精品解析：湖北省襄阳市樊城区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

樊城区2024－2025学年度上学期期末学业质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用一元二次方程判别式判定方程的根的情况，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 3. 反比例函数（为常数，）的图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数（）的性质：①当时，图象分别位于第一、三象限；②当时，图象分别位于第二、四象限． 先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴（为常数，）的图象位于第一象限． 故选：A． 4. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 【答案】C 【解析】 【分析】过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，先利用勾股定理求出BC的长，进而根据垂径定理得出AB. 【详解】解：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D， ∴CD=8，OD=13， ∴OC=OD-CD=5， 又∵OB=13， ∴Rt△BCO中，BC==12， ∴AB=2BC=24． 故选C. 5. 在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质．根据题意画出图形，过点A点作轴于点B，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过A点作轴于点B， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（ ） A. 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查抛物线的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，即可求解． 【详解】解：∵将抛物线平移后得到抛物线， ∴平移方式为：向右平移1个单位． 故选：D． 7. 如图，点A，在上，且，点是劣弧上一个动点（点不与点A，重合），在点运动的过程中，=（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定大小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形．熟练掌握等边三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，是解题的关键． 首先在优弧上取点C，连接，由已知得是等边三角形，得，圆周角定理即可求得，然后由圆的内接四边形的性质，求得． 【详解】如图，在优弧上取点C，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点是劣弧上一个动点， ∴四边形是的内接四边形， ∴． 故选：B． 8. 如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ） A. P1 B. P2 C. P3 D. P4 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠BAC=∠PED=90°，， ∴当时，△ABC∽△EPD时． ∵DE=4， ∴EP=6． ∴点P落在P3处． 故选C． 9. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步……”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 【详解】解：∵阔为步， ∴长为步， ∵矩形面积864步平方步， ∴． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的图象经过，，得，，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴，对称轴为直线， ∵对称轴直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题有5小题，共15分） 11. 若一元二次方程的两根分别为，，则_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的一般形式，根与系数的关系是解题的关键．由题意得，代入问题可求解． 【详解】解：原方程可化为， ∵原方程的两根分别为，， ∴， ∴． 故答案为：2025． 12. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由题意可得： 同理： 故答案： 【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键． 13. 已知点，都在二次函数的图象上，那么，的大小关系是：____（填“＞”，“”或“＜”） 【答案】>或< 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由二次函数解析式可得抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，从而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，根据点，都在二次函数的图象上，代入解关于a、b的方程比较即得．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点，都在二次函数图象上， ∴，解得， ，解得， ∴， ∴， ∴，或． 故答案为：>或<． 14. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，．若要火焰的像高不低于，则小孔到蜡烛的最大距离为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 根据火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，，可求出反比例函数解析式，由此即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， 当火焰的像高为3时， 即时，， 解得，． ∴要火焰的像高不低于，则小孔到蜡烛的最大距离为为． 故答案为：4． 15. 如图，在三角尺中，，，．把边放在直尺上，让三角尺在桌面上沿直尺按顺时针方向无滑动地滚动，直到边再一次落到直尺上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为．有以下三个结论： 第一次滚动的过程中，点运动的路径长为； 第二次滚动可记为； 第三次滚动过程中，点绕旋转了． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，含度的直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用勾股定理和弧长公式，旋转变换的性质一一判断即可． 【详解】解∶三角尺三次滚动可如下图所示： 在三角尺中，，，， ． ． 第一次滚动的过程中，点运动的路径长为： ．错误； 根据三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为． 可知，的横坐标是旋转中心，纵坐标是旋转角度， 三角尺的第二次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为，如图所示． 第二次滚动可记为．正确； ，如图所示， ． 第三次滚动过程中，点绕旋转了．正确． 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共75分） 16. 解方程：（两种方法） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法和配方法两种解方程即可．掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：方法一：， 或， 所以； 方法二：， ， ， ， 所以． