精品解析：安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年九年级上学期期末调研数学试卷

2024-2025合肥市第四十五中学九年级数学期末调研试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 8. 如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点，若，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为1 C. 面积的最大值是 D. 的最小值是3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 13. 如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为__________°． 14. 已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点． （1）若，，则的值为__________； （2）在（1）的条件下的值为__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． （1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标． （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 18. 如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且．求证：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为． （1）求的值； （2）连接并延长，交轴于点，求点的坐标； （3）连接，求的面积． 20. 如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：点是弧的中点； （2）若，，求的长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） （1）求的面积（结果精确到平方千米）； （2）求的长度（结果精确到千米）． 七、解答题（本题满分12分） 22. 项目化学习 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价． 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系．吴山贡鹅源于唐朝乾符年间，已有千年历史．唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下．某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为元千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 贡鹅销售单价（元千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量（千克）是吴山贡鹅的销售单价（元千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； （2）吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润（元）最大，并求出最大利润． 八、解答题（本题满分14分） 23. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025合肥市第四十五中学九年级数学期末调研试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为，开口向上，开口向下；对称轴为：，最值为．据此解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 2. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键． 轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质分别判断即可，熟练掌握比例的性质是关键． 【详解】解：A．∵，∴，故选项说法错误，不符合题意； B．∵，∴，故选项说法正确，符合题意； C．∵，∴，故选项说法错误，不符合题意； D．∵，∴，故选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 5. 已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为是解题的关键．根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，不可能是一次函数关系，可能是二次函数关系，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为，故可能是反比例函数关系，故②正确； 故选：C． 6. 如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长． 【详解】解：由图可知： AB==， ∵BC=， ∴AC=AB-BC==， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长． 7. 如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（ ） A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由的面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于M， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∵的面积为12， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 8. 如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦， ， 圆的半径为5，， ， ， 过的最长的弦是圆的直径是10， 经过点的弦的长， 经过点的弦的长度不可能是7． 故选：A． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，先证明为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，即为直角三角形， ∴， 故选：D． 10. 如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点，若，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为1 C. 面积的最大值是 D. 的最小值是3 【答案】D 【解析】 【分析】先证明是等边三角形；得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据，为定值，得出当最小时，最大，根据时，最小，此时最大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据，得出，说明当最小时，面积最大，根据为等边三角形，得出当边长最小时，面积最小，求出的最小值为，最后求出结果即可判断C选项；设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3，即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， 根据勾股定理得：， ∴的最小值为，故A正确，不符合题意； ∵，为定值， ∴当最小时，最大， 当时，最小，此时最大， ∵是等边三角形， ∴当时，，， ∴， ∴此时平分， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴此时， ∴， ∴此时， 根据勾股定理得：， ∴此时， 即的最大值为1，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，面积最大， ∵为等边三角形， ∴当边长最小时，面积最小， ∵的最小值为，此时上的高为3， ∴的最小值为， ∴面积的最大值为，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 设，， ∴ ， ∴当时，取最大值， ∴此时， ∴此时， ∵为等边三角形， ∴此时，， ∴此时， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴此时， ∴， ∴， 即的最大值为3，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在中半径互相垂直，点在劣弧上．若，则为__________°． 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为29． 14. 已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点． （1）若，，则的值为__________； （2）在（1）的条件下的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，进而可得，，由此即可求出的值； （2）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，于是可得直线的解析式为，设，则有，解方程即可求得，过点作轴于点，则，由垂直于同一直线的两直线平行可得轴，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）可得，且，于是得解． 【详解】解：（1），， 二次函数的解析式为，点的横坐标是， 当时，， ， 轴于点，轴于点， ，， ，， ， 故答案为：； （2），， 二次函数的解析式为，点的横坐标是， 当时，， ， 轴于点，轴于点， ，， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 与抛物线交于点， 设，则有： ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 如图，过点作轴于点， ， 轴，轴轴， 轴， ， 由（1）可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，公式法解一元二次方程，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值运算即可． 【详解】解： ． 16. 已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式． 【答案】y=-x2+4x-3 【解析】 【详解】试题分析：根据题意设出抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐标代入，利用待定系数法求得即可． 试题解析：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+k.把A(1,0),B(0,−3)的坐标代入,得 解得. ∴y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3. 即这个二次函数的解析式为y=−x2+4x−3. 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． （1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标． （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】（1） 解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为 ； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）． （1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标； （2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．先证明，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，推出，再证明，再利用“两组对应的角相等的两个三角形相似”即可得到结论． 【详解】略 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点反比例函数的图象经过，两点，连接，，过点B作轴，交于点，若为的中点，且点坐标为． （1）求的值； （2）连接并延长，交轴于点，求点的坐标； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）8 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法． （1）根据中点坐标求出点C的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）先求出点，再求出直线表达式为：，求出当时，，求出点； （3）根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵点为，是的中点， ∴点为， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵轴，点为， ∴把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：点是弧的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是弧的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理． （1）连接，证明，即可证明点是弧的中点； （2）连接，证明，列出比例式，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴； ∵ ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（舍去）， 故． 六、解答题（本题满分12分） 21. 合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） （1）求的面积（结果精确到平方千米）； （2）求的长度（结果精确到千米）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键． （1）过点作于点，可得，，在中，根据正余弦可求得、的长度，在中，根据等腰直角三角形的性质，可得的长度，进而得出，根据三角形面积公式求得结果； （2）过点作于点，可得，在中，根据正弦可求出，在中，根据正弦求出即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意可得，， 在中，，， 在中，， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，易证， 在中，， 在中，． 七、解答题（本题满分12分） 22. 项目化学习 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价． 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系．吴山贡鹅源于唐朝乾符年间，已有千年历史．唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下．某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为元千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 贡鹅销售单价（元千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量（千克）是吴山贡鹅的销售单价（元千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； （2）吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润（元）最大，并求出最大利润． 【答案】（1）一次；； （2）单价定为元时，每月可获得最大利润元 【解析】 【分析】（）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； （）求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出最值； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数， 设一次函数关系式为， ∴，解得：， ∴一次函数关系式为， 故答案为：一次，； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴图象开口向下， 当时，， 答：当吴山贡鹅单价定为元时，每月可获得最大利润元． 八、解答题（本题满分14分） 23. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）； （2）证明：∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）略 （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $