精品解析：浙江省台州市玉环市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

玉环市2024学年第一学期期末检测试卷 九年级数学 命题人：李琦（玉环中学附属初中）王红艳（城北学校） 亲爱的同学： 欢迎参加本次考试！请认真审题，仔细解答，发挥最佳水平．答题时请注意以下几点： 1．试卷共4页，答题纸4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试卷、草稿纸上无效； 3．本次考试不得使用计算器，请耐心解答．祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为． 已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为， 故选：B． 3. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 4. 下列事件中，是随机事件是（ ） A. 个人中至少有2个人的生肖相同 B. 随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，掌握以上知识是解题的关键． 本题根据随机事件的定义，逐一核对4个选项，即可求解； 【详解】解：对于选项A，个人中至少有2个人的生肖相同，是必然事件，不符合题意； 对于选项B，随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7，是必然事件，不符合题意； 对于选项C，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意； 对于选项D，从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球，是不可能事件，不符合题意． 故选：C； 5. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 首先根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题． 【详解】解：由题意及旋转变换的性质得：， ， ， 故选：B． 6. 反比例函数的图象经过点，若反比例函数的图像上有三点，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，比较反比例函数值的大小，先利用待定系数法求出函数解析式，进而判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， ∵，，都在反比例函数图象上，且， ∴， 故选：B． 7. 已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点纵坐标计算出方程判别式的值即可解答． 【详解】解： ， 抛物线开口向上， 顶点为， 顶点纵坐标为：， 即，， ， 方程的根的判别式， 方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”． 8. 如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（ ） A. 20m B. 12m C. 10m D. 8m 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得：， 设，， ∴， 解得：， 即， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解题的关键； 直接利用二次函数图象经过的图象得出a、b的值的取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案，逐项判断即可． 【详解】A、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意； B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意； D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意； 故选：D 10. 如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据题意作出图形，连接，，过点作于，过点B作，垂足为P，根据等腰直角三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，进而求出的取值范围； 【详解】解：连接，，过点作于， 在中，， ， 过点B作，垂足为P， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点是边的中点， ， 点是边上的动点， 当点与点重合时，有最大值， ， 当点与点重合时，有最小值， ； 故选：A 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴，若的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是； 根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到，计算出来即可求解． 详解】解：根据题意可知：， ∴， ∵由图可知，反比例函数的图象位于第一、三象限，， ∴， 故答案：． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表 抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上的频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为__________． 【答案】0.22 【解析】 【分析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右， 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22． 故答案为0.22． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 14. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__．  【答案】27 【解析】 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=． ∵△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积为27． 15. 如图，长方形的长为，宽为，以点为圆心，为半径作圆与的延长线交于点，以点为圆心，为半径作圆与交于点则阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，圆的面积公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据，结合圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 所以 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，由在菱形和垂直可得，得到四边形为矩形，推出，，再旋转可证明，得到，，再证明，得到，即可得到、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，最后根据点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上分情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于， ∵在菱形中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴∥，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点、、都在直线上， ∴、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线， ∵点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上， ∴当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，此时在处，在处，此时； 当点的对应点恰好落在菱形的边和所在直线时，此时在处，连接，则，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在处，此时； 当点对应点恰好落在菱形的边所在直线时，如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴，， ∴， 解得， 综上所述，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24分12分，共72分） 17. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段； （3）连接 ，，求出的面积（直接写出结果即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图，利用网格求三角形面积．熟练掌握利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图，利用网格求三角形面积是解题的关键． （1）利用中心对称的性质作图即可； （2）利用旋转的性质作图即可； （3）根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图2所示，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图3，连接， ∴， ∴的面积为8． 18. 一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ； （2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出这2只球颜色不同的结果数，然后根据概率公式计算． 试题解析：(1)从袋中一次随机摸出1只球,则这只球是红球的概率 故答案为： (2)画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中这2只球颜色不同的结果数为8， 所以这2只球颜色不同的概率 19. 如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时蜡烛与纸筒的距离的长度为． 20. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点C的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，掌握了以上知识是解答本题的关键； （1）连接、，根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到结论； （2）先证，再根据全等三角形的性质得到，设，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接、，如图， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 21. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识， （1）如图，连接，，证明即可； （2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，k的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将分别代入抛物线和直线，即可求解； （2）先求出比火箭运行的最高点低的高度，然后代入解析式，即可求解； 【小问1详解】 解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：由①知：，， ∴， ∴最大值， 当时，， 解得：，， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为， ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二级则， 解得：， ∴， ∴这两个位置之间的距离为． 23. 已知，一次函数的图象上有一点，反比例函数经过A点． （1）当时， ①若，求反比例函数的解析式； ②求k的最大值． （2）当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的最值问题，二次函数图象的性质： （1）①利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；②利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法用m表示出k，进而利用二次函数的性质求解即可； （2）仿照（1）②用含a、m的式子表示出k，再利用二次函数的性质讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，一次函数解析式为， 当时，点A的坐标为， 在中，当时，， ∴点A的坐标为， 把代入到中得，解得， ∴反比例函数解析式为； ②当时，一次函数解析式为， ∴， ∴ 把代入到中得， ∴， ∵， ∴当，即时，k有最大值，最大值为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象上有一点， ∴， ∴ 把代入到中得， ∴， 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴， ∴，此时不符合题意； 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴， ∴； 综上所述，． 24. 如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点． （1）求证：； （2）如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度； （3）如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）和的周长之比为． 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形的性质可得，，则，从而求证； （）连接，，根据垂径定理推论得出，再由圆周角定理得，即，证明，故，然后由为线段的中点，，所以，最后代入求出半径即可； （）设，，则，，由（）得：，，则，即，故，再证明，，根据相似三角形的性质得出，即，故，从而有∴，，由勾股定理得，然后证明，根据性质得出，即，求出，最后代入即可求解； 本题考查了垂径定理推论，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵点为弧的中点， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵为线段的中点，， ∴， ∴， 设，，则，， 由（）得：，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：， 经检验：是方程的解， ∴， 由（）得：， ∴和的周长之比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 玉环市2024学年第一学期期末检测试卷 九年级数学 命题人：李琦（玉环中学附属初中）王红艳（城北学校） 亲爱的同学： 欢迎参加本次考试！请认真审题，仔细解答，发挥最佳水平．答题时请注意以下几点： 1．试卷共4页，答题纸4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试卷、草稿纸上无效； 3．本次考试不得使用计算器，请耐心解答．祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 个人中至少有2个人的生肖相同 B. 随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球 5. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象经过点，若反比例函数的图像上有三点，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（ ） A. 20m B. 12m C. 10m D. 8m 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴，若的面积为6，则的值为______． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表 抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为__________． 14. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__．  15. 如图，长方形的长为，宽为，以点为圆心，为半径作圆与的延长线交于点，以点为圆心，为半径作圆与交于点则阴影部分的面积为________．（结果保留） 16. 如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24分12分，共72分） 17. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B对应点为，画出旋转后的线段； （3）连接 ，，求出的面积（直接写出结果即可）． 18. 一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ； （2）从袋中一次随机摸出2只球，通过树状图或列表法求这2只球颜色不同的概率． 19. 如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中，纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，求此时蜡烛与纸筒的距离的长度． 20. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，点C的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，，求的长． 22. 二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，k值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 23. 已知，一次函数的图象上有一点，反比例函数经过A点． （1）当时， ①若，求反比例函数的解析式； ②求k的最大值． （2）当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． 24. 如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径圆分别交，于点，，为线段的中点． （1）求证：； （2）如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度； （3）如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$