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3），是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3），线段与线段关于原点对称 【解析】 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握中心对称，图象的坐标，勾股定理，是解题的关键． （1）三个顶点，，．绕原点顺时针旋转得到，首尾连接，即得； （2）； （3）设，则，勾股定理可证明． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：如图， 设，则， 线段与线段关于原点对称， ∵，， ∴． 18. 如图，已知劣弧和其所在圆的圆心，若要等分,请按以下要求作图： （1）利用直尺和圆规完成作图，不写做法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法作图． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点C，则； （2）如图2，作的平分线交于点D，则；如图3，作切线，交于点P，连接交于点E，则，得，得，得． 【小问1详解】 解：如图1平分； 【小问2详解】 解：如图2，图3两种方法平分． 【点睛】本题考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线作法和性质，垂径定理，角平分线作法和性质，垂线作法和切线性质，全等三角形性质，是解题的关键． 19. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形的“梦之点”． （1）如图，已知点A是抛物线上的一个“梦之点”，则点A的坐标为_______； （2）如图，若反比例函数图象上的“梦之点”都在图象的内部，则的取值范围是_______． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“梦之点”．熟练掌握新定义，二次函数和反比例函数的图象和性质，两点间的距离，解不等式，解方程，是解本题的关键． （1）设，得，解得，得点A的坐标为或； （2）设图象上的“梦之点”为，则，得， 根据，，得，解得． 【小问1详解】 解：设，代入， 得， 解得， 点A的坐标为或； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：设图象上的“梦之点”为， 则，， 由（1）知，， 若反比例函数图象上的“梦之点”都在图象的内部， 则， ∴， 解得， ∵， ∴． 故答案为：． 20. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出1件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量_________（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_________（用含的代数式表示）． 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 【答案】任务1：，；任务2：5元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 任务1：根据“甲店每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件；乙店每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出1件”，即可获得答案； 任务2：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案． 【详解】解：任务1： 根据题意，甲店每天的销售量为件， 乙店每天的销售量为件． 故答案为：，；， 任务2： 设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等， 根据题意，可得 ， 整理可得 ， 解得，（舍去）， 所以，每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利额相等． 21. 中，，为边上一点．经过点A，与，两边分别交于点，，连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，若与相切于点，且，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径性质得，根据，得； （2）连接，根据切线性质，得，得，得，根据，得，根据，得，得，根据，得，得，得，根据，得，即得． 【小问1详解】 证明：∵为半径， ∴为直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故的半径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理，切线的性质，含30°的直角三角形的判定和性质，等腰三角形性质，平行线判定和性质，掌握这些知识并构造适当的辅助线是解题的关键． 22. 正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．小明进行了三次训练，令训练时实心球着地点到出手点的水平距离分别为，，，（即三次训练的掷球成绩），若三次训练实心球所到达的最大高度相同，请回答以下问题： （1）第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1 根据上述数据，则实心球到达最大高度是________m； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次训练抛物线的顶点． ①结合图象及（1）中数据分析，直接判断的大小关系________； ②求出抛物线的解析式； （3）令第三次训练实心球到达最高点时，它与出手点的水平距离为，且第三次成绩介于前两次之间，则的取值范围是________． 【答案】（1）3.6 （2）①② （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，函数的对称性，函数与方程，实数大小比较，获取表格、函数图象关键信息，熟练掌握是解题的关键． （1）根据表中数据可知实心球到达最大高度是； （2）根据表格中的数据求出，代入，得解得， 根据图象求出，代入，解得，比较即得国； （3）根据三次训练实心球所到达的最大高度相同，抛物线都过点，三次投掷实心球着地点的水平距离，由函数的对称性得出结论 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴实心球到达最大高度是； 故答案为：3.6 【小问2详解】 解：①设第一次抛物线为， 把代入，得， 解得， ∴， 代入， 得， 解得，或（舍）， 根据图象知，第二次抛物线的对称轴为直线， 由于三次训练实心球所到达的最大高度相同， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入， 得， 解得， ∴， 代入， 得， 解得，或（舍）； 故答案：； ②由①知，； 【小问3详解】 解：第一次、第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线、直线、， 三次训练实心球所到达的最大高度相同，三次抛物线都过点， 小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离， ∴。 故答案为：． 23. 已知，为直角三角形，，于点，，点是射线上一点（点不与点，重合），射线绕点A顺时针旋转得到射线，截取，连接交射线于点，连接． （1）如图①，若，点在线段上时，判断：与的位置关系是________；线段、的数量关系是________； （2）如图②，若，点在线段的延长线时，（1）中的两个结论是否成立？若成立写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图③，点在线段的延长线上，令与交于点，若，，则________． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转得，得，当，，得，得，得,得,得，，可得； （2）成立，理由：由旋转得，，得，根据， ，得，得,得,得，，即得； （3）由旋转推出，根据 ，得，得,得，根据，推出，得,∴得，得， 得，得，根据，得，得，根据，得，得 【小问1详解】 解：由旋转知，， ∴， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 解得， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形综合题，熟练掌握等腰直角三角形，直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是本题的难点． