精品解析：天津市第七中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

天津市第七中学高二年级第一学期12月月考——数学试卷 一、选择题：本题共9小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式 【详解】正负相间用表示，∴． 故选D． 【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：D. 3. 已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为， 由题意可知：焦准距， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 4. 等差数列的前四项之和为，后四项之和为，各项和为，则此数列的项数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得，两式左右两端分别相加，根据等差数列的性质，可求的值，再根据等差数列前项和公式，求项数. 【详解】由题意可得， 以上两式左右两端分别相加，可得. 数列是等差数列，， . 又. 故选：. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和公式，属于基础题. 5. 设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用和判断与0的关系，即可得到答案. 【详解】若，且，，，则“”是“”的充分条件； 若，则，又，，则“”是“”的必要条件； 则则“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点A的坐标为，由对称的关系表示出点Q的坐标，再将点Q的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率 【详解】设点Q的坐标为，因为F关于直线的对称点Q， 所以，即，解得， 所以点Q的坐标是， 因为点Q在椭圆上，所以，得， 又，即，所以 所以该椭圆的离心率是. 故选：C 7. 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以， 又，解得，所以，故选C． 考点：等比数列的通项公式及性质． 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】，根据条件表示出，，则可表示出，进而可得离心率. 【详解】如图，令，由，得， 又，则， 即，又由，得， ， 故选：D. 9. 已知等差数列的前n项和为且满足则中最大的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和可得，进而求出的最大值即可判断结果． 【详解】在等差数列中，由，，得， ，则，公差， 因此等差数列为递减数列，当时，；当时，，则最大值是， 则当时，且单调递增，当时，，所以最大． 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 方程表示双曲线，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可. 【详解】方程表示双曲线， 可得， 解得， 故答案为：. 11. 设等比数列的公比，前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得的值. 【详解】由等比数列求和公式以及通项公式可得. 故答案为：. 12. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设出直线的方程与抛物线方程联立，根据已知等式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】因为，所以直线AB存在斜率，设为， 抛物线焦点F的坐标为，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立为：， 设，，所以有， 因为点A在第一象限，且， 所以，因此有， 设直线AB的倾斜角为，所以，解得： 故答案为： 13. 数列的首项，且对任意，恒成立，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求得，再将原条件转化为，再由递推关系可推导出是为等差数列，从而求得求得其通项公式，进而求解即可． 【详解】依题意可得，得， 又，则， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 所以． 故答案为：． 14. 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为，以此类推，第7个图形对应的圆点数为__________；若这些数构成数列，则__________. 【答案】 ①. 70 ②. 438 【解析】 【分析】根据给定的信息，令第n个图形对应的圆点数为，利用观察法探求，再利用累加法求出数列通项即得；求出，再利用等差数列前n项和公式求解作答. 【详解】令第n个图形对应的圆点数为，观察图形得：，， ，因此有，， 则当时， ，显然满足上式，即有， 所以第7个图形对应的圆点数； ，显然数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以. 故答案为：70；438 15. 数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：.有如下运算和结论： ①； ②数列，，，，…是等比数列； ③数列，，，，…的前n项和为； ④数列，，，，…的前项和为，则. 其中正确的结论是________.(将正确的结论序号都填上). 【答案】①③④ 【解析】 【分析】求出第项判断①；利用等比数列的定义判断②；利用等差数列的前项和的公式计算判断③；由③的求和式子计算判断④. 【详解】①前24项构成的数列是：， 前面有项，因此，①正确； ②数列，…是， 则第项与第的差为是常数，因此所给数列是公差为的等差数列，②错误； ③由②知数列…是首项和公差均为的等差数列， 因此，③正确； ④由③得到，则，而， 因此 ，④正确． 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 求满足下列条件的曲线方程： （1）渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程； （2）顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，过点且满足的抛物线的标准方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设双曲线方程为：，代入点即可得解； （2）设抛物线方程为，根据抛物线过点先得到，再根据焦半径公式求解即可. 【小问1详解】 ∵双曲线的渐近线方程为，∴设双曲线方程为：. ∵双曲线经过点，，解得. 所以满足条件的双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设抛物线方程为，则准线方程为. 因为抛物线过点，所以， 所以，解得或， 故满足条件的抛物线的标准方程为或. 17. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，记为数列的前n项和.若，求. 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式以及数列的求和公式，求出数列的首项以及公差，然后求解通项公式. （2）说明数列是等比数列，然后求解数列的和，求解即可. 【详解】（1）设的首项为，公差为， 由已知得，解得. 所以. （2）因为，由（1）可得， ∴是首项为4，公比为2的等比数列， 则. 由，得， 解得. 【点睛】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）①令，求数列的前项和； ②若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）依题意可得，设公差为、公比为，根据等差（等比）数列通项公式得到方程组，求出、，即可得解； （2）①由（1）可得，利用错位相减法计算可得；②依题意可得对任意的，不等式恒成立，令（），利用作差法判断的单调性，即可求出的最大值，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，，既是等差数列，又是等比数列， 所以， 又，设公差为、公比为， 则，解得或（舍去）， 所以，； 【小问2详解】 ①由（1）可得， 所以， ， 所以 ， 所以； ②因为对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立， 令（），则， 所以单调递减，则， 所以，即实数的取值范围为. 19. 已知椭圆C：的离心率为且经过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于M，N两点(点M，N与点A不重合)，求证：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明： 若过点的直线MN的斜率不存在， 此时M，N两点中有一个点与点A重合，不满足题目条件． 故过点的直线MN的斜率存在， 设其斜率为k，则MN的方程为， ，得. 设，则， ， . ， ， ，即为直角三角形. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，再由离心率求出即可求解； （2）由题意设出直线MN的方程，联立直线MN与椭圆方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积计算得，即可判定三角形为直角三角形. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且经过点. ，解得. 椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 略 20. 已知项数为的数列满足如下条件：①；②．若数列满足，其中则称为的“心灵契合数列”． （1）数列1，5，9，11，15是否存在“心灵契合数列”？若存在，写出其心灵契合数列；若不存在，请说明理由； （2）若为的“心灵契合数列”，判断数列的单调性，并予以证明； （3）已知数列存在“心灵契合数列”，且，，求m的最大值． 【答案】（1）数列1，5，9，11，15不存在“心灵契合数列”，理由如下： 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，11，15不存在“心灵契合数列”. （2）数列为递减数列．证明如下： 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立， 所以数列为递减数列． （3）33 【解析】 【分析】（1）求出、、、后，根据“心灵契合数列”的定义判定即可； （2）由“心灵契合数列”的定义，结合数列单调性讨论的符号即可得解； （3）根据数列及其“心灵契合数列”中项的特征，结合单调性分析出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，都有， 因为，． 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 例如：， 此时，， 且为单调递减数列，故满足题意． 所以m的最大值是33． 【点睛】本题考查了数列新定义的相关问题，关键是对于概念的理解，建立适当的等量关系或不等关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第七中学高二年级第一学期12月月考——数学试卷 一、选择题：本题共9小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为 A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前四项之和为，后四项之和为，各项和为，则此数列的项数为 A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 椭圆的右焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则． A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 已知等差数列的前n项和为且满足则中最大的项为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 方程表示双曲线，则的取值范围是___________. 11. 设等比数列的公比，前项和为，则______. 12. 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为___________. 13. 数列的首项，且对任意，恒成立，则______． 14. 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为，以此类推，第7个图形对应的圆点数为__________；若这些数构成数列，则__________. 15. 数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：.有如下运算和结论： ①； ②数列，，，，…是等比数列； ③数列，，，，…的前n项和为； ④数列，，，，…的前项和为，则. 其中正确的结论是________.(将正确的结论序号都填上). 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 求满足下列条件的曲线方程： （1）渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程； （2）顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，过点且满足的抛物线的标准方程. 17. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）设，记为数列的前n项和.若，求. 18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）①令，求数列的前项和； ②若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆C：的离心率为且经过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于M，N两点(点M，N与点A不重合)，求证：为直角三角形. 20. 已知项数为的数列满足如下条件：①；②．若数列满足，其中则称为的“心灵契合数列”． （1）数列1，5，9，11，15是否存在“心灵契合数列”？若存在，写出其心灵契合数列；若不存在，请说明理由； （2）若为的“心灵契合数列”，判断数列的单调性，并予以证明； （3）已知数列存在“心灵契合数列”，且，，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $