8.1 幂的运算 第3课时 课件-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

沪科版·七年级下册 同底数幂的除法 8 知识回顾 幂的运算性质 2： (am)n = amn（m，n 都是正整数）. 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的运算性质 1： am · an = am+n（m，n 都是正整数）. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 幂的运算性质 3： (ab)n = anbn（n 是正整数）. 积的乘方等于各因式乘方的积. am ÷ an am · an = am+n（m，n 都是正整数）. 怎样计算？ 思 考 算 式 运算过程 结 果 35÷32 33 46÷43 a4÷a2 a5÷a3 3×3×3×3×3 3×3 4×4×4×4×4×4 4×4×4 a · a · a · a a · a a · a · a · a · a a · a · a 43 a2 a2 观察上表，同底数幂相除有什么规律？ 算 式 结 果 35÷32 33 46÷43 a4÷a2 a5÷a3 43 a2 a2 35－2 46－3 a4－2 a5－3 猜想: am ÷ an = ？ (当 m、n 都是正整数) am ÷ an = 一般地，如果 m，n 都是正整数（m > n），那么 a · a · … · a a · a · … · a n 个 a m 个 a = ( a · a · … · a ) (m－n) 个 a = am－n 由此得幂的运算性质 4： am ÷ an = am－n（a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m > n）. 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 计算： 例 6 （1）a5÷a； （2）(－x)5 ÷ (－x)2 ； 解：（1）a5 ÷a = a5－1 = a4. （2）(－x)5 ÷ (－x)2 = (－x)5－2 = (－x)3 = －x3. 计算： 例 6 （3）(ab)3÷ab； （4）(x－y)9 ÷ (y－x)6 . （3）(ab)3÷ab = (ab)3－1 = (ab)2 = a2b2. （4）(x－y)9 ÷ (y－x)6 = (x－y)9－6 = (x－y)3. 练 习 1. 下面的计算是否正确？为什么？ （1）a10÷a2 = a5； （ ） （2）x5÷x4 = x； （ ） （3）a3÷a = a3； （ ） （4）(－b)4÷(－b)2 = －b2 （ ） （5）(－x)6÷(－x) = x6； （ ） （6）(－y)3÷y2 = y. （ ） × a8 √ × a2 × b2 × －x5 × －y 2. 计算： （1）a10÷a5； （2）(－xy)3 ÷ (－xy)； （3）(a－b)5÷(b－a)4； （4）(ym)2÷ym . 解：（1）a10÷a5 = a10－5 = a5. （2）(－xy)3÷(－xy) = (－xy)3－1 = x2y2. （3）(a－b)5 ÷(b－a)4 = (a－b)5－4 = a－b. （4）(ym)2 ÷ym = (ym)2－1 = ym. 3. 我国的水资源总量居世界前列，但人均水资源量仅为世界平均水平的四分之一，是全球人均水资源最贫乏的国家之一. 2021 年度《中国水资源公报》显示，2021 年我国水资源总量为 2.96382×1012 m3. 按全国 1.4×109 人计算，我国人均水资源量为多少？（结果精确到个位） 解：2.96382×1012÷(1.4×109) = 2×103（m3） 答：我国人均水资源量为 2×103 m3. 课堂小结 幂的运算性质 4： am ÷ an = am－n（a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m > n）. 同底数幂相除，底数不变，指数相减. $$沪科版·七年级下册 零次幂及负整数次幂 8 知识回顾 幂的运算性质 4： am ÷ an = am－n（a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m > n）. 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 探 究 我们已经得到了当 m > n 时，am÷an（a ≠ 0）的运算性质，那么当 m ≤ n（m，n 都是正整数）时，am÷an（a ≠ 0）又如何计算呢？ m ≤ n m = n m < n （1）当被除式的指数等于除式的指数（即m = n）时， 33÷33 108÷108 an÷an = 1 = 1 = 1 一个数除以它本身商为 1 同底数幂的除法性质 = 33-3 = 30 = 108-8 = 100 = an-n = 100 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. a0 = 1（a ≠ 0） （2）当被除式的指数小于除式的指数（即m < n）时， 32÷35 104÷108 a5÷a7 约分 32 35 32 32×33 = = = 1 33 104 108 104 104×104 = = = 1 104 a5 a7 a5 a5 · a2 = = = 1 a2 （a ≠ 0，p 是正整数） a－p = 1 ap 同底数幂的除法性质 = 32-5 = 3－3 = 104-8 = 10－4 = a5-7 = a－2 任何一个不等于零的数的－p（p 是正整数）次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数. （a ≠ 0，p 是正整数） a－p = 1 ap 总 结 am÷an am－n（m > n） a0 = 1（m = n） （m < n） an－m 1 幂指数的范围 全体正整数 全体整数 计算： 例 7 （1）106÷106；（2） ；（3）(－2)3÷(－2)5. 解：（1）106÷106 = 106－6 = 100 = 1. （2） （3）(－2)3÷(－2)5 = (－2)3－5 = (－2)－2 = 练 习 1. 计算： （1） ； （2）37÷39； 解：（1） （2）37÷39 = 37－9 = 3－2 = （3） ； （4）(－m)5÷(－m)9； （3） . （4）(－m)5÷(－m)9 = (－m)5－9 = (－m)－4 = . （5）(－2xy)5÷(－2xy)5； （6）(xy)5÷(－xy)2. （5）(－2xy)5÷(－2xy)5 = (－2xy)5－5 = (－2xy)0 = 1. （6）(xy)5÷(－xy)2 = (xy)5－2 = (xy)3 = x3y3. 2. 用分数或小数表示下列各数： （1）5－3；（2）2.1×10－4；（3） ；（4）(－4)－3. 解：（1）5－3 = . （2）2.1×10－4 = 2.1× = 0.00021. 2. 用分数或小数表示下列各数： （1）5－3；（2）2.1×10－4；（3） ；（4）(－4)－3. （3） . （4）(－4)－3 = . 3. 把下列各数写成负整数指数幂的形式： 解：（1）0.001 = 1×10－3. （1）0.001； （2） ； （3） . （2） = 3－4 . （3） = －2－5 . 课堂小结 am÷an am－n（m > n） a0 = 1（m = n） （m < n） an－m 1 幂指数的范围： 全体正整数 全体整数 $$沪科版·七年级下册 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 8 知识回顾 用科学计数法表示下列各数： 1. 第五次人口普查时，中国人口约为 1 400 000 000 人. 2. 地球半径约为 6 86 000 000 米. 3. 光的速度约为 3 00 000 000 m/s. 4. 地球离太阳约为一万五千万米. 1.4×109 6.86×108 3×108 1.5×104 新课探究 科学记数法：绝对值大于 10 的数记作 a×10n 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数. 2 280 000 可以记作___________ . 2.28×106 绝对值小于 1 的数如何表示呢？ 0.000 001 = ______________. 0.000 001 试一试 = 10－6. －0.000 43 = －4.3×10－4 . 可见，绝对值小于 1 的数可记成 ±a×10－n 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），这种记数方法也是科学记数法. 例 8 用科学记数法表示下列各数，并在计算器上把它们表示出来： （1）0.000 76； （2）－0.000 001 59. 解：（1）0.000 76 = 7.6×0.000 1 = 7.6×10－4 . （2）－0.000 001 59 = －1.59×0.000 001 = －1.59×10－6. 练 习 1. 用科学记数法表示下列各数： 0.060 2，－0.006 02，0.000 060 2，153.8，－34 000. 0.060 2 = 6.02×0.01 = 6.02×10－2 . －0.006 02 = －6.02×0.001 = －6.02×10－3. 0.000 060 2 = 6.02×0.00 001 = 6.02×10－5. 153.8 = 1.538×100 = 1.538×102. －34 000 = －3.4×10000 = －3.4×104. 2. 水是由氢、氧两种元素组成的，1 个氢原子的质量约为 1.674×10－27 kg，1 个氧原子的质量约为 2.657×10－26 kg. 1 个氢原子与 1 个氧原子的质量哪个大？ 所以，1 个氧原子的质量大于 1 个氢原子的质量. 3. 雷达发出的微波以 3×105 km/s 的速度射向飞机，飞机 再将微波反射回来，经 12.6 us 后雷达站收到反射微波， 飞机与雷达站的距离是多少千米？（1 us = 10－6 s） 解：3×105 ×12.6×10－6÷2 = 18.9×10－1 = 1.89（km） 答：飞机与雷达站的距离是 1.89 千米. 绝对值小于 1 的数可记成 ±a×10－n 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），这种记数方法也是科学记数法. 课堂小结 $$