高一第二学期期末考试02（考试范围：向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率）-2024-2025年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册） - 副本

高一第二学期期末考试02 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故复数的虚部为. 故选：C. 2．某人在一次考试中每门课得分如下：则数据的第百分位数为（  ） A．87.5 B．85 C．90 D．100 【答案】C 【详解】把以上六个数据按从小到大排列：， 由，所以取第5个数作为第75百分位数，即90， 故选：C. 3．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，圆台体积， 如图所示，设圆台较大的底面半径为，则较小的底面半径为， 于是，解得， 过点B作，垂足为，由圆台的结构特征得底面， 母线， 圆台表面积. 故选：B 4．为了了解某小区居民月用电情况，供电部门从该小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，统计他们的月用电量（单位：kW·h），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间）. 用样本估计总体，则下列说法中正确的个数是（    ） ①本小区居民月用电量的分位数不小于200kW·h；②本小区居民月用电量的平均数位于中；③本小区居民月用电量的众数为225kW·h；④本小区居民月用电量的极差位于中. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意各区间的频率分别为：. 计算前四个区间频率和为， 前三个区间频率和为， 则分位数在，即本小区居民月用电量的分位数不小于200kW·h，故①正确； kW·h，故②正确； 由图可知，本小区居民月用电量的众数为kW·h，故③错误； 由，可知，本小区居民月用电量的极差位于中，故④正确； 故选：C 5．已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以， 又，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， 所以， 所以为锐角， 所以， 所以 ， 又，所以. 故选：C 6．已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 【答案】A 【详解】由题意得，， 则新数据的方差 ， 故选：A． 7．如图，已知四边形是矩形，沿直线将翻折成，则异面直线与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接与交于点， 由，可知， 设点在平面内的射影为， 连接，因为，所以， 所以点为的外心，可得， 因为，， 又由平面平面，所以是直线与平面所成的角， 又因为与不共线，所以，即， 所以. 故选：B. 8．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得，而， 因此，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值6. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知复数，则（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．的虚部与的虚部之和为3 【答案】ABD 【详解】由题意得，，，所以，故A正确； 因为，其对应点位于第三象限，故B正确； 因为，故C错误； 的虚部为2，的虚部为1，虚部和为3，故D正确； 故选：ABD. 10．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数小于，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与互斥 【答案】BC 【详解】根据题意，抛掷两次，其样本空间共有36个样本点． 事件的样本空间，有18个样本点； 事件的样本空间有9个样本点，错误； 正确： ，正确； 事件与事件能同时发生，所以不互斥，D错误， 故选：BC． 11．已知平面向量为非零向量，且满足，则（    ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由， 若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示， 由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0， 所以，A对； 当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对； 如图，若轴，由， 显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而， 所以的取值范围是，C错； 如图，若是中点，则，则， 显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则， 所以，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知平面向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，所以． 故答案为：. 13．如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ． 【答案】 【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点，连接， 由为的中点，得，四边形为平行四边形， 则，又，则四边形是平行四边形， ，于是，四边形是平行四边形， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 又平面，P在正方体表面上移动，于是点的轨迹是与正方体的交线， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 14．已知11名学生在“一带一路”知识竞赛中的成绩的平均值为60，方差为30，则这11名学生成绩的中位数的最大值为 . 【答案】65 【详解】设这11名学生的成绩分别为，且，的平均值为， 方差为的平均值为，方差为， 依题意，，解得，由分层随机抽样的方差公式知 ， 于是，整理得，得， 当，时，取到65， 所以这11名学生成绩的中位数的最大值为65. 故答案为：65 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意得，， ∵是纯虚数， ∴，， ∴， ∴； （2）由（1）得，代入得 ， ∴， ∴， ∴. 16．某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，. (1)求B； (2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2)3 (3) 【详解】（1）由题可得， ∴，∵，∴. （2）D为线段BC上一点，且满足，， ∴为等边三角形， ∴. 设，在中，， 即， 整理得：，解得或（舍），即. （3）在△ABC中，，由正弦定理得： ， 于是得. 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，， 从而得， 所以△ABC面积的取值范围是. 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， (1)求证：平面； (2)若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； (3)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面. （2）取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又因为矩形，所以，，且是中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （3）由（1）可知平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面平面， 因为为等边三角形， 所以，平面， 所以平面， 连接，所以是直线与平面所成角， 在矩形中，， 在正中，， 所以， 因为， 因此， 即直线与平面所成角为 19．设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上. (1)若是的中点，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，由点对施以视角运算， 求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 由定义可知：， 在三角形中，，即， 在三角形中，，即， 因为是的中点，且，所以 （2）因为点在射线上，，且， 所以在线段外，且， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去），所以， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二学期期末考试02 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．某人在一次考试中每门课得分如下：则数据的第百分位数为（  ） A．87.5 B．85 C．90 D．100 3．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．为了了解某小区居民月用电情况，供电部门从该小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，统计他们的月用电量（单位：kW·h），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间）. 用样本估计总体，则下列说法中正确的个数是（    ） ①本小区居民月用电量的分位数不小于200kW·h；②本小区居民月用电量的平均数位于中；③本小区居民月用电量的众数为225kW·h；④本小区居民月用电量的极差位于中. A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（    ） A． B． C． D． 6．已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（   ） A． B．2 C． D．18 7．如图，已知四边形是矩形，沿直线将翻折成，则异面直线与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知复数，则（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．的虚部与的虚部之和为3 10．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数小于，则（    ） A． B． C．与相互独立 D．与互斥 11．已知平面向量为非零向量，且满足，则（    ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知平面向量，若，则 ． 13．如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ． 14．已知11名学生在“一带一路”知识竞赛中的成绩的平均值为60，方差为30，则这11名学生成绩的中位数的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 16．某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，. (1)求B； (2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， (1)求证：平面； (2)若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； (3)设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 19．设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上. (1)若是的中点，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，由点对施以视角运算， 求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$