精品解析：河南省新乡市第一中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

新乡市一中2024-2025学年上期初三年级期末考试 数学试卷 时间：100分钟 分值：120分 命题人：冯俊辉 审题人：冯俊辉 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．年 月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 、既不是是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为；根据题意确定出所求方程即可． 【详解】，可化为，其二次项系数是2，一次项系数是，常数项是， 故选：B． 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是 轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴是 轴， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，则图中的正弦值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴， ∴ 是直角三角形， ∴ 故选：B． 5. 在一个不透明的布袋中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率计算公式， 设黑球的个数为x，根据概率公式代入计算即可得出答案． 【详解】解：设黑球的个数为x， 根据题意有：， 解得：， 则黑球的个数为16． 故选：A． 6. 如图， 为 直径，弦 ，垂足为点E，若 的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，垂径定理得到，勾股定理求出 的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接 ，则：， ∵ 为 直径，弦 ， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 7. 如图，在 中，，，，将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 9. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体 在幕布上形成倒立的实像 （点A、B的对应点分别是C、D）．若物体 的高为，小孔O到地面距离 为，则实像 的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 10. 如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，设DM＝x，则CM＝x，由旋转的性质易得△EDM≌△FEN，然后分D在BC上时和D在BC的延长线上时，分别通过勾股定理计算出AF2，然后利用二次函数的最值解答. 【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N， 设DM＝x， 在Rt△CDM中，CM＝DM＝x， ∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN， 当D在BC上时，如图1，DM＝EN＝x，EM＝NF＝2−x， 在Rt△AFN中，AF2＝(2−x) 2＋(2+x)2＝， 当D在BC的延长线上时，如图2，DM＝EN＝x，EM＝NF＝x＋2， 在Rt△AFN中，AF2＝(x+2) 2＋(2-x)2＝， 当x＝时，AF2有最小值， ∵＞ ∴AF的最小值为：， 故选D. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的最值以及旋转的性质等，涉及知识点较多，较为复杂，正确的作出辅助线并分类讨论是解题关键. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是关于 的一元二次方程的解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先把代入得即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：把代入， 得：， ∴ 故答案为： ． 12. 在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴，y轴作垂线，与两坐标轴所成的矩形面积为，”乙同学说：“当时，y随着x的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数解析式．根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可． 【详解】解：根据题意，满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式为：． 故答案为：． 13. 如图，在 中，，连结，如果 和 的面积都为1，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由证明，设，，则，由，得，求得，于是得到问题的答案．此题重点考查相似三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，正确地求出与 的比是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ， 设， ∵， 则， ， 得， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 故答案为：． 14. 如图，已知点C，D是以 为直径的半圆O的三等分点，圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，连接、 ，根据C，D是以 为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算求解即可． 【详解】解：连接 、 、 ， ∵C，D是以 为直径的半圆的三等分点， ∴，， 又∵， ∴、是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 15. 如图，正方形中，，M是 边上一个动点，以 为直径的圆与相交于点Q，P为 上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，轴对称，正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理． 连接 ，以 为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的 上运动．易证，得到，从而根据三角形的三边关系有，而，利用正方形的性质和勾股定理即可求得的长，从而解决问题． 【详解】连接 ，以 为一条边在右侧作正方形， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为 ． ∵四边形和四边形是边长相等的正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ 连接，， ， 交 于点N， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先把三角函数值代入，再按实数混合运算法则计算即可； （2）先将方程化简厉一般式，再运用公式法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）化简整理，得 ，，， ∴ ∴ ∴，． 【点睛】本题考查三角函数混合运算，解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值和掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键． 17. 如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题： （1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1． ①画出△A1B2C1； ②求点A的运动路径长． 【答案】（1） △AB1C1即为所求． （2） ①△A1B2C1即为所求 ② 【解析】 【分析】（1）延长AC到C1，使得AC1=2AC，延长AB到B1，使得AB1=2AB，连接B1C1即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B1的对应点A1，B2即可．△AC1A1是等腰直角三角形，求出直角边，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②AC1=， 点A的运动路径长＝． 【点睛】本题考查作图﹣位似变换，旋转变换，弧长等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，记住弧长公式． 18. 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽 为，拱高为． （1）求桥拱的半径； （2）此桥的安全限度是拱顶 点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度 为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】（1） （2）不需要采取紧急措施，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出 的长，即可求出 的长即可得解． 【小问1详解】 解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； 【小问2详解】 解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接 ， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 19. 水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度与离起跳点O的水平距离之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的高度为． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 【答案】（1），． （2）该运动员能成功压住水花． 理由：由（1）可知，当时， 所以该运动员离水面的距离为，故该运动员能成功压住水花． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的表达式为，把和代入，进行解方程，即可作答． （2）把代入，解出，结合距离为，进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题得对称轴为直线，设抛物线的表达式为， 当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的距离为，所以抛物线经过点， 把和代入， 得解得 抛物线的表达式为． 该运动员离水面的最大距离为． 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点 的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点 的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 21. 学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量某塔的高 测量说明 测量示意图 说明： 是高为米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角，点E处测得此时塔顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上） 测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 的水平距离 26米 请根据表中的测量数据，求塔高（精确到米，参考数据，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，据此的性质与判定，设为 米，则米，在中可以得出，在中，可以得到，再列方程即可求解． 【详解】解：由题意得，米，，，四边形，，为矩形，则米， 设为 米，则米， 在中，，即，解得， 在中，，即， 解得， ∴， 解得， ∴（米）， 答：白塔的高 约为米． 22. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，对称轴与x轴相交于点D，点在抛物线上，，O为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点P的坐标； （2）当时，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，正确引出辅助线是解题的关键． （1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与 轴相交于点 ，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ． 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边 上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________ ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接 ，过点G作 的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 【解析】 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）略 （2）略 [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵ 是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2024-2025学年上期初三年级期末考试 数学试卷 时间：100分钟 分值：120分 命题人：冯俊辉 审题人：冯俊辉 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．年 月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，则图中的正弦值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 在一个不透明的布袋中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 4 6. 如图， 为 直径，弦 ，垂足为点E，若 的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，在 中，，，，将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体 在幕布上形成倒立的实像 （点A、B的对应点分别是C、D）．若物体 的高为，小孔O到地面距离 为，则实像 的高度（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是关于 的一元二次方程的解，则______． 12. 在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴，y轴作垂线，与两坐标轴所成的矩形面积为，”乙同学说：“当时，y随着x的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_________． 13. 如图，在 中，，连结，如果 和 的面积都为1，则的面积为______． 14. 如图，已知点C，D是以 为直径的半圆O的三等分点，圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，正方形中，，M是 边上一个动点，以 为直径的圆与相交于点Q，P为 上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在直角坐标系中，边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），在给定的网格中，解答下列问题： （1）以A为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）以C1为旋转中心，将△AB1C1顺时针旋转90°，得到△A1B2C1． ①画出△A1B2C1； ②求点A的运动路径长． 18. 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽 为，拱高为． （1）求桥拱的半径； （2）此桥的安全限度是拱顶 点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度 为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 19. 水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度与离起跳点O的水平距离之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为时，运动员离水面的高度为． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 21. 学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量某塔的高度，他们把“测量塔高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量某塔的高 测量说明 测量示意图 说明： 是高为米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角，点E处测得此时塔顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上） 测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 的水平距离 26米 请根据表中的测量数据，求塔高（精确到米，参考数据，） 22. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，对称轴与x轴相交于点D，点在抛物线上，，O为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点P的坐标； （2）当时，求a的值． 23. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边 上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边 上选一点F，沿折叠，使边 与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________ ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接 ，过点G作 的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $