7.1 不等式及其基本性质 第1课时 课件-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

第7章 一元一次不等式与不等式组 7.1 不等式及其基本性质 沪科版·七年级下册 第1课时 不等式及其解集 x + 2 = 4 x + y = 4 x - y = 3 从 1+1=2 到一元一次方程再到二元一次方程组，在前面的学习中我们接触更多的是相等关系. 新课导入 然而在生活中存在着众多的不等关系. 例如物体不同的长度、人的身高体重，奔跑速度的快慢也是不相同的. 谁长谁短 谁重谁轻 谁快谁慢 如何描述这些关系呢？ (1) a 与 b 的差是负数. ____________ (2) x 的 5 倍与 1 的差大于 x 的 3 倍. __________ (3) 2x 与 3 的和不大于5. __________ 用适当的式子表示下列关系： 问 题 1 a – b < 0 5x – 1 > 3x 2x + 3 ≤ 5 不大于，即小于或等于，用“≤”表示；不小于，即大于或等于，用“≥”表示. 探究一 不等式的意义 新课探究 闪电的温度大约是28 000℃，比太阳表面的温度的4.5倍还要高. 设太阳表面温度为t ℃，那么 t 应满足的关系式是____________________. 问 题 2 4.5 t < 28 000 问 题 3 某种药品每片 0.25 g，说明书上写着：“每日用量0.75 ~ 2.25 g(包括0.75 g和2.25 g)，分 3 次服用”. 设某人一次服用 x 片，那么 x 应满足的关系式是________________________. 0.75 ≤ 0.25x ×3 ≤ 2.25 a – b < 0 5x – 1 > 3x 4.5 t < 28 000 2x + 3 ≤ 5 0.75 ≤ 0.25x ×3 ≤ 2.25 用不等号（＞、≥、＜、≤ 或 ≠ ）表示不等关系的式子叫作不等式. 特别提醒: 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换. 归纳总结 跟踪训练 1.下列式子：① -2 > 0；② 4x + y < 1；③ x + 3 = 0 ；④ y – 7 ；⑤ m - 2.5 ≤ 3 ；⑥ x ≠ -3.其中是不等式的有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 C ① a 与 5 的和小于 7 ② a 的 4 倍大于 8； ③ a 的一半小于3. 2.用不等式表示下列数量关系. ① a + 5 < 7； ② 4a > 8； ③ a < 3. 列不等式的基本步骤: ① 认真审题，找出问题中要对比的量，并能用代数式表示出来； ② 找出问题中表示不等关系的关键词，并用不等号将具有不等关系的量连接起来. 知识点睛 基本语言 符号表示 a 是正数 a 是非负数 a 大于b a 不小于b a、b 同号 常用的不等式基本语言与符号表示: a > 0 a ≥ 0 a > b a ≥ b ab > 0 (或 ) 基本语言 符号表示 a 是负数 a 是非正数 a 小于b a 不大于b a、b 异号 a < 0 a ≤ 0 a < b a ≤ b ab < 0 (或 ) 观察下面的不等式，说说你的发现. 1 < 2 -3 > -4 5x – 1 > 3x 2x + 3 ≤ 5 t – 2 ≥ 3t - 1 6 > -6 不含未知数： 含有未知数： 1 < 2 -3 > -4 6 > -6 5x – 1 > 3x 2x + 3 ≤ 5 t – 2 ≥ 3t - 1 探究二 不等式的解与解集 不等式中可以含未知数也可以不含未知数. 2x + 3 ≤ 5 x取值 2x+3的值 0 2x + 3 = 2×0 + 3 = 3 < 5 1 2x + 3 = 2×1 + 3 = 5 = 5 2 2x + 3 = 2×2 + 3 = 7 > 5 当 x 取某些值(如 0，1)时，不等式 2x + 3 ≤ 5 成立. 当 x 取另外一些值(如 2)时，不等式 2x + 3 ≤ 5 不成立. 思考1 判断下列给出的数中哪些能使2x + 3 ≤ 5 成立： -1，0.5，1.5，-2 当x = -1 时 2x + 3 = 2×(-1) +3 = 1 <5 成立 当x = 0.5时 2x + 3 = 2×0.5 +3 = 4 <5 成立 当x = 1.5时 2x + 3 = 2×1.5 +3 = 6 > 5 不成立 当x = -2时 2x + 3 = 2×(-2) +3 = -1 <5 成立 思考2 你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？找出后在数轴上标出来，你有什么发现？ x取值 2x + 3 的值 -0.5 2x + 3 = 2×(-0.5) + 3 = 2 < 5 -2.5 2x + 3 = 2×(-2.5) + 3 = -2 < 5 -3 2x + 3 = 2×(-3) + 3 = -3 < 5 -4 -5 2x + 3 = 2×(-4) + 3 = -5 < 5 2x + 3 = 2×(-5) + 3 = -7 < 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5 -2.5 -3 -4 -5 所有的数都不大于1 一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解. 所有这些解的全体称为这个不等式的解集. 归纳总结 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 区 别 定义 特点 形式 联 系 使不等式成立的未知数的值 使不等式成立的所有未知数的值 个体 全体 如：7是x+1>5的一个解 如：x > 4是 x+1>5 的解集 所有的解组成解集，解集包含所有的解 探究三 用数轴表示不等式的解集 如何在数轴上表示出不等式 2x + 3 ≤ 5的解集 x ≤ 1？ 首先在数轴上标出表示1的点A -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 A 画数轴 1 定边界 2 定方向 3 由于数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，所以图中阴影部分即为不等式的解集. 实心圆表示解集包括1 若解集不包括1则表示为空心圆 利用数轴表示下列不等式的解集. (1) x > -5 (2) x ≤ -2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 (1) (2) 表示-5的点 空心表示不含该点 方向向右 表示-2的点 实心表示包含该点 方向向左 跟踪训练 练习 1. 分别求 t 满足的数量关系: (1) 甲市某天最低气温为 -1 ℃，最高气温为 5 ℃，设该市这天某一时刻的气温为 t ℃； (2)某段长为30km的公路AB对行驶汽车限速为(不超过)60km/h，一辆汽车从A到B的行驶时间为t h. – 1 ≤ t ≤ 5 解： (1) (2) 【教材 P29 练习 第1题】 2. 在 1，4， ，-2，7， ， 这些数中，哪些是不等式 2x – 5 < 1 的解？ 解： 当x = 1 时 2x - 5 = 2×1 - 5 = -3 < 1 成立 当x = 4 时 2x - 5 = 2×4 - 5 = 3 > 1 不成立 成立 当x = 时 2x - 5 = 2× - 5 < 1 当x = -2 时 2x - 5 = 2×(-2) - 5 = -9 < 1 成立 当x = 7 时 2x - 5 = 2×7 - 5 = 9 > 1 不成立 成立 当x = 时 2x - 5 = 2× - 5 = -2< 1 当x = 时 2x - 5 = 2× - 5 > 1 不成立 所以 1、 、– 2、 是2x – 5 < 1的解. 【教材 P29 练习 第2题】 3. 用含 x 的不等式表示下图数轴中所表示的不等式的解集： -1 0 1 2 3 4 5 (1) -1 0 1 2 3 4 (2) (1) x > 0 解： (2) x ≤ 3 【教材 P29 练习 第3题】 用不等号（＞、≥、＜、≤ 或 ≠ ）表示不等关系的式子叫作不等式. 一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. 所有这些解的全体称为这个不等式的解集. 课堂小结 不等式的解集表示方法：代数形式表示、数轴表示 $$