精品解析：云南省昆明市第一中学2024-2025学年高三上学期月考（四）数学试卷

数学（四）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可. 【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 2. 在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数、向量的知识确定正确答案. 【详解】复数对应的点为, 所以， 对应复数为. 故选：A 3. 已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式来求得正确答案. 【详解】由于终边经过点， 所以， 所以. 故选：B 4. 已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的方程，代入点坐标来求得. 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即， 圆心为，半径. 两个圆的方程相减并化简得，将代入得， 此时圆，， ，满足两圆相交，符合题意. 故选：B 5. 近年来，人们愈加重视家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的损害．科学研究指出，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是与氟化物排放相关的常数．经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年臭氧含量将减少到初始含量的一半，则臭氧含量只剩下初始含量的大约需要经过的年数为（ ） （参考数据：， A. 504 B. 700 C. 820 D. 920 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的函数关系式，代入条件求，再求. 【详解】由题意可知，，得， 则，则，则. 故选：D 6. 在三棱锥中，平面平面是边长为的等边三角形，是直角三角形，且，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得与所成角的余弦值. 【详解】设是的中点，连接，则，， 由于平面平面且交线为，平面， 所以平面，由于平面，所以， 由于是直角三角形，且， 所以，且， 由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 则与所成角的余弦值为. 故选：A 7. 函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给已知条件，利用赋值法来确定正确答案. 【详解】由，令，得， 即， 所以， 所以，AB选项错误. 由于， 所以， 上述式子相加可得， 而，所以，C选项正确. 由，令， 则，即， 所以. 令，得， 同理C选项的分析可知， 所以，D选项错误. 故选：C 8. 已知函数，若在上恰有5个极值点，从小到大依次记为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】令，转化为与在上恰有5个交点，结合图象来解决. 【详解】函数，， ， 令，得①， 当时，，而， 所以此时，不满足①， 所以，由①两边除以得， 整理得，画出的图象如下图所示， 由于在上恰有5个极值点， 根据图象可知，所以A选项正确； 极值点从小到大依次记为，根据图象可知，B选项正确； 都是奇函数，图象关于原点对称， 所以，C选项正确； 对于 ,若 成等差数列， 则，又 ，所以 ， 由于 ，则 ， 所以由， 则，与矛盾， 所以不成等差数列，D选项错误. 故选：D 【点睛】方法点睛：当遇到函数含有三角函数且求极值点个数或相关性质问题时，求导后通过变形转化为熟悉函数的交点问题是常见思路.同时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等性质来简化问题.结合图象特征以及函数性质进行分析，像判断等差数列需严格依据等差数列的定义，通过比较相邻两项差值来确定. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一批袋装食盐标准质量为，随机抽取100袋食盐，规定误差的绝对值不超过就认为合格．假设误差服从正态分布，样本误差的均值为0，方差为4．则下列结论正确的是（ ）（参考数据：若则 A. 抽取的100袋食盐的均值为 B. 抽取的100袋食盐的标准差为4 C. 这批袋装食盐的合格率约为 D. 这批袋装食盐的质量在区间的约占 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、方差、标准差、正态分布的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，设袋食盐的质量为（），设， 依题意可知： 样本误差的均值为0，即 ，所以， 所以抽取的100袋食盐的均值为，A选项正确. 对于B，样本误差的方差为4， 所以抽取的100袋食盐的方差为4，标准差为，所以B选项错误. 对于C，依题意，规定“规定误差的绝对值不超过就认为合格”， 根据， 可知这批袋装食盐的合格率约为，C选项正确. 对于D，， ， 所以这批袋装食盐的质量在区间的约占，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 存在点，使得 C. 若，的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、三角形面积公式、等腰三角形等知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】对于A，椭圆对应， 所以的周长为，A正确. 对于B，设，则，， 由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 所以不存在点，使得，B错误. 对于C，若，即，由， 解得，所以为锐角， 所以， 所以，C正确. 对于D，当是上顶点或下顶点时，是等腰三角形. 以为圆心，为半径作圆，与椭圆相交于点， 当为其中一个交点时，是等腰三角形. 同理，以为圆心，为半径作圆，与椭圆相交于点， 当为其中一个交点时，是等腰三角形. 所以使得为等腰三角形的点共有个，D错误. 故选：AC 11. 如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 若经过点，则 B. 若经过点，则 C. 若经过点，则经过点 D. 则经过点．则经过的一个三等分点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的截面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，经过点，则截面为等边三角形， 面积为，A选项正确. B选项，经过点，则截面为菱形， ，设，则， ，所以菱形的面积为，B选项正确. C选项，经过点，设分别是的中点， 则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误. D选项，经过点， 延长，交的延长线于，交的延长线于， 连接，交于，连接，交于，则截面为， 由于是的中点，是的中点， 所以，则，所以， 所以是的三等分点，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 解决正方体截面问题，关键是要根据已知的点的位置准确想象出截面的形状，然后利用平面几何知识（如三角形、菱形面积公式，相似三角形性质等）进行计算和推理. 对于判断点是否在截面上或点之间的位置关系，常通过延长线、连线等方法构建几何图形，利用中点、平行等条件得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的夹角为，是的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用基底表示向量，再利用数量积公式求. 【详解】， 所以， 则. 故答案为： 13. 已知是抛物线上的四点，四边形为等腰梯形，若过该抛物线的焦点，且，则等腰梯形的高为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，通过求的横坐标来求得等腰梯形的高. 【详解】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴， 画出图象如下图所示， ，抛物线的焦点， 所以，代入得，， 所以抛物线方程为， ，代入得， 所以等腰梯形的高为. 故答案为： 14. “矩阵”是在研究线性方程组的解法中引出来的概念，在实际问题中应用非常广泛．一个由1行3列数表构成的矩阵记为，由3行3列数表构成的矩阵记为，由3行1列数表构成的矩阵记为．已知矩阵乘是一个矩阵，矩阵乘是一个数．设则______；若是上的单调函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“矩阵”的概念求出；转化为在上恒成立求出. 【详解】 则 ； 若是上的单调递增函数， 则在上恒成立， 由于在上不恒成立，所以无解； 若是上的单调递减函数， 则在上恒成立， 可得，解得. 故答案为：①；②. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，E为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，交于，则是中点，且， 连接，交于，则，连接， 根据正四棱台的性质可知， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面. （2） 根据正四棱台的性质可知平面，平面， 由此以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， ，， ， ， 所以，所以， 由于平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面. （3）利用向量法来求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量是， ， 所以点到平面的距离为. 16. 一个限时闯关游戏共有和两关，挑战者可以任意选择其中一关作为第一关，只有闯过第一关才能挑战第二关．已知挑战者甲能闯过的概率为，能闯过的概率为，在闯过的条件下能闯过的概率为． （1）求甲在闯过的条件下能闯过的概率； （2）第一关挑战失败者记0分，挑战成功记1分，挑战成功记2分．若甲等可能地从和中选择一关作为第一关，求甲挑战得分的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的公式求得，进而求得. （2）的可能取值为，结合全概率公式等知识来求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 所以. 17. 已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率得双曲线的渐近线方程，再根据顶点到渐近线的距离求得的值，从而得的值，即可得双曲线的方程； （2）由题可设直线，，则，联立直线与双曲线方程得交点坐标关系，再根据四边形的面积求得的值，即可得直线的方程. 【小问1详解】 双曲线的离心率为，则， 所以，故双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的顶点到渐近线的距离为，则， 故， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 已知直线过原点，与交于两点，与交于两点， 则关于原点对称，关于原点对称， 由题可设直线，，则， 联立， 则且， 得或 ， 所以， 点到直线的距离为， 所以四边形的面积， 则，整理得， 解得或，所以或， 所以直线的方程为或. 18. 已知数列满足：对任意正整数，，，其中，为数列的前项和． （1）若，证明：； （2）若成等差数列，求数列的通项公式． 【答案】（1） 当时，由，得到， 又，所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，即而可得，即可证明结果； （2）根据条件可得，，，再结合，可求得，从而得到，再利用与间的关系，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 当时，①， 当时，②， 又成等差数列，则， 由（1）知③，由②③得到， 即， 两边平方整理得到，即，得到， 所以，代入①得到， 所以，即，代入，得到， 整理得到，解得， 所以，即， 当时，，两式相减得到， 即，也即，又， 所以，当时，，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故. 【点晴】方法点晴：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求an. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：且） （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； （2） 当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上恒成立， 所以当时，， 令且，则， 即，，…，， 所以累加得， 故当且时，. （3） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论的取值范围，求函数的单调区间； （2）首先时，函数为，根据（1）的结论，得时，，再赋值且，代入不等式，利用累加法，即可证明； （3）由所证明的不等式，构造函数，，再讨论得到取值，通过放缩法得到 ，构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】 的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题对任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 令，，即在上恒成立， ①当时，由于， 则有， 令，所以， 令，得， 所以当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以当时，， 令，则，令，所以， 令，得， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，符合题意， ②当时，由于在上单调递增且，， 故存在唯一，使得，即，即，即， 此时这与在上恒成立不符， 综上，实数得到取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是赋值且，转化为数列问题，证明不等式，第三问的关键是讨论不同的的取值，从而讨论不同的函数是否满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（四）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，人们愈加重视家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的损害．科学研究指出，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是与氟化物排放相关的常数．经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年臭氧含量将减少到初始含量的一半，则臭氧含量只剩下初始含量的大约需要经过的年数为（ ） （参考数据：， A. 504 B. 700 C. 820 D. 920 6. 在三棱锥中，平面平面是边长为的等边三角形，是直角三角形，且，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上恰有5个极值点，从小到大依次记为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 成等差数列 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一批袋装食盐标准质量为，随机抽取100袋食盐，规定误差的绝对值不超过就认为合格．假设误差服从正态分布，样本误差的均值为0，方差为4．则下列结论正确的是（ ）（参考数据：若则 A. 抽取的100袋食盐的均值为 B. 抽取的100袋食盐的标准差为4 C. 这批袋装食盐的合格率约为 D. 这批袋装食盐的质量在区间的约占 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 存在点，使得 C. 若，的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 11. 如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 若经过点，则 B. 若经过点，则 C. 若经过点，则经过点 D. 则经过点．则经过的一个三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的夹角为，是的中点，则______． 13. 已知是抛物线上的四点，四边形为等腰梯形，若过该抛物线的焦点，且，则等腰梯形的高为______． 14. “矩阵”是在研究线性方程组的解法中引出来的概念，在实际问题中应用非常广泛．一个由1行3列数表构成的矩阵记为，由3行3列数表构成的矩阵记为，由3行1列数表构成的矩阵记为．已知矩阵乘是一个矩阵，矩阵乘是一个数．设则______；若是上的单调函数，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，E为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离. 16. 一个限时闯关游戏共有和两关，挑战者可以任意选择其中一关作为第一关，只有闯过第一关才能挑战第二关．已知挑战者甲能闯过的概率为，能闯过的概率为，在闯过的条件下能闯过的概率为． （1）求甲在闯过的条件下能闯过的概率； （2）第一关挑战失败者记0分，挑战成功记1分，挑战成功记2分．若甲等可能地从和中选择一关作为第一关，求甲挑战得分的数学期望． 17. 已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 18. 已知数列满足：对任意正整数，，，其中，为数列的前项和． （1）若，证明：； （2）若成等差数列，求数列的通项公式． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：且） （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $