精品解析：浙江省杭州市上城区2024-2025学年九年级上学期期末试卷数学试题

2024学年第一学期学业水平监测 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中是不可能事件的是（ ） A. 抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B. 今天杭州市最高气温为108℃ C. 任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目 D. 一个三角形三个内角的和等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义逐项分析即可． 【详解】解：A. 抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意； B. 今天杭州市最高气温为108℃是不可能事件，故该选项符合题意； C. 任意选择某一电视频道，它正在播放体育节目，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 一个三角形三个内角和等于，是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，用表示是关键． 根据等式的性质，用表示，再利用分式的性质化简即可． 【详解】解：由得， ∴． 故选A． 3. 如图，是的圆周角，若则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出的度数，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴， ∵， ∴； 故选A． 4. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”概率（精确到0.01）大约是（ ） A. 0.80 B. 0.79 C. 0.78 D. 0.77 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”概率（精确到0.01）大约是0.78； 故选C． 5. 如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4．5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再得到，，求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 即， 解得， 故答案为：C． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，位似比等于相似比，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积比是； 故选D． 7. 如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握旋转的性质是解题关键．旋转得到，等边对等角，求出的度数，三角形的外角，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线图象的性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为轴， 又， ∴必在抛物线L上的是， 故选：D． 9. 如图，四边形内接于，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，平行线的性质，得到，圆内接四边形的性质，得到，等量代换即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10. 已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，根据抛物线的轴对称性分类求解是解题的关键．由题意知，抛物线经过两个定点，，所以对称轴为直线，分和两种情况讨论，利用轴对称性，结合，，中有且只有两个是正数，分别求出a的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：当和时, ， 抛物线的对称轴是直线， 当时，抛物线开口向上， ， ，， ， 即， ， 没有符合的选项； 当时，抛物线开口向下， ， ，， ， 解得， 符合题意； 综上所述，符合题意． 故选：B． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算公式，正确理解概率的计算公式是解题的关键．根据题意，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，运用公式计算，即得答案． 【详解】在如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，所以指针落在偶数的概率是． 故答案为：． 12. 将向左平移2个单位，所得的函数表达式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移2个单位，得到：， 故答案为：． 13. 已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握比例中项是解题的关键．根据题意得出，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， ∴（负值舍去） 故答案为：． 14. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴是直线，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象轴上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：∵对称轴是直线，抛物线与轴交于点， ∴抛物线与轴另一个交点为， 根据图象得，当时，， 故答案为：． 15. 用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：， ∵， ∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角， ∴用记号表示为：； 故答案为：． 16. 如图，是的直径，点在上，，，为上任意一点，连接，，，若与的一边相等，则的长为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分，，三种情况进行讨论求解，当时，圆周角定理结合勾股定理求出的长，过点作，垂径定理结合锐角三角函数进行求解，当时，连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理结合勾股定理进行求解，当时，连接，交于点，利用勾股定理结合相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：①当时，则：， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴，即：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接，取的中点，连接，则：，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：为等腰直角三角形， ∴， 连接，交于点，由②知， ∵，， ∴， ∴， ∴设，， ∴， 在中，，即：， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧，弦，角之间的关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大． 【答案】（1） （2），当时，随的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题： （1）令，进行求解即可； （2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可． 【小问1详解】 解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 18. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，，然后由得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵在矩形中，，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 19. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，求弧长，求扇形面积； （1）连接，根据等边三角形的性质可得，，证明是等边三角形，进而得出，然后根据弧长公式进行计算即可求解； （2）连接，过点作于点，由（1）得是等边三角形，由等边三角形的性质求得的长，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵以等边三角形的边为直径作半圆，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作于点， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 20. 甲队参加某次足球邀请赛，积分计算规则如下：每场比赛获胜的球队积3分，失利的球队积0分，平局则两队各积1分． （1）若甲队第一场比赛获胜，请写出第二场比赛后，甲队两场比赛总积分所有可能的结果； （2）请列表或用树状图分析，甲队两场比赛后总积分为4分的概率． 【答案】（1）甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分 （2） 【解析】 【分析】本题考查列举法，列表法求概率： （1）列举法进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：甲队第一场比赛获胜，积3分； 若第二场比赛获胜，甲队总积分为分； 若第二场比赛打平，甲队总积分为分； 若第二场比赛失利，甲队总积分为分； 综上：甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分； 【小问2详解】 由题意，列表如下： 0 1 3 0 0 1 3 1 1 2 4 3 3 4 6 共9种等可能的结果，其中结果为4分的情况有2种， ∴． 21. 如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为． （1）求关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，四边形的面积有最小值 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积列出函数关系式； （2）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设的长度为，四边形的面积为． ∴ ∵正方形的边长为4，，， ∴，， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，即时，有最小值，最小值为 答：时，四边形的面积有最小值． 22. 如图，为的边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）将乘积式转化为比例式，根据相似三角形的判定即可证明； （2）先求出，再根据相似三角形性质得到，最后根据勾股定理，即可求得答案； （3）设，，列出方程并求解，得到，再根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设，， 则， 整理得 解得或（不合题意，舍去）， 即， ， ． 23. 已知二次函数（其中，为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点，求的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把，代入函数解析式，进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 把代入，得：， ∴， ∴， ∴或； 【小问3详解】 ∵，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵对于，，总有， ∴， ∴． 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． （1）求证：； （2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论； （3）根据（2）结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，弦 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即是等腰三角形 【小问3详解】 解：连接， 由（2）可得，又 ∴垂直平分， ∴， 又∵是的直径，弦，则垂直平分 ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴ 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期学业水平监测 九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中是不可能事件的是（ ） A. 抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B. 今天杭州市最高气温为108℃ C. 任意选择某一电视频道，它正播放体育节目 D. 一个三角形三个内角的和等于 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 3. 如图，是的圆周角，若则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ） A. 0.80 B. 0.79 C. 0.78 D. 0.77 5. 如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 4．5 D. 6 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ） A B. C. 1 D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是________． 12. 将向左平移2个单位，所得的函数表达式为________． 13. 已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为________． 14. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴是直线，当时，的取值范围是_________． 15. 用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示________．（写出一种即可） 16. 如图，是的直径，点在上，，，为上任意一点，连接，，，若与的一边相等，则的长为________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大． 18. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 19. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 20. 甲队参加某次足球邀请赛，积分计算规则如下：每场比赛获胜的球队积3分，失利的球队积0分，平局则两队各积1分． （1）若甲队第一场比赛获胜，请写出第二场比赛后，甲队两场比赛总积分所有可能的结果； （2）请列表或用树状图分析，甲队两场比赛后总积分为4分的概率． 21. 如图，正方形边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为． （1）求关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由． 22. 如图，为的边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长； （3）若，求的值． 23. 已知二次函数（其中，为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点，求的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围． 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． （1）求证：； （2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $