详解】 由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，，  因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 19. 数列满足且，记. （1）求、、、的值； （2）求数列的通项公式及数列的前n项和. 【答案】（1），，， （2）， 【解析】 【分析】（1）由得代入递推公式整理得到，从而得到，再根据求出，从而求出、、的值； （2）由（1）可得，即可得到是首项为，公比的等比数列，从而求出的通项公式，再由得到，利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得. 【小问1详解】 解：由得，代入递推关系， 即 整理得，即， 由，有， 所以，，． 【小问2详解】 解：由，所以，又， 所以是首项为，公比的等比数列， 故，即． 由，得， 故 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期金坛一中高二年级12月阶段性调研数学试卷 12.26 一、单选题 1. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 两条平行线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 1 3. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，已知，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 7. 南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 中存在连续三项成等差数列 C. 中存在连续三项成等比数列 D. 数列的前项和 10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 被8整除的余数为1 D. 11. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 三、填空题 12. 已知为数列的前项和，且满足，则的通项公式为_____. 13. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 14. 的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为______. 四、解答题 15. 已知是等差数列的前项和，且，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前100项和. 16. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 17. 已知（n为正整数）. （1）若，求该式的展开式中所有项的系数之和； （2）若，求该式的展开式中无理项的个数； （3）若，求该式的展开式中系数最大的项. 18. 已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. （1）求的轨迹方程. （2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 19. 数列满足且，记. （1）求、、、的值； （2）求数列的通项公式及数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $