精品解析：江苏省无锡市东林中学2024—2025学年上学期九年级数学期末抽测试卷

2024年秋学期初中学业水平调研测试九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值， 根据特殊角的正切值解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法即可求解． 【详解】解： ∴， ∴或 解得：，， 故选：C． 3. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 5. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．设平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：A． 6. 如图，中，点、点分别在边、上，且，若，，则的长为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据已知可得，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，则 ∴ 解得：， 故选：D． 7. 如图，分别是的切线，、分别为切点，点是上一点，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质以及圆周角定理．连接，，由圆周角定理知可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得． 【详解】解：连接，； ， ， ． 故选：C． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆周角所对的弧相等 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 三点确定一个圆 D. 相似三角形的面积之比等于相似比 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，三角形的外心的性质，确定圆的条件以及相似三角形的性质，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，故本选项错误； B、三角形的外心到三角形三个顶点距离相等，故本选项正确； C、不共线的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； D、相似三角形的面积之比等于相似比的平方，故本选项错误； 故选： B． 9. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．根据面积求线段的长度等知识，设直线交于点，由矩形的性质得，，，，，而，则，可证明，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设直线交于点，如图： ∵四边形是矩形，，，，对角线交于点， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 已知二次函数，在取不同值的情况下，部分函数值与的对应关系如下表：则下列结论： b … 0 2 4 … x … * 4 0 … y … * 0 0 8 … ①当时，有最小值；②无论取何值，二次函数的图像始终经过一个定点；③所有的最大值中，有最小值；④当时，的值始终为负数．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质及最值，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． ①根据二次函数的性质可直接判断；②将二次函数变形整理即可；③将二次函数化为顶点式，然后结合二次函数的最值判断即可；④根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：①， ∵， ∴当时，有最大值，故①错误； ②， 当时，， ∴无论取何值，二次函数的图像始终经过一个定点，故②正确； ③由①得， y的最大值为， ∴当时，最大值最小为， 当时，的最大值中，有最小值，故③正确； ④当时，的最值为，有可能为正数，故④错误； 综上可得：②③正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1分，第2空2分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．根据题意设，，将其代入式子求解，即可解题． 【详解】解：， 设，， 则， 故答案为：． 12. 如图，中，，，，则的值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 14. 圆锥底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．根据圆锥的侧面积底面周长母线长，进行计算即可． 【详解】解：底面圆的半径为，母线长是，侧面面积． 故答案为： 15. 请写出一个二次函数的表达式，满足当时，函数图像从左到右下降：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，根据题意可知只需要写成一个开口向下，对称轴为直线的二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，当时，该二次函数的函数值随自变量的增大而减小， ∴满足题意的二次函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比的应用；正确建立方程是解题关键．设，，则，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 故答案为：． 17. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，先求出A、B、C的坐标，再根据求出点D的纵坐标，进而求出点D的坐标即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 中，当时，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，中，，为上一点，，连接． （1）当时，的值为______； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的混合运算，不等式的性质． （1）设，利用勾股定理求得，，代入计算即可求解； （2）设，，同理求得，要求的最小值，即求的最大值，据此求解即可． 【详解】解：（1）设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）设，， ∴，， ∴ ， 要求的最小值，即求的最大值， 令，则， ∴ ， 要求的最大值，即求的最小值， 令，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为， ∴的最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）计算：； （2）求锐角的度数：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，根据特殊角三角函数值求角的度数： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）先求出，再根据特殊角三角函数值即可求出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法和公式法解方程． （1）先移项，然后用直接开平方法解方程，即可得到答案； （2）利用公式法解方程，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． （2）若方程的两个实数根、满足，求实数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的两个实数根、，满足， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，点是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质， 对于（1），根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得结论； 对于（2），根据相似三角形的对应角相等得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． 23. 如图，河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少米？（结果保留根号） 【答案】此时水面宽为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用能力．先设解析式，然后构建函数图像，求出解析式，再代入数值进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：， ∵水面宽时，拱顶离水面， ∴点在此抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当水位上升时，即时，， ∴， ∴此时水面的宽度为：， 即此时水面宽为． 24. 如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算． （1）在边上作一点，使点到两边所在的直线的距离相等，在边上作一点，使；（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）； （2）在（1）的条件下，若，，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出的平分线交边于点，作交边于点即可； （2）作作于点，利用三角函数的定义求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，设，则，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：点，点如图所示， ； 【小问2详解】 解：作于点， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，从而可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等即可解答； （2）根据已知可得，然后利用（1）的结论可得 ，从而利用相似三角形的性质可得，然后根据，进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：∵与⊙O相切于点A， ∴， ∴ ， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴3， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴。 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，菱形中，，，连接，将绕点逆时针旋转得到，边分别交于、，边分别交于、． （1）设，，则______； （2）设，，求关于的函数表达式： （3）当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，再证明，得到，据此根据线段的和差关系可得答案； （2）设交于O，利用菱形的性质和勾股定理可求出；证明，，得到，，由（1）可知，，整理后即可得到关系式； （3）由（2）可知当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，是直角三角形，据此分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：如图所示，设交于O， 在菱形中，，， ，，，，， ， ， ， 设，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 由（1）可知，， ， 整理得：， 关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解；由（2）可知，， ∴当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，是直角三角形， 如图所示，当时，则， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，则 ， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，分母有理化，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确利用手拉手模型构造全等三角形以及熟练掌握半角模型是解题的关键． 27. 已知二次函数的图像经过点、，、是该二次函数图像上的两个动点，它们的横坐标分别为、． （1）求二次函数的表达式： （2）如图1，点在直线的下方，过点作轴于点，交于点，连接、、．若，证明：； （3）如图2，抛物线顶点为，过坐标原点，过点作轴的平行线，分别交直线、于点、．请问是否存在常数，使恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，根据题意得出，则，，进而分别表示出即可求解； （3）设，，设直线为，联立得出则，，进而得出即，从而得出，根据已知可得四点共圆，进而证明，得出垂直平分即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点、， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，代入、， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵，则，， ∴，，点到的距离为， 又∵， ∴点到的距离为， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵抛物线顶点为，则 设直线为， 联立 ∴ 设，， ∴，， 如图所示，过点作直线，过点作的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴ ∵ ∴ 即， ∴ 又∵则 ∴ 又∵ ∴四点共圆， 又∵， ∴ ∴ ∴垂直平分 又 ∴，即． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，一次函数与抛物线交点问题，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的面积问题，正切的定义；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期初中学业水平调研测试九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 一元二次方程解为（ ） A. B. C. ， D. 无解 3. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，点、点分别在边、上，且，若，，则长为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，分别是的切线，、分别为切点，点是上一点，且，则为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆周角所对的弧相等 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 三点确定一个圆 D. 相似三角形的面积之比等于相似比 9. 如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 10. 已知二次函数，在取不同值的情况下，部分函数值与的对应关系如下表：则下列结论： b … 0 2 4 … x … * 4 0 … y … * 0 0 8 … ①当时，有最小值；②无论取何值，二次函数的图像始终经过一个定点；③所有的最大值中，有最小值；④当时，的值始终为负数．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1空1分，第2空2分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 已知，则的值为______． 12. 如图，中，，，，则的值为______． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 14. 圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是______（结果保留）． 15. 请写出一个二次函数的表达式，满足当时，函数图像从左到右下降：______． 16. 如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则的值为______． 17. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为______． 18. 如图，中，，为上一点，，连接． （1）当时，的值为______； （2）的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19 计算 （1）计算：； （2）求锐角的度数：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． （2）若方程的两个实数根、满足，求实数值． 22. 如图，在中，点是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求． 23. 如图，河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少米？（结果保留根号） 24. 如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算． （1）在边上作一点，使点到两边所在的直线的距离相等，在边上作一点，使；（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）； （2）在（1）的条件下，若，，，则的长为______． 25. 如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求． 26. 如图，菱形中，，，连接，将绕点逆时针旋转得到，边分别交于、，边分别交于、． （1）设，，则______； （2）设，，求关于的函数表达式： （3）当以为三边长所构成的三角形是直角三角形时，直接写出的长． 27. 已知二次函数的图像经过点、，、是该二次函数图像上的两个动点，它们的横坐标分别为、． （1）求二次函数的表达式： （2）如图1，点在直线的下方，过点作轴于点，交于点，连接、、．若，证明：； （3）如图2，抛物线顶点为，过坐标原点，过点作轴平行线，分别交直线、于点、．请问是否存在常数，使恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $