云南省昆明市第一中学2024-2025学年高三上学期月考（四）数学试卷

数学（四）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，人们愈加重视家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的损害．科学研究指出，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是与氟化物排放相关的常数．经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年臭氧含量将减少到初始含量的一半，则臭氧含量只剩下初始含量的大约需要经过的年数为（ ） （参考数据：， A. 504 B. 700 C. 820 D. 920 6. 在三棱锥中，平面平面是边长为的等边三角形，是直角三角形，且，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域为，且，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上恰有5个极值点，从小到大依次记为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 成等差数列 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一批袋装食盐标准质量为，随机抽取100袋食盐，规定误差的绝对值不超过就认为合格．假设误差服从正态分布，样本误差的均值为0，方差为4．则下列结论正确的是（ ）（参考数据：若则 A. 抽取的100袋食盐的均值为 B. 抽取的100袋食盐的标准差为4 C. 这批袋装食盐的合格率约为 D. 这批袋装食盐的质量在区间的约占 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 存在点，使得 C. 若，的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 11. 如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 若经过点，则 B. 若经过点，则 C. 若经过点，则经过点 D. 则经过点．则经过的一个三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的夹角为，是的中点，则______． 13. 已知是抛物线上的四点，四边形为等腰梯形，若过该抛物线的焦点，且，则等腰梯形的高为______． 14. “矩阵”是在研究线性方程组的解法中引出来的概念，在实际问题中应用非常广泛．一个由1行3列数表构成的矩阵记为，由3行3列数表构成的矩阵记为，由3行1列数表构成的矩阵记为．已知矩阵乘是一个矩阵，矩阵乘是一个数．设则______；若是上的单调函数，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，E为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离. 16. 一个限时闯关游戏共有和两关，挑战者可以任意选择其中一关作为第一关，只有闯过第一关才能挑战第二关．已知挑战者甲能闯过的概率为，能闯过的概率为，在闯过的条件下能闯过的概率为． （1）求甲在闯过的条件下能闯过的概率； （2）第一关挑战失败者记0分，挑战成功记1分，挑战成功记2分．若甲等可能地从和中选择一关作为第一关，求甲挑战得分的数学期望． 17. 已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 18. 已知数列满足：对任意正整数，，，其中，为数列的前项和． （1）若，证明：； （2）若成等差数列，求数列的通项公式． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：且） （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 数学（四）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 连接，交于，则是中点，且， 连接，交于，则，连接， 根据正四棱台的性质可知， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面. （2） 根据正四棱台的性质可知平面，平面， 由此以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， ，， ， ， 所以，所以， 由于平面，所以平面. （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）直线的方程为或. 【18题答案】 【答案】（1） 当时，由，得到， 又，所以，即. （2） 【19题答案】 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在区间上单调递减； （2） 当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上恒成立， 所以当时，， 令且，则， 即，，…，， 所以累加得， 故当且时，. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $