专题11 导数与复数（考点精讲）-2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题11 导数与复数 【考纲要求】 1 导数与复数 1 【知识导图】 3 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 8 考点一：导数的概念及其意义 8 考点二：公式法求导数 9 考点三：利用导数的运算法则求函数的导数 10 考点四：复合函数的导数 11 考点五：利用导数求函数的单调区间 11 考点六：求函数的极值 12 考点七：求函数的最值 12 考点八：复数的分类及其应用 12 考点九：复数相等的条件 13 考点十：复数与复平面内点的关系 13 考点十一：复数的模 13 考点十二：复数代数表示式的加、减法运算 14 考点十三：复数加减法及复数模的几何意义 14 考点十四：复数代数表示式的乘法运算 14 考点十五：复数代数形式的除法运算 15 【考纲要求】 导数与复数 1.导数 （1）了解导数的定义，理解导数的几何意义。 （2）能用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则求简单函数的导数。 （3）能求简单复合函数的导数。 （4）导数的应用。 2.复数 1.掌握复数的代数表示及其几何意义。 2.理解两个复数相等的含义。 3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。 【考向预测】 1. 导数的概念及其意义 2. 公式法求导数 3. 利用导数的运算法则求函数的导数： 4. 复合函数的导数 5. 利用导数求函数的单调区间 6. 求函数的极值 7. 求函数的最值． 8. 复数的分类． 9. 复数相等 10. 复数与复平面内点的关系 11. 复数的模 12. 复数代数表示式的加、减法运算 13. 复数加减法及复数模的几何意义 14. 复数代数表示式的乘法运算 15. 复数代数形式的除法运算 【知识导图】 【知识清单】 一、导数 1. 极限 在研究t＝1时的瞬时速度时，我们发现，当Δt无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 事实上，由＝＝－4.9Δt－5可以发现，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也_无限趋近于0__，所以无限趋近于_－5__.这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的极限”，记为 ＝－5. 2. 曲线的切线 在研究抛物线的割线时，我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于_一个确定的位置__，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 3. 瞬时变化率(导数)的概念 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ 　. 4. 导数的几何意义 1)切线的定义． 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在P0处的切线． (2)导数的几何意义． 函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k, 即k＝ ＝f ′(x0)． 5. 导函数的概念 (1)定义：当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)． (2)记作f ′(x)或y′，即f ′(x)＝y′＝ . 6. 几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 7. 基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝_αxα－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝_cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝_－sin_x__ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝_ex__ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 　 8. 导数的四则运算法则 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ 　. 9. 复合函数的导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)求导法则：对于复合函数y＝f(g(x))，＝，即y对x的导数等于_y对u__的导数与_u对x__的导数的乘积． 10. 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数正负的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系： 单调 递增 在某个区间(a，b)上，如果_f_′(x)>0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增 单调 递减 在某个区间(a，b)上，如果_f_′(x)<0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减 11. 极小值、极大值的概念 极小值 极大值 定义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_f_′(x)<0__，右侧_f_′(x)>0__，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0；右侧_f_′(x)<0__，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 图象 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 12. 最大值与最小值 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的_极值__； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_最大的一个__是最大值，_最小的一个__是最小值． 二、复数 1．复数及相关概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__.全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集. 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__. 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__. 2. 复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示： 3. 复数的几何意义 4. 复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__.即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值). 5. 共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__. 6. 复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__. 7. 复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____. 8. 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__. 9. 复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝__＋i__(c＋di≠0). 【考点分类剖析】 考点一：导数的概念及其意义 例1．已知某物体的运动方程是s＝＋t，则当t＝3 s时的瞬时速度是( ) A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D．5 m/s 例2．求函数y＝x＋在x＝1处的切线斜率． 【变式探究】1．如图所示，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为( ) A．y＝5x－1 B．y＝－5x＋1 C．y＝x＋1 D．y＝－x－1 考点二：公式法求导数 例1．(1)①y＝；②y＝x·；③y＝3x；④y＝log5x. (2)下列结论正确的是( C ) A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝sin x，则y′＝－cos x C．若y＝，则y′＝－ D．若y＝，则y′＝ 例2．曲线y＝在点处的切线方程为( ) A．4x－4y＋2－1＝0 B．4x－4y＋1＝0 C．4x－4y＋2－＝0 D．4x＋4y－3＝0 (2)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P处的切线方程为_ __. 【变式探究】1．(1)已知函数f(x)＝sin x，则f ′等于( ) A．0　　 B． C．　　 D． (2)设函数f(x)＝x2，f ′(x0)＝2，则x0＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2. 经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程． 考点三：利用导数的运算法则求函数的导数 例1．函数 f(x)＝x＋的导数 f ′(x)＝( ) A．1－ B．1－ C．1＋ D．1＋ 例2．函数y＝x2sin x的导数为( ) A．y′＝2x＋cos x B．y′＝x2cos x C．y′＝2xcos x D．y′＝2xsin x＋x2cos x 【变式探究】1．函数y＝的导数是( ) A．y′＝－ B．y′＝－sin x C．y′＝－ D．y′＝－ 2．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f ′的值为( ) A. B．1 C．－1 D．0 考点四：复合函数的导数 例1．求下列函数的导数： (1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1； (3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sin； 【变式探究】1．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝esin x； (3)y＝sin2. 考点五：利用导数求函数的单调区间 例1．函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) 例2．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝2x－ln x； 【变式探究】1．函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是( ) A. B． C. D． 考点六：求函数的极值 例1．求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0<x<2π)； 【变式探究】1．求函数y＝3x3－x＋1的极值． 考点七：求函数的最值 例1．y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.　　　 B．2 C．－1　　　 D．4 【变式探究】1．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( ) A．11　　 B．－70 C．－14　　 D．21 考点八：复数的分类及其应用 例1．已知复数z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.试求当m为何值时， (1)z是实数？ (2)z是虚数？ (3)z是纯虚数？ [分析]　根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件. 【变式探究】1．m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 考点九：复数相等的条件 例1．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y. 【变式探究】1．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　 　) A．1　　　　 B．1或－4 C．－4　　 D．0或－4 (2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为__ __. 考点十：复数与复平面内点的关系 例1．已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上； (2)Z在第二象限； (3)Z在抛物线y2＝4x上. 【变式探究】1．(1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　 　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 (2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(　 　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 考点十一：复数的模 例1．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，求|z1|及|z2|并比较大小； 【变式探究】1．若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为__ __. 考点十二：复数代数表示式的加、减法运算 例1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝__ __. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝__ __. 【变式探究】1．(1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝__ __. (2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝__ __. 考点十三：复数加减法及复数模的几何意义 例1．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求 (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度. 【变式探究】1. 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长. 考点十四：复数代数表示式的乘法运算 例1．若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　 　) A．0　　 B．1　　 C．　　 D．2 (2)设z＝i(2＋i)，则＝(　 　) A．1＋2i　　 B．－1＋2i C．1－2i　　 D．－1－2i (3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　 　) A．(－∞，1)　　 B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)　　 D．(－1，＋∞) 【变式探究】1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　 　) A．2－13i　　 B．13＋2i C．13－13i　　 D．－13－2i (2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　 　) A．i(1＋i)2　　 B．i2(1－i) C．(1＋i)2　　 D．i(1＋i) 考点十五：复数代数形式的除法运算 例1．＝(　 　) A．1　　 B．－1　　 C．i　　 D．－i (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　 　) A．3＋5i　　 B．3－5i C．－3＋5i　　 D．－3－5i 【变式探究】1. 在复平面内，复数的对应点位于(　 　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 (2)计算：＝__－2＋i__. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 导数与复数 【考纲要求】 1 导数与复数 1 【知识导图】 3 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 8 考点一：导数的概念及其意义 8 考点二：公式法求导数 9 考点三：利用导数的运算法则求函数的导数 12 考点四：复合函数的导数 13 考点五：利用导数求函数的单调区间 13 考点六：求函数的极值 14 考点七：求函数的最值 16 考点八：复数的分类及其应用 16 考点九：复数相等的条件 18 考点十：复数与复平面内点的关系 18 考点十一：复数的模 19 考点十二：复数代数表示式的加、减法运算 20 考点十三：复数加减法及复数模的几何意义 20 考点十四：复数代数表示式的乘法运算 21 考点十五：复数代数形式的除法运算 22 【考纲要求】 导数与复数 1.导数 （1）了解导数的定义，理解导数的几何意义。 （2）能用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则求简单函数的导数。 （3）能求简单复合函数的导数。 （4）导数的应用。 2.复数 1.掌握复数的代数表示及其几何意义。 2.理解两个复数相等的含义。 3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。 【考向预测】 1. 导数的概念及其意义 2. 公式法求导数 3. 利用导数的运算法则求函数的导数： 4. 复合函数的导数 5. 利用导数求函数的单调区间 6. 求函数的极值 7. 求函数的最值． 8. 复数的分类． 9. 复数相等 10. 复数与复平面内点的关系 11. 复数的模 12. 复数代数表示式的加、减法运算 13. 复数加减法及复数模的几何意义 14. 复数代数表示式的乘法运算 15. 复数代数形式的除法运算 【知识导图】 【知识清单】 一、导数 1. 极限 在研究t＝1时的瞬时速度时，我们发现，当Δt无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 事实上，由＝＝－4.9Δt－5可以发现，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也_无限趋近于0__，所以无限趋近于_－5__.这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，＝的极限”，记为 ＝－5. 2. 曲线的切线 在研究抛物线的割线时，我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于_一个确定的位置__，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 3. 瞬时变化率(导数)的概念 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ 　. 4. 导数的几何意义 1)切线的定义． 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在P0处的切线． (2)导数的几何意义． 函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k, 即k＝ ＝f ′(x0)． 5. 导函数的概念 (1)定义：当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)． (2)记作f ′(x)或y′，即f ′(x)＝y′＝ . 6. 几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 7. 基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝_αxα－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝_cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝_－sin_x__ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝_ex__ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 　 8. 导数的四则运算法则 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ 　. 9. 复合函数的导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)求导法则：对于复合函数y＝f(g(x))，＝，即y对x的导数等于_y对u__的导数与_u对x__的导数的乘积． 10. 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数正负的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系： 单调 递增 在某个区间(a，b)上，如果_f_′(x)>0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增 单调 递减 在某个区间(a，b)上，如果_f_′(x)<0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减 11. 极小值、极大值的概念 极小值 极大值 定义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_f_′(x)<0__，右侧_f_′(x)>0__，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0；右侧_f_′(x)<0__，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 图象 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 12. 最大值与最小值 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的_极值__； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_最大的一个__是最大值，_最小的一个__是最小值． 二、复数 1．复数及相关概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__.全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集. 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__. 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__. 2. 复数的分类 1．复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示： 3. 复数的几何意义 4. 复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__.即|z|＝|a＋bi|＝____，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值). 5. 共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__. 6. 复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__. 7. 复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是____，与z1－z2对应的向量是____. 8. 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__. 9. 复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝__＋i__(c＋di≠0). 【考点分类剖析】 考点一：导数的概念及其意义 例1．已知某物体的运动方程是s＝＋t，则当t＝3 s时的瞬时速度是( C ) A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D．5 m/s [解析]　∵Δs＝＋(3＋Δt)－－3＝－3＋Δt ＝＋(Δt)2＋4Δt， ∴＝(Δt)2＋Δt＋4， ∴ ＝ ＝4.故选C. 例2．求函数y＝x＋在x＝1处的切线斜率． [解析]　因为Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋1) ＝Δx＋－1， 所以＝1－， 所以k＝ ＝ ＝0. 【变式探究】1．如图所示，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( B ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为( A ) A．y＝5x－1 B．y＝－5x＋1 C．y＝x＋1 D．y＝－x－1 [解析]曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝ ＝5，f(1)＝4.由点斜式得切线方程为y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1. 考点二：公式法求导数 例1．(1)①y＝；②y＝x·；③y＝3x；④y＝log5x. (2)下列结论正确的是( C ) A．若y＝cos x，则y′＝sin x B．若y＝sin x，则y′＝－cos x C．若y＝，则y′＝－ D．若y＝，则y′＝ [解析]　(1)①y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. ③y′＝(3x)′＝3xln 3. ④y′＝(log5x)′＝. (2)∵(cos x)′＝－sin x，∴A不正确； ∵(sin x)′＝cos x，∴B不正确； ∵()′＝， ∴D不正确．故选C. 例2．曲线y＝在点处的切线方程为( B ) A．4x－4y＋2－1＝0 B．4x－4y＋1＝0 C．4x－4y＋2－＝0 D．4x＋4y－3＝0 (2)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P处的切线方程为_x＋y－2＝0__. [解析]　(1)由于y＝，所以y′＝，于是＝＝1，所以曲线在点处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0. (2)由题意知，y′＝ex，曲线在点(0,1)处的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．由题意知k1k2＝－1，所以k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即点P的坐标为(1,1)，k2＝－1.点P处的切线方程为x＋y－2＝0. 【变式探究】1．(1)已知函数f(x)＝sin x，则f ′等于( B ) A．0　　 B． C．　　 D． (2)设函数f(x)＝x2，f ′(x0)＝2，则x0＝( B ) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　(1)∵f(x)＝sin x， ∴f ′(x)＝cos x， ∴f ′＝cos ＝，故选B. (2)∵f ′(x)＝2x， ∴f ′＝2x0＝2， 解得x0＝1. 故选B. 2. 经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程． 解：易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为12x－y－16＝0. 当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x. ∵A在曲线上，∴y0＝x，∴＝3x， ∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，∴x0＝－1或x0＝2(舍去)， ∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x－y－16＝0和3x－y＋2＝0. 考点三：利用导数的运算法则求函数的导数 例1．函数 f(x)＝x＋的导数 f ′(x)＝( A ) A．1－ B．1－ C．1＋ D．1＋ [解析] f ′(x)＝′＝x′＋′＝1－. 例2．函数y＝x2sin x的导数为( D ) A．y′＝2x＋cos x B．y′＝x2cos x C．y′＝2xcos x D．y′＝2xsin x＋x2cos x [解析]y′＝(x2sin x)′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. 【变式探究】1．函数y＝的导数是( C ) A．y′＝－ B．y′＝－sin x C．y′＝－ D．y′＝－ [解析] (3)y′＝′ ＝ ＝ ＝－. 2．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f ′的值为( D ) A. B．1 C．－1 D．0 【详解】因为f ′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，所以f ′＝0，故选D. 考点四：复合函数的导数 例1．求下列函数的导数： (1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1； (3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sin； [解析]　(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则＝2u·(－2) ＝－4(－2x＋1)＝8x－4. (2)设y＝eu，u＝x－1，则＝eu·1＝ex－1. (3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则＝＝. (4)设y＝2sin u，u＝3x－，则＝2cos u×3＝6cos. 【变式探究】1．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝esin x； (3)y＝sin2. [解析]　(1)y＝，设，u＝1－2x2， 则＝·(－4x)＝. (2)设u＝sin x，y＝eu，y′＝eu，u′＝cos x， ∴y′＝esin x·cos x. (3)由题意得y＝，设t＝cos ，u＝4x＋，则t＝cos u，则＝－4sin u＝－4sin. 故y′x＝2sin. 考点五：利用导数求函数的单调区间 例1．函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是( C ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) [解析]　 f ′(x)＝(x＋1)ex， 当x<－1时，f ′(x)<0，函数单调递减． 例2．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝2x－ln x； [解析]　(1)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 令f ′(x)>0，得x<－1或x>1， 令f ′(x)<0，得－1<x<1. ∴f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)；f(x)的减区间是(－1,1)． (2)由x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． f ′(x)＝2－，令2－>0，解得x>；令2－<0，得0<x<.所以f(x)的增区间是；减区间是. 【变式探究】1．函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是( D ) A. B． C. D． [解析]f(x)＝x－2sin x＋1，令f ′(x)＝1－2cos x>0， 可得<x<π， 故f(x)在(0，π)上的单调递增区间为. 考点六：求函数的极值 例1．求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0<x<2π)； [解析]　(1)函数f(x)的定义域为R；f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝2. 当x变化时， f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值， 且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16. 当x＝2时，函数f(x)有极小值， 且f(2)＝23－12×2＝－16. (2)f ′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x) ＝cos x＋cos2x－sin2x ＝cos x＋cos2x－(1－cos2x) ＝2cos2x＋cos x－1 ＝(2cos x－1)(cos x＋1)． 令f ′(x)＝0，得cos x＝或cos x＝－1. 当0<x<2π时，x1＝，x2＝π，x3＝. 当x在区间(0,2π)内变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x π f ′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  0  极小值 －  故当x＝时，f(x)有极大值为； 当x＝时，f(x)有极小值为－. 【变式探究】1．求函数y＝3x3－x＋1的极值． [解析]　y′＝9x2－1，令y′＝0，解得x1＝，x2＝－. 当x变化时，y′和y的变化情况如下表： x － y′ ＋ 0 － 0 ＋ y 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此，当x＝－时，y有极大值，并且y极大值＝. 而当x＝时，y有极小值，并且y极小值＝. 考点七：求函数的最值 例1．y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( C ) A.　　　 B．2 C．－1　　　 D．4 [解析]　(1)y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令y′＝0解得x＝或x＝－1. 当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2； 当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，选C. 【变式探究】1．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( A ) A．11　　 B．－70 C．－14　　 D．21 [解析]　函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9， 令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3， 由f(－4)＝－70；f(－1)＝11； f(3)＝－21；f(4)＝－14； 所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11. 考点八：复数的分类及其应用 例1．已知复数z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.试求当m为何值时， (1)z是实数？ (2)z是虚数？ (3)z是纯虚数？ [分析]　根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件. [解析]　(1)当z是实数时，应有＝0， 即解得m＝4或－2； (2)当z是虚数时，应满足≠0， 即因此m≠4，且m≠－2，且m≠0； (3)当z是纯虚数时，应满足 解得m＝2． 【变式探究】1．m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [解析]　(1)由条件得 ∴ ∴当m＝5时，z是实数. (2)由条件得 ∴， ∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数. (3)由条件得 ∴ ∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 考点九：复数相等的条件 例1．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y. [分析]　因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值. [解析]　设y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i， 整理得(3x－10)＋i＝bi－3i， 由复数相等的充要条件得解得 ∴x＝，y＝4i. 【变式探究】1．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　C　) A．1　　　　 B．1或－4 C．－4　　 D．0或－4 (2)已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为__－1__. [解析]　(1)易知 解得a＝－4． (2)∵z＝0，∴， 解得a＝－1． 考点十：复数与复平面内点的关系 例1．已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上； (2)Z在第二象限； (3)Z在抛物线y2＝4x上. [分析]　根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围). [解析]　因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3). (1)若点Z在实轴上，则有2a－3＝0，解得a＝. (2)若点Z在第二象限，则有 即解得<a<2． (3)若点Z在抛物线y2＝4x上，则有(2a－3)2＝4(a2－4)，整理得12a－25＝0，解得a＝. 【变式探究】1．(1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　C　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 (2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于(　B　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 [解析]　(1)z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. (2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当<m<1时，P在第四象限，当m＝时，P在y轴上，当m＝1时，P在x轴上，故选B． 考点十一：复数的模 例1．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，求|z1|及|z2|并比较大小； [解析]|z1|＝|＋i|＝＝2， |z2|＝＝1， 所以|z1|>|z2|. 【变式探究】1．若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为____. [解析]　∵z为实数， ∴a2－a－6＝0， ∴a＝－2或3． ∵a＝－2时，z无意义， ∴a＝3， ∴z1＝2－5i， ∴|z1|＝. 考点十二：复数代数表示式的加、减法运算 例1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝__－2－i__. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝____. [分析]　直接运用复数的加减运算法则进行计算. [解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得x＝1，y＝0， 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝. 【变式探究】1．(1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝__－10i__. (2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝__3__. [解析]　(1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i. (2)由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i， 又z1＋z2是纯虚数，所以 解得a＝3． 考点十三：复数加减法及复数模的几何意义 例1．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求 (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度. [分析]　要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论. [解析]　(1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i. ∵＝，∴所表示的复数为－3－2i. (2)＝－. ∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝. 【变式探究】1. 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长. [解析]　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点， 所以有zM＝＝， 所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i， 因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i， 所以||＝|7＋2i|＝＝， 因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i， 所以||＝|5－12i|＝＝13． 故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13． 考点十四：复数代数表示式的乘法运算 例1．若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　D　) A．0　　 B．1　　 C．　　 D．2 (2)设z＝i(2＋i)，则＝(　D　) A．1＋2i　　 B．－1＋2i C．1－2i　　 D．－1－2i (3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　B　) A．(－∞，1)　　 B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)　　 D．(－1，＋∞) [分析]　利用乘法公式进行运算. [解析]　(1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2． 故|z2－2z|＝|－2|＝2． 故选D． (2)因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以＝－1－2i.故选D． (3)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1，故选B． 【变式探究】1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　D　) A．2－13i　　 B．13＋2i C．13－13i　　 D．－13－2i (2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　C　) A．i(1＋i)2　　 B．i2(1－i) C．(1＋i)2　　 D．i(1＋i) [解析]　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D． (2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数； C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数； D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.故选C． 考点十五：复数代数形式的除法运算 例1．＝(　D　) A．1　　 B．－1　　 C．i　　 D．－i (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　A　) A．3＋5i　　 B．3－5i C．－3＋5i　　 D．－3－5i [分析]　复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行. [解析]　(1)＝＝＝－i.故选D． (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. 【变式探究】1. 在复平面内，复数的对应点位于(　B　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 (2)计算：＝__－2＋i__. [解析]　(1)＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限. (2)法一：＝＝＝－2＋i. 法二： ＝＝ ＝＝＝－2＋i. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$