广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试题

深圳外国语学校2024—2025学年度高三第一学期第四次月考 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》卷五中将正四棱台称为“方亭”，如图，两个相同的密闭“方亭”内各装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高的一半，图2中液面高度为棱台高的，若图1中溶液体积为657，则图2中溶液体积为（ ） A. 438 B. 448 C. 584 D. 608 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设数列的前项和为，已知，数列的前项和为，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 B. 图象的对称中心为 C. 在区间上有2个零点 D. 方程在区间上的解之和为 11. 已知平面内圆的面积为为圆上长度为8的动弦，直线与圆相离，点为直线上一动点，已知点到圆上的点的最短距离为1，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为7 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为______． 13. 一个母线长为的圆锥表面积为，则该圆锥外接球的表面积为______． 14. 已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面分别为的中点，，平面与平面交于直线． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）的中点为的平分线交于点，若，求． 18. 已知函数，函数． （1）若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； （2）若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 19. 如果无穷数列满足“对任意正整数，总存在正整数，使得”，则称数列为“和包含数列”． （1）证明：不存在非零整数，使得数列为“和包含数列”； （2）已知等差数列的公差为，首项为，若数列为“和包含数列”，求的取值范围； （3）已知等比数列的公比为，是否存在使得数列为“和包含数列”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 深圳外国语学校2024—2025学年度高三第一学期第四次月考 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1） 证明：如图，取中点，连接，在中，由为的中点，得且， 在菱形中，且，则，四边形BEFM为平行四边形， 于是，又平面，平面，因此平面， 又平面，平面平面，所以． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①； ②由题意，是方程两个不同的解． 设，则， 解得， 所以， 令，则，令， 则，故在区间上单调递增，，即， 所以在区间上单调递增，即，所以成立． 【19题答案】 【答案】（1） 记数列为，令，， 因为，所以， 而，故不存在正整数，使得， 所以不存在非零整数，使得数列为“和包含数列”； （2） （3） 不存在，理由如下： 等比数列的通项公式为， 若存在使得数列为“和包含数列”，则， 记数列为， 故数列为“和包含数列”数列为“和包含数列”. 当时，令，则，矛盾； 当时，，令，则，矛盾； 当时，分别令以及， 得，以及，其中. 当为负数时，与均需为偶数，即为偶数． 因为，则，， 所以，即， 得到与矛盾； 当为正数时，由，及知，，所以， 所以， 解得与矛盾. 综上所述，不存在使得数列为“和包含数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $