高一第二学期期末考试01（考试范围：三角函数+向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率）-2024-2025年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

高一第二学期期末考试01 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（三角函数+向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 2．如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】A 【详解】将伊丽莎白圈看作上下均无底盖的圆台， 则制作该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积， 圆台的侧面积， 因为每平方分米需要消耗5克涂层材料， 所以制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料克． 故选：A． 3．一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（    ） A．84 B．85 C．86 D．88 【答案】B 【详解】给定的数据为78，70，72，79，80，84，86，88，81，94，排序后为70，72，78，79，80，81，84，86，88，94. 已知数据个数，，根据公式. 当是整数时，第百分位数是第项与第项数据的平均值. 这里是整数，所以第70百分位数是第项和第项数据的平均值，即. 这组数据的第70百分位数是85. 故选：B. 4．热干面最早起源于20世纪初的武汉，由街头小摊贩开始流行.最初被称作“红油胡麻汁面”，清朝时成为武汉受欢迎的风味小吃.热干面是武汉人生活中不可或缺的一部分，代表着武汉独特的饮食文化和生活态度.某商家为了调研顾客对本店热干面的满意度，从吃过该店热干面的顾客中随机抽取100名进行评分.整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B． C．这100名顾客评分的中位数小于80分 D．这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间 【答案】B 【详解】由频率分布直方图，这100名顾客评分的极差最小不低于，最大不高于，A错误； 由，解得，B正确； 顾客评分不低于80的人数为，所以顾客评分的中位数不低于80，C错误； 100名顾客评分的平均值为，D错误. 故选：B. 5．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】C 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 6．已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】 如图所示，设中点为， 由，则， 即， 又过点作直线分别与、交于点、， 设， 则， 所以，即， 又，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 7．若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 【答案】C 【详解】B选项，由图易得：， 又因为图像过点，所以，，得或 又因为该点位于单调递增区间，所以，所以，B对 A选项，因为图像过，即，，， 设函数最小正周期为，则由图得，即，故， 又，所以只有当时，满足要求，A对 C选项，，令， 解得， 故单调递增区间为，，C错 D选项，时，， 又，关于对称， 所以，解得 ，D对 故选：C 8．在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】BD 【详解】由，得， 所以， 复数的虚部等于，故A不正确； ，故B正确； ，故C不正确； ，由是纯虚数，是实数，得，即，故D正确. 故选：BD. 10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为，共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为，共4个，概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误. 故选：AC 11．已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，在的值域为 C．的取值范围为 D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A，因为为偶函数， 所以，又，则，故A正确； 对于B，若，， 当时，， 则，故B错误； 对于C， 所以， 由知， 因为在上单调递增，故， 解得，由可得， 由可得，故，又，所以，故C正确； 对于D，，时，， 而，则，， 即，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为 . 【答案】 【详解】根据题意新数据的平均数为， 设其方差为， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 因为， 所以，， 记的中点为，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 由，得，所以为等边三角形， 把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上， 连接交于点，则，如图所示， 则的最小值为平面内的长度，所以 ， 所以，即的最小值为． 故答案为： 14．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 【答案】 【详解】在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点， 由平面平面，平面平面， 平面平面，得，由为的中点，得为的中点， 设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点， 连接交棱于点，连接、，则截面为六边形， 由，为中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． （2）解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16．某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 高一女生身高样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 高一男生身高样本的频率分布直方图 (1)求的值．并利用高一男生身高频率分布直方图来估计男生样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）； (2)若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求高一年级学生身高的样本平均数和方差． 【答案】(1)； (2)平均数为；方差为 【详解】（1）高一女生身高的样本容量为，则， 由，解得， 由频率分布直方图可得，解得， 由题意可得 ， 故高一男生身高的平均数估计值为. （2）由女生样本的频率分布表可知，高一女生身高的平均数为 ， 所以高一年级学生的样本身高平均数为， 高一年级学生的样本身高方差为. 17．在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【详解】（1）由， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以， 所以. 18．如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，且． (1)若平面与平面的交线为，证明：平面； (2)求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接．∵，四边形为平行四边形，． 平面平面，平面． 平面，平面平面，． 四边形为平行四边形，四边形为菱形，． 由题意知，， ,． ． 平面平面． 平面． 平面平面． （2）如图，过点作，垂足为，连接．取的中点，连接． 由（1）知，平面，平面． 可知四边形和四边形都是矩形，． 在和中，， ，． ． ，，， 为二面角的平面角． ，四边形是正方形，． 在中，． ，， ． 在中，由余弦定理，得， 平面与平面的夹角为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内， 满足，且，如图：    过作于，则，，， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）由正弦定理得，而，， 则，即，得，则的三个角都小于， 由费马点定义知，， 设，， 由得：， 整理得，则 ． （ii）由（i）知，点在内部，且，    设，， 则， 由余弦定理得，， ， ， 而，即， 整理得，即，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二学期期末考试01 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（三角函数+向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．3 D．5 2．如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 3．一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（    ） A．84 B．85 C．86 D．88 4．热干面最早起源于20世纪初的武汉，由街头小摊贩开始流行.最初被称作“红油胡麻汁面”，清朝时成为武汉受欢迎的风味小吃.热干面是武汉人生活中不可或缺的一部分，代表着武汉独特的饮食文化和生活态度.某商家为了调研顾客对本店热干面的满意度，从吃过该店热干面的顾客中随机抽取100名进行评分.整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B． C．这100名顾客评分的中位数小于80分 D．这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间 5．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 6．已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 7．若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 8．在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 11．已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，在的值域为 C．的取值范围为 D．函数在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为 . 13．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为 ． 14．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16．某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 高一女生身高样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 12 0.30 2 0.05 高一男生身高样本的频率分布直方图 (1)求的值．并利用高一男生身高频率分布直方图来估计男生样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）； (2)若女生身高的样本方差为70.4，男生身高的样本方差为89，请根据题目图表所给信息，求高一年级学生身高的样本平均数和方差． 17．在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 18．如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，且． (1)若平面与平面的交线为，证明：平面； (2)求平面与平面的夹角． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$