8.3 完全平方公式与平方差公式 第2课时 课件-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

沪科版·七年级下册 平方差公式 思 考 1. 由多项式乘法计算： （1）(3m + 1)(3m － 1)； （2）(x + 2y)(x －2y). 解（1）(3m + 1)(3m － 1) = 9m2 － 3m + 3m－1 = 9m2 －1 （2）(x + 2y)(x －2y) = x2 － 2xy + 2xy－4y2 = x2 －4y2 2. 请你根据上面多项式乘法的规律概括出 (a + b)(a－b) 的计算公式. (a + b)(a－b) = a2－b2 这个公式称为平方差公式，用语言如何描述？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a + b)(a－b) = a2－b2 说一说 平方差公式有什么特点. （1）左边是两个数的和乘以这两个数的差. （2）右边是两个数的平方差. （3）公式中的 a，b 既可代表具体的数，还可代表单项式或多项式. 3. 你能设计一个图形来说明上面公式吗？ a－b b b a－b 求下图中蓝色区域面积？ S = a2 － b2 = (a + b)(a－b) a + b 例 3 利用乘法公式计算： （1）(－x + 3)(－x－3)； （2）1 999×2 001 . 解 （1）(－x + 3)(－x－3) = (－x)2 －32 = x2 －9 （2）1 999×2 001 = (2 000－1)×(2 000 + 1) = 2 0002－12 = 3 999 999 练 习 1. 利用乘法公式计算： （1）(2a + 5b)(2a－5b)； （2） . 解 （1）(2a + 5b)(2a－5b) = (2a)2－(5b)2 = 4a2－25b2 （2） （3）(y－2x)(－2x－y)； （4）(xy + 1)(xy－1). （3）(y－2x)(－2x－y) = (－2x + y)(－2x－y) = (－2x)2－y2 = 4x2－y2 （4）(xy + 1)(xy－1) = (xy)2－12 = x2y2－1 2. 利用乘法公式计算： （1）598 × 602； （2）9992 . 解（1）598 × 602 = (600－2) × (600 + 2) = 6002 － 22 = 359996 （2）9992 = (1000－1)2 = 10002－2×1000×1 + 12 = 998001 例 4 计算： （1）(a + b + c)2 ； （2）(a－b)3. 解（1）(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 +2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 例 4 计算： （1）(a + b + c)2 ； （2）(a－b)3. （2）(a－b)3 = (a－b)(a－b)2 = (a－b)(a2－2ab + b2) = a3－2a2b + ab2－a2b + 2ab2－b3 = a3－3a2b + 3ab2－b3 例 5 利用乘法公式计算：(x + y + z)(x－y + z) . 解 (x + y + z)(x－y + z) = [(x + z) + y][(x + z)－y] = (x + z)2 －y2 = x2 +2xz + z2 －y2 练 习 1. 计算： （1）(a + b)3； （2）(x－1)3； （3）(a－b－c)2 . 解 （1）(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 练 习 1. 计算： （1）(a + b)3； （2）(x－1)3； （3）(a－b－c)2 . （2）(x － 1)3 = (x － 1)(x － 1)2 = (x － 1)(x2 － 2x + 1) = x3 － 2x2 + x + (－x2) + 2x － 1 = x3－3x2 + 3x－1 练 习 1. 计算： （1）(a + b)3； （2）(x－1)3； （3）(a－b－c)2 . （3） (a－ b－ c)2 = [(a － b) － c]2 = (a － b)2 － 2(a － b)c + c2 = a2 － 2ab + b2 － 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 － 2ab － 2ac + 2bc 2. 计算： 练 习 （1）(2a + b + 1) (2a + b－1)； （2）(3x + y + z) (3x － y－z). 解 （1）(2a + b + 1) (2a + b－1) = (2a + b)2 －12 = 4a2 + 4ab + b2 －1 2. 计算： 练 习 （1）(2a + b + 1) (2a + b－1)； （2）(3x + y + z) (3x － y－z). 解 （2）(3x + y + z) (3x － y－z) = [3x + (y + z)] [3x － (y + z)] =9x2 － (y + z)2 =9x2 － (y2 +2yz+ z2) =9x2 － y2 － z2 － 2yz 课堂小结 平方差公式 (a + b)(a－b) = a2－b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. $$