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．抛物线， （1）当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； （2）把线段绕点旋转得到，若点在抛物线上，求出该抛物线的顶点坐标； （3）定义：第一象限的点的极坐标记为，其中表示的长度，表示与轴的夹角，若在抛物线上，令表示抛物线的顶点的极坐标． ①若，则的最小值是________； ②令，若要使抛物线在之间的图像上总有两个点的纵坐标相等，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1） （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）代入，求得，即得； （2）过点B作轴于点C，求出，当时，代入，求得，得，顶点；当时，，， ，顶点； （3）可得，得，解得，得，顶点为，得，根据，得，当时，，当时，，当时，，得的最小值是；②当时，，得 ，解得，得，顶点， 由对称性得，即得． 【小问1详解】 解：把代入，， 得， 解得， ∴ 【小问2详解】 过点B作轴于点C， ∵，， ∴， ∴当， 代入， 得， 解得， ∴， 即， ∴顶点； 当时，， 解得， ∴； ， ∴顶点； 故或； 【小问3详解】 解：设， 则， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴顶点为， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时， ∴， ∵， ∴的最小值是； ②当时，， 代入， ， ， ， 顶点， ∵抛物线在之间的图像上总有两个点的纵坐标相等， ∴由对称性，得， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，新定义——极坐标，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，分类讨论，二次函数的对称性，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 樊城区2024－2025学年度上学期期末学业质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 反比例函数（为常数，）的图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 5. 在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与轴正半轴的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（ ） A 向上平移1个单位 B. 向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 7. 如图，点A，在上，且，点是劣弧上一个动点（点不与点A，重合），在点运动的过程中，=（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定大小 8. 如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ） A. P1 B. P2 C. P3 D. P4 9. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步……”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题有5小题，共15分） 11. 若一元二次方程的两根分别为，，则_______． 12. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 13. 已知点，都在二次函数的图象上，那么，的大小关系是：____（填“＞”，“”或“＜”） 14. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，．若要火焰的像高不低于，则小孔到蜡烛的最大距离为_____． 15. 如图，在三角尺中，，，．把边放在直尺上，让三角尺在桌面上沿直尺按顺时针方向无滑动地滚动，直到边再一次落到直尺上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点顺时针旋转了，记为．有以下三个结论： 第一次滚动的过程中，点运动的路径长为； 第二次滚动可记为； 第三次滚动过程中，点绕旋转了． 上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题有9小题，共75分） 16. 解方程：（两种方法） 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3），是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 18. 如图，已知劣弧和其所在圆的圆心，若要等分,请按以下要求作图： （1）利用直尺和圆规完成作图，不写做法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法作图． 19. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形的“梦之点”． （1）如图，已知点A是抛物线上一个“梦之点”，则点A的坐标为_______； （2）如图，若反比例函数图象上的“梦之点”都在图象的内部，则的取值范围是_______． 20. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出1件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量_________（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_________（用含的代数式表示）． 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 21. 中，，为边上一点．经过点A，与，两边分别交于点，，连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，若与相切于点，且，求半径长． 22. 正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．小明进行了三次训练，令训练时实心球着地点到出手点的水平距离分别为，，，（即三次训练的掷球成绩），若三次训练实心球所到达的最大高度相同，请回答以下问题： （1）第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2.7 2 1.1 根据上述数据，则实心球到达最大高度是________m； （2）第二次训练时，实心球竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次训练抛物线的顶点． ①结合图象及（1）中数据分析，直接判断的大小关系________； ②求出抛物线的解析式； （3）令第三次训练实心球到达最高点时，它与出手点的水平距离为，且第三次成绩介于前两次之间，则的取值范围是________． 23. 已知，为直角三角形，，于点，，点是射线上一点（点不与点，重合），射线绕点A顺时针旋转得到射线，截取，连接交射线于点，连接． （1）如图①，若，点在线段上时，判断：与的位置关系是________；线段、的数量关系是________； （2）如图②，若，点在线段的延长线时，（1）中的两个结论是否成立？若成立写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图③，点在线段的延长线上，令与交于点，若，，则________． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点A坐标为．抛物线， （1）当抛物线经过点A时，求抛物线的表达式； （2）把线段绕点旋转得到，若点在抛物线上，求出该抛物线的顶点坐标； （3）定义：第一象限的点的极坐标记为，其中表示的长度，表示与轴的夹角，若在抛物线上，令表示抛物线的顶点的极坐标． ①若，则的最小值是________； ②令，若要使抛物线在之间的图像上总有两个点的纵坐标相等，直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$