6.2.4向量的数量积（八个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积 一、向量数量积的定义及运算律 五、求向量的夹角 二、求向量的模 六、向量的投影向量 三、已知模求参数 七、平面几何与数量积运算 四、向量的垂直问题 八、数量积的最值问题 知识点1向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点2向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 重难点一、向量数量积的定义及运算律 【例1】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【答案】 2 -2 【详解】由题意得，. 故答案为：2；-2. 【例2】（多选）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数， 所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. 【变式1-1】如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（多选）对于空间向量，，和实数，下列命题中是假命题的是（   ） A．若，则或. B．若，则或. C．右则或 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A，结论少了（且都是非零向量）的情形，故是假命题； 对于选项B，若，则或，故是真命题； 对于选项C，结论应该是，故是假命题； 对于选项D，比如都是单位向量，且这三个向量两两之间的夹角都是，由此就可说明D是假命题. 故选：ACD. 【变式1-3】设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 【答案】 【详解】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以. 故答案为：. 知识点4向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 重难点二、求向量的模 【例3】设，为单位向量，已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意有：，，， 即，所以； ，所以. 故选：C 【例4】已知，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以 . 故答案为： 【变式2-1】已知平面向量，，满足，，，，则 . 【答案】 【详解】由可得，两边同时平方得. ，，， ，解得. 故答案为： 【变式2-2】已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【变式2-3】已知向量，满足，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即，可得， 又，则. 故选：A. 重难点三、已知模求参数 【例5】已知向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【详解】设与的夹角为， 由，可得， 即， 即，又， 即，即， 又，所以 故答案为：. 【例6】设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 则，解得， 即等价于， 若为钝角，则，即充分性成立； 若，则为钝角或平角，即必要性不成立； 综上所述：“为钝角”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 【变式3-1】已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【答案】 【详解】因为，是单位向量，且， 所以， 所以， 所以，解得：或. 则正数的值为. 故答案为：. 【变式3-2】已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 【答案】D 【详解】因为向量，满足同向共线，所以设， 又因为，，所以， 所以或，即或. ①当时，； ②当时，； 所以的值为3或15. 故选：D. 【变式3-3】已知向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 两式相减得，，所以，则. 故选：A. 重难点四、向量的垂直问题 【例7】设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例8】已知单位向量与的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，则， 解得，则 . 故选：A. 【变式4-1】已知 是单位向量，，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是单位向量，所以. 又，即. 又，所以. 故选：C 【变式4-2】已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知， 由知. 故选：D 【变式4-3】是所在平面上一点满足的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】由，得，即， 两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形. 故选：B 重难点五、求向量的夹角 【例9】设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 【例10】设，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又，所以，得到， 所以，得到， 所以. 故选：D 【变式5-1】已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，故，故， 所以， 故， 故选：B 【变式5-2】已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以与的夹角为． 故选：A． 【变式5-3】已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，因为， 所以，所以， 则， 当时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 知识点5向量的投影 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 重难点六、向量的投影向量 【例11】已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， 在方向上的投影向量为. 故选：A． 【例12】已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，则 .∵，∴，即，∴，解得. 故选：C 【变式6-1】向量，与非零向量的夹角为，则在上的投影向量的模长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】依题意，则， 故在上的投影向量的模长为． 故选：A. 【变式6-2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由在方向上的投影向量为，得，则， 所以在方向上的投影数量为. 故选：B 【变式6-3】已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∴， 因为在方向上的投影向量为单位向量， 所以， 故选：A． 重难点七、平面几何与数量积运算 【例13】已知点为三角形的外接圆圆心，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示：取中点，连接，则, 所以， 所以 所以. 故选：A. 【例14】如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点， 所以，， 因为点在上，所以设（）， 因为，所以， 所以， 所以, 所以，解得，， （2）由（1）可知，， 因为，所以， 所以 . 【变式7-1】如图，在平面四边形中，若，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得： ， 则，即. 故答案为：. 【变式7-2】在四边形中，设向量，，，，且．求证：四边形是矩形． 【答案】证明过程见解析 【详解】因为， 所以，所以， 因为，所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 即，这表明四边形是平行四边形， 注意到， 这表明， 所以平行四边形的矩形. 【变式7-3】（多选）如图1，甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形和四边形均为正方形，且为的中点，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】如图，连接，取的中点，取的中点，则为的中点，易得，分别是，的中点． 因为，所以，即，故A错误． 易得，则，因为，， 所以，故B正确． 过作于，设，则，， 由等面积法得，得，则， 所以，所以向量在向量上的投影向量为，故C正确． 易得，，所以， 因为，所以，则向量在向量上的投影向量为，故D正确． 故选：BCD 重难点八、数量积的最值问题 【例15】如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【详解】 因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图所示，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值, 所以此时取得最大值，最大值为； 因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时 达到最小值． 综上所述的最大值与最小值的和为. 故答案为：. 【例16】如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    【变式8-1】已知单位向量，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 ，当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式8-2】已知． (1)求； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， ， 因为 所以， （2）由（1）知，， 因为 所以当时，的最小值为 【变式8-3】如图，在平行四边形中，，，，点，，分别在边，，上，且，，．    (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知， . （2） ， 又， ， 又，则， . 一、单选题 1．若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A选项，单位向量的方向不同时，不满足； 对于B选项，，故不满足； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，两个单位向量满足，故正确. 故选：D 2．已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为向量，均为单位向量，且，所以，， 所以， 故选：B. 3．已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，都是单位向量，则， ，即， ， 又因为，所以， 故选：B 4．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 5．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 6．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】C 【详解】因为， 所以， 设的中点为，则，则， 即，所以，所以点在线段的中垂线上， 故点的轨迹过的外心. 故选：C． 二、多选题 7．下列有关向量命题，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若， 则 【答案】ABD 【详解】对于A：若，由于无法确定、的方向，故无法得到与是否相等，故A错误； 对于B：若，则， 当时，即与在方向上的投影相等，故B错误； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：当、、且与不共线时， 满足，，但是与不共线，故D错误. 故选：ABD 8．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【详解】因为，且|，所以， 则，则，故A正确； 因为，所以与不垂直，故B错误； ，又向量夹角， 所以a与b的夹角为，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、解答题 9．已知向量，满足，且，则 ． 【答案】/0.25 【详解】由得， 两式相减得， 所以，则． 故答案为：. 10．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 【答案】 【详解】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 11．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】在中，由，得， 由点在斜边的中线上，得， 得. 故答案为： 四、解答题 12．已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 即， 解得，由，得. （2）由（1）得， . 13．已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）若，则与的夹角为或， 所以或. （2）若，则， ， 所以可得：， 所以，解得：. 实数的取值范围为. 14．在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，即为的中点， 因为、、三点共线， 设，则 ， 因为、、三点共线， 设，则， 又、不共线， 根据平面向量基本定理得，解得， 所以，又，则， 所以. （2）因为， ， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4向量的数量积 一、向量数量积的定义及运算律 五、求向量的夹角 二、求向量的模 六、向量的投影向量 三、已知模求参数 七、平面几何与数量积运算 四、向量的垂直问题 八、数量积的最值问题 知识点1向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点2向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 重难点一、向量数量积的定义及运算律 【例1】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【例2】（多选）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）对于空间向量，，和实数，下列命题中是假命题的是（   ） A．若，则或. B．若，则或. C．右则或 D．若，则 【变式1-3】设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 知识点4向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 重难点二、求向量的模 【例3】设，为单位向量，已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【例4】已知，，，则 ． 【变式2-1】已知平面向量，，满足，，，，则 . 【变式2-2】已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【变式2-3】已知向量，满足，则（   ） A． B． C．2 D． 重难点三、已知模求参数 【例5】已知向量满足，则与的夹角为 ． 【例6】设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【变式3-2】已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 【变式3-3】已知向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 重难点四、向量的垂直问题 【例7】设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】已知单位向量与的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式4-1】已知 是单位向量，，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式4-2】已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】是所在平面上一点满足的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 重难点五、求向量的夹角 【例9】设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例10】设，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点5向量的投影 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 重难点六、向量的投影向量 【例11】已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例12】已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式6-1】向量，与非零向量的夹角为，则在上的投影向量的模长为（   ） A． B． C．1 D． 【变式6-2】设向量与满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C． D． 重难点七、平面几何与数量积运算 【例13】已知点为三角形的外接圆圆心，，则（    ） A． B． C．2 D． 【例14】如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记. (1)求的值； (2)若，求的值. 【变式7-1】如图，在平面四边形中，若，，则 . 【变式7-2】在四边形中，设向量，，，，且．求证：四边形是矩形． 【变式7-3】（多选）如图1，甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形和四边形均为正方形，且为的中点，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 重难点八、数量积的最值问题 【例15】如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 ． 【例16】如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【变式8-1】已知单位向量，满足，则的最小值为 . 【变式8-2】已知． (1)求； (2)若，求的最小值． 【变式8-3】如图，在平行四边形中，，，，点，，分别在边，，上，且，，．    (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 一、单选题 1．若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 3．已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 二、多选题 7．下列有关向量命题，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若， 则 8．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 三、解答题 9．已知向量，满足，且，则 ． 10．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 11．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 . 四、解答题 12．已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 13．已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 14．在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$