第7章 一元一次不等式与不等式组 小结与评价 课件-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

第7章 一元一次不等式与不等式组 沪科版·七年级下册 小结与评价 知识体系 一元一次不等式与不等式组 不等式 一元一次不等式 一元一次不等式组 不等式的基本性质 回顾与思考 1.不等式的定义： 用不等号（＞、≥、＜、≤ 或 ≠ ）表示不等关系的式子叫作不等式. 特别提醒: 1.不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换. 2.判断一个式子是否为不等式，关键看这个式子是否含有不等号. 一、不等式 2.不等式的基本性质： 性质 1 不等式的两边都加上( 或减去 ) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 即 如果 a ＞b，那么 a + c ＞ b + c，a – c ＞ b – c . 性质 2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 即 如果 a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， . 性质 3 不等式的两边都乘以 (或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 即 如果a ＞ b， c ＜ 0，那么ac ＜ bc， . 性质 4 如果 a ＞ b，那么 b ＜ a. 性质 5 如果 a ＞ b，b > c ，那么 a > c. 1.已知 a > b，用“>”或“<”填空. a + 3______b + 3 -2a + 1______-2b + 1 > < < 针对训练 2. 如果 a＞b，下列不等式中，不成立的是（ ） A. a-3＞b-3 B. C. -2a＜-2b D. -2a＞-2b D 3. 若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a-1＞b-1 B. a-b＜0 C. ma＜mb D. -a＜-b B 1.一元一次不等式的定义： 二、一元一次不等式 含有一个未知数，未知数的次数是 1 且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式. 一元一次不等式与一元一次方程的异同： 相同点 不同点 一元一次不等式 一元一次方程 (1)都只含有一个未知数； (2)含未知数的项的次数都为1； (3)不等号或等号的左右两边都是整式. 用不等号连接 用等号连接 解一元一次不等式，就是根据不等式的基本性和运算律， 通过__________、__________、 __________、__________、 _____________等步骤，即将原不等式变形为不等式ax>b(a≠0)的形式，再在不等式两边同除以未知数的系数a，从而得到不等式的解集x________(当a>0时)[或x________(当a<0时)]. 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 2. 解一元一次不等式 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 区 别 定义 特点 形式 联 系 使不等式成立的未知数的值 使不等式成立的所有未知数的值 个体 全体 如：7是x+1>5的一个解 如：x > 4是 x+1>5 的解集 所有的解组成解集，解集包含所有的解 1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) 12 – 4(3x-1) ≤ 2(2x-16)； 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 -2 -3 -1 0 1 2 3 4 解： 在数轴上表示不等式的解集，如图 去括号，得 12-12x + 4 ≤ 4x - 32 -12x - 4x ≤ -32-12-4 -16x ≤ -48 x ≥ 3 针对训练 (2) 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 -2 -3 -1 0 1 2 3 4 解： 在数轴上表示不等式的解集，如图 4(2x-1) - 6(3x-1) ≥ 5 去括号，得 8x - 4 - 18x + 6 ≥ 5 8x - 18x ≥ 5 +4 - 6 -10x ≥ 3 3. 若代数式 的值不大于代数式 5k – 1 的值，则 k 的取值范围是 ________. 2. 若不等式 3x – m ≤ 0 的正整数解是 1，2，3，则 m 的取值范围是________________. 9 ≤ m < 12 k ≥ 4. 如果不等式 4x – 3a > – 1 与不等式 2(x-1)+ 3 > 5 的解集相同，请确定 a 的值. 解得 4x – 3a > – 1， 解： 解得 2(x-1)+ 3 > 5， 解得 x > 2， 由于两个不等式的解集相同， a = 3. 5. 关于 x 的一元一次方程 4x + m + 1 = 3x – 1 的解是负数，求 m 的取值范围. 4x + m +1 = 3x – 1 解： 解得 x = -m – 2 由题意知 -m – 2 < 0 解得 m > -2 三、一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组. 特别提醒: 一元一次不等式组需满足的条件： ① 组成不等式组的每个不等式都是一元一次不等式； ② 不等式组中只含有同一个未知数. 可以是两个，也可以是两个以上 1.不等式组的定义： 2.解不等式组是求不等式组________的过程. 假设a > b， (1) 不等式组 的解集为_________； x > a x > b (2) 不等式组 的解集为_________； x < a x < b (3) 不等式组 的解集为_________； x < a x > b (4) 不等式组 的解集为_________； x > a x < b 解集 x ＞ a x ＜ b b＜ x＜ a 无解 a b a b a b a b 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 x＞b x＜a a＜x＜b 无解 (1) 3(x-1)+1>5x-2(1-x) ① 5-(2x-1) < -6x ② 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上分别表示这两个不等式的解集(如图) x < 0 解： -3 -2 0 2 1 -1 3 不等式组的解集是 . 解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： 针对训练 -3(x-2) ≥ 4-x； (2) ① ② 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上分别表示这两个不等式的解集(如图) x ≤ 1 解： x < 4 0 2 1 -1 3 4 不等式组的解集是x ≤ 1 . 不等式(组)是反映现实世界数量之间不等关系的一个数学模型，建立不等式(组)模型解决实际问题的关键是: (1) 分析问题中有哪些数量； (2) 分析这些数量间的关系； (3) 建立不等式(组)模型. 四、一元一次不等式(组)的应用 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量； 列：根据题中不等关系，列出一元一次不等式； 设：设出适当的未知数； 01 02 03 解：求出一元一次不等式的解集； 验：检验答案是否符合实际意义； 04 05 06 答：写出答语. 特别提醒：常见的不等式基本语言与符号表示： 基本语言 符号表示 基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a ≥ 0 a是非正数 a ≤ 0 a大于b a＞b a小于b a＜b a不小于b a ≥ b a不大于b a ≤ b a, b同号 ab＞0或 a, b异号 ab＜0或 超过 ＞ 不足 ＜ 老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了 2 只，老李养兔数比买入种兔数的 2 倍少 1 只，老张养兔数不超过老李养兔数的 ，一年前老张至少买了多少只种兔？ 解： 设 一年前老张买了x只种兔，由题意，得 解得： x ≥ 8 答：一年前老张至少买了8只种兔. 针对训练 自评与互评 1.解一元一次不等式(组)过程中，有哪些需要注意的问题？与同学们分享. 2. 方程和不等式都是描述现实生活中数量关系的重要模型，你能说说两者的相同点与不同点吗? 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 在不等式的两边同时乘分母的最小公倍数. 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 把含有未知数的项移到不等式的一边，其他的项移到不等式的另一边. 把不等式化为ax＞b或ax＜b的形式. 根据不等式的性质2、3，将未知数的系数化为1. (1)不要漏乘不含分母的项； (2)分子是一个整体，要加上括号. (1)不要漏乘括号里的项； (2)不要弄错符号. (1)移项要变号； (2)不要丢项. 字母及其指数不变. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向. 解一元一次不等式的步骤 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 解法步骤 不同点 依据 解的个数 解(集)的形式 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1(解不等式时，去分母、系数化为1时，若两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变) 不等式的性质 等式的性质 有无数个解 只有一个解 x < a (x ≤ a)或 x >a (x ≥ a) x = a $$