精品解析：陕西省西安市庆安高级中学2024-2025学年高一上学期期中质量检测考试数学试卷

高一数学期中质量检测考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. p是全称量词命题，且是真命题 B. p是全称量词命题，且是假命题 C. p是存在量词命题，且是真命题 D. p是存在量词命题，且是假命题 3. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某公司研发部的人数比客服部多，客服部的人数比营销部多，且营销部人数的3倍多于研发部的人数，若该公司营销部有5人，则该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是（ ） A. 18 B. 32 C. 25 D. 34 7. 已知函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式的解集是，则__________. 13. 若幂函数是偶函数，则__________. 14. 对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 16. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． （1）分别求函数，的解析式； （2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 17. 已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 18. 已知函数，且，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； （3）若不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）讨论函数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中质量检测考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 2. 若，，则（ ） A. p是全称量词命题，且是真命题 B. p是全称量词命题，且是假命题 C. p是存在量词命题，且是真命题 D. p是存在量词命题，且是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的定义结合一元二次不等式与二次函数、二次方程的关系判定命题真假即可. 【详解】因为， 所以，，则p是全称量词命题，且是真命题. 故选：A 3. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据时，的奇偶性可排除A. 【详解】， 当和时，单调递增，单调递减， 所以在，上单调递减，可排除BC； 当时，，所以图象不关于轴对称，可排除A. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式求函数值即可. 【详解】由，所以. 故选：D 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，， 所以，A选项正确； 对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误. 故选：A. 6. 已知某公司研发部的人数比客服部多，客服部的人数比营销部多，且营销部人数的3倍多于研发部的人数，若该公司营销部有5人，则该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是（ ） A. 18 B. 32 C. 25 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】设研发部有人，客服部有人，依题意列出不等式，求出的最大值即可. 【详解】设研发部有人，客服部有人，则有， 得最大值为14，最大值为13， 该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是. 故选：B. 7. 已知函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解. 【详解】. 因为，， 所以. 故选：C. 8. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件等式得，通过变形配凑，利用基本不等式结合一元二次不等式计算即可. 【详解】因为，所以. 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 即，解得或. 因为，，所以，即的最小值是4. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 10. 命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由存在量词命题为真求出的范围，再利用必要不充分条件的定义求得答案. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 由命题“，”是真命题，得， 显然，，，ABC是； ， D不是. 故选：ABC 11. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数性质和已知等式得出，然后计算判断A，然后根据对称性的概念及性质判断BCD． 【详解】因为，所以.因为是奇函数，所以， 则，所以，则A正确. 因为，即，所以的图象不关于直线对称，则B错误. 因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称， 即是偶函数，则C正确. 因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称， 因为的图象关于直线对称，所以的图象关于点中心对称，则D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式的解集是，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由不等式的解集可知1，2是方程的根，由根与系数的关系可求的值. 【详解】不等式的解集是， ∴有两个根1，2， ∴，∴. 故答案为：3. 13. 若幂函数是偶函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质求出的值. 【详解】依题意，，解得或， 当时，，定义域为， ，函数是偶函数，因此； 当时，，定义域为R，是奇函数，不符合题意， 所以. 故答案为：1 14. 对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设，根据定义有，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】设，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值是4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用交集的定义直接求解. （2）利用补集的定义，结合交集的结果求出的范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，显然，由， 得，解得， 所以a的取值范围是. 16. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． （1）分别求函数，的解析式； （2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】（1），；，. （2）乙购买了2斤大果榛子 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【小问1详解】 根据题意，，， ，. 【小问2详解】 由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 17. 已知，，且. （1）证明：； （2）求的最小值. 【答案】（1） 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 18. 已知函数，且，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断； （3）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数在上单调递增，理由如下： ，且， ， 因为，，所以，， 所以，所以，所以， 所以在上的单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得的解析式； （2）函数在上单调递增，利用单调性的定义即可证明； （3）求得，利用单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 因为函数，且，， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可得，解得，解得或， 所以， 又因为，由，可得， 由（2）可知在上的单调递增； 所以，解得或， 所以的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）讨论函数的最小值. 【答案】（1）0 （2） （3） 由（2）得，，， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可得解； （2）利用赋值法依次求得，进而得到关于的函数方程组，解之即可得解； （3）利用（2）中结论，结合二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的位置，从而得解. 【小问1详解】 ，， 令，得，又， 所以. 【小问2详解】 令，得，即，则， 令，得，即，则， 令，得，即，则， 令，得，令，得，则， 因此，解得， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $