8.4 因式分解 第2课时 课件-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

沪科版数学·七年级下册 运用公式法分解因式 思 考 如何将 x2－2x + 1 因式分解？ x2－2x + 1 = (x－1)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 －2ab + b2 = a2 －b2 (a + b)2 (a － b)2 (a + b)(a－b) 完全平方公式： 平方差公式： a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 －2ab + b2 a2 －b2 = (a － b)2 = (a + b)(a－b) 运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫作公式法. 把下列各式分解因式： （1）x2 + 14x + 49； 例 3 （2）9a2－30ab + 25b2 ； 解（1）x2 + 14x + 49 = x2 + 2 · x · 7 + 72 = (x + 7)2 （2）9a2－30ab + 25b2 = (3a)2－2×3a×5b + (5b)2 = (3a－5b)2 （3）x2 － 81； （4）36a2－25b2 . （3）x2 － 81 = x2 － 92 = (x + 9)(x－ 9) （4）36a2－25b2 = (6a)2－(5b)2 = (6a + 5b)(6a－5b) 练 习 1. 把下列各式写成完全平方的形式： （1）0.81x2 = ( )2； （2） m2n4 = ( )2； （3）y2－8y + 16 = ( )2； （4）x2 + x + = ( )2 . ±0.9x y－4或4－y 2. 把下列各式分解因式： （1）x2 + 2x + 1 ； （2）y2 － 4 ； 解 （1）x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 （2）y2 － 4 = (y + 2)(y－2) （3）1 － 6y + 9y2 ； （4）1－36n2 ； （3）1 － 6y + 9y2 （4）1－36n2 = (1 － 3y)2 = 12－(6n)2 = (1 + 6n)(1－6n) （5）9n2 + 64m2 － 48mn ； （6）－16 + a2b2 . （5）9n2 + 64m2 － 48mn （6）－16 + a2b2 = (3n)2 － 2·3n·8m + (8m)2 = (3n － 8m)2 = (ab)2 －42 = (ab + 4)(ab －4) 把下列多项式分解因式： （1）ab2 － ac2 ； 例 4 （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 . 解（1）ab2 － ac2 = a(b2 － c2) = a(b + c)(b－ c) （提取公因式） （用平方差公式） （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 把下列多项式分解因式： （1）ab2 － ac2 ； 例 4 （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 . = 3a(x2 + 8xy + 16y2) = 3a(x + 4y)2 （提取公因式） （用完全平方公式） 把下列多项式分解因式： （1）16x4 － 81； 例 5 （2）x4 － 2x2 + 1 . 解（1）16x4 － 81 = (4x2 + 9)(4x2 － 9) = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－ 3) （提取公因式） （用平方差公式） 把下列多项式分解因式： （1）16x4 － 81； 例 5 （2）x4 － 2x2 + 1 . （2）x4 － 2x2 + 1 = (x2 － 1)2 （用完全平方公式） = [(x + 1)(x － 1)]2 （用平方差公式） = (x + 1)2(x － 1)2 练 习 1. 把下列多项式分解因式： （1）2x3－32x； （2）9a3b3－ab； 解（1）2x3－32x = 2x(x2－16) = 2x(x + 4)(x－4) （2）9a3b3－ab = ab(9a2b2－1) = ab(3ab + 1)(3ab－1) （3）mx2－8mx + 16m； （4）－x4 + 256； （4）－x4 + 256 （3）mx2－8mx + 16m = m(x2－8x + 16) = m(x－4)2 = (16)2 －(x2)2 = (16 + x2)(16－x2) = (16 + x2)(4 + x)(4－x) （5）－a + 2a2－a3； （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 . （5）－a + 2a2－a3 （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 = －a(1－ 2a2 + a2) = －a(1－ a)2 = (9a2)2 －72a2b2 + (4b2)2 = (9a2 －4b2)2 = [(3a + 2b)(3a －2b)]2 = (3a + 2b)2(3a －2b)2 课堂小结 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 －2ab + b2 a2 －b2 = (a － b)2 = (a + b)(a－b) 运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫作公式法. $$ 沪科版数学·七年级下册 分组分解法分解因式 把下列各式分解因式： （1）x2 －y2 + ax + ay； 例 6 （2）a2 + 2ab + b2－c2 . 作为一组，可以用平方差公式分解因式 (x+y)(x－y) 作为另一组，提取公因式 a(x + y) 完全平方公式分解因式 把下列各式分解因式： （1）x2 －y2 + ax + ay； 例 6 （2）a2 + 2ab + b2－c2 . 解（1）x2 －y2 + ax + ay = (x2 －y2) + (ax + ay) = (x + y)(x－y) + a(x + y) = (x + y)(x－y + a) （2）a2 + 2ab + b2－c2 = (a2 + 2ab + b2)－c2 = (a + b)2－c2 = (a + b + c)(a + b－c) 因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解. 探 究 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 完全平方公式 x2 + 4x + 4 －1 4－1 平方差公式 探 究 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 方法一 x2 + 4x + 3 = (x2 + 4x + 4)－1 = (x + 2)2－1 = (x + 2 + 1)(x + 2－1) = (x + 3)(x + 1) 探 究 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 拆分成 3x + x x2 + 3x + x + 3 提取公因式 探 究 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 方法二 x2 + 4x + 3 = x2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x + 1) 还有其他方法吗？ 探 究 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 多项式乘法法则： (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 由等式性质可得： x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) (1 + 3)x (1×3) 探 究 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 方法三 x2 + 4x + 3 = x2 + (1 + 3)x + 1×3 = (x + 3)(x + 1) 练 习 1. 把下列各式分解因式： （1）4a2－b2 + 4a－2b； （2）x2－2xy + y2－1； 解（1）4a2－b2 + 4a－2b = (4a2－b2) + (4a－2b) = (2a + b)(2a－b) + 2(2a－b) = (2a－b)(2a + b + 2) 练 习 1. 把下列各式分解因式： （1）4a2－b2 + 4a－2b； （2）x2－2xy + y2－1； （2）x2－2xy + y2－1 = (x－y)2－12 = (x－y + 1)(x－y－1) （3）9x2 + 6x + 2y－y2 . 练 习 1. 把下列各式分解因式： 9x2 + 6x + 2y－y2 = (9x2 －y2) + (6x + 2y) = (3x + y)(3x－y) + 2(3x + y) = (3x + y)(3x－y + 2) （1）x2 － 6x + 8； （2）x2 + 3x －10 . 2. 把下列各式分解因式： 解（1）x2 － 6x + 8 = x2 － (2+4)x + 2×4 = (x－ 2)(x－ 4) （2）x2 + 3x －10 = x2 + [5 + (－2)]x + 5×(－2) （1）x2 － 6x + 8； （2）x2 + 3x －10 . 2. 把下列各式分解因式： = (x + 5)(x－2) 课堂小结 因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解. $$