精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一上学期第二次段考数学试题

丰城九中2024-2025学年高一年级上学期第2次段考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的另一种表示法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得且， 故函数的定义域为 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式． 故选：D 4. 某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ） A. 上述调查属于普查 B. 每名学生是总体的一个个体 C. 200名学生的视力是总体的一个样本 D. 1200名学生是总体 【答案】C 【解析】 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误； 对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误； 对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确； 对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. 9或 B. 81或 C. 9或 D. 81或 【答案】C 【解析】 【分析】两边取对数，然后根据指对函数运算法则计算即可. 【详解】由两边取对数得：， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D. 7. 小王同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的为（ ） A. ①④⑤ B. ①②④ C. ②③④ D. ②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用描点法画出函数图象，结合函数图象和函数的增减性的特征即可判断①②③④，将函数图象交点个数问题转化为方程的根的问题，利用判别式即可判断⑤. 【详解】函数的定义域为， 列表： 画出函数图象如图： 观察图象： ①该函数有最小值，正确； ②该函数图象与坐标轴无交点，正确； ③当时随的增大而增大，不正确； ④该函数图象关于轴对称，正确； ⑤令，整理得或， 因为， 所以直线与函数和各有两个交点， 所以直线与该函数图象有四个交点，故⑤错误； 综上，以上结论正确的有①②④. 故选：. 8. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”是假命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断A，由充分必要条件的定义判断BD，由全称命题的真假判断C． 【详解】选项A，全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定是“”，A错误； 选项B，时，如，但不成立，不是必要条件，B错； 选项C，时，不成立，C正确； 选项D，有一正一负根，即， 反之，时，，有两个不等实根且，一正一负根，D正确． 故选：CD． 10. 某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究“成果”如下，正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是非奇非偶函数 C. 对于任意的，都有 D. 对于任意的，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的性质求定义域判断A；利用奇偶性定义判断B；根据对数运算性质判断C、D. 【详解】由解析式知，即函数定义域为，A对； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由，显然是奇函数，B错； 由，，C对； 由，，D对. 故选：ACD 11. 设表示不超过的最大整数，如.函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域是 D. 的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意分，和三种情况，化简函数解析式，进而逐项分析判断即可. 【详解】当时，，； 当时，，； 当时，，； 对于选项A：，故A正确； 对于选项B： 因为，，即， 可知在上不单调，故B错误； 对于选项C：当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：的值域是，故C正确； 对于选项D：令， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：的定义域为，故D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是______.（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】 【解析】 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】由随机数表法可知，抽取的前颗种子的编号依次为：、、、， 故抽到的第颗种子的编号是. 故答案为：. 13. 已知定义在上的偶函数，且当时，，那么时，实数m的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】 由题可得在上为增函数，且，根据偶函数的性质即可求解. 【详解】∵偶函数满足（）， 函数在上为增函数，且， ∴不等式，即． 即或， 解得或． 故答案为：或． 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方程等价于或所以方程有5个不同的实数根等价于函数与直线和共有5个交点即可. 【详解】当时，；当时，， 作出函数图像如下： 方程或 方程有5个不同的实数根函数与直线和共有5个交点， 因为，所以或，解得或， 所以的取值范围为：. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，对其平方即可得到结果. （2）由题意得到的表达式，再写出函数的解析式，利用换元求解即可得到最小值. 【小问1详解】 因为，所以，对其两边平方得，即 【小问2详解】 ，， 设，则，当且仅当时取等号；所以，所以，因为函数在时单调递增， 所以当即时，取最小值为 16. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： （1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的的值； （3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 【答案】（1）50 （2）11；3 （3）32 【解析】 【分析】（1）根据“一般”档次占比与对应人数即得； （2）根据“良好”档次占比与对应人数建立方程，求解即得的值，再由学生总数求得的值； （3）先算出“优秀”档次占比，再由总人数即可计算估计出“优秀”人数. 【小问1详解】 由统计图表可知：当时，“一般”档次占比，对应的学生数为，故学生总人数为人； 【小问2详解】 由统计图表可知：当时，“良好”档次占比，即，解得， 又总人数为人，故，即，； 【小问3详解】 由统计图表可知：“优秀”档次占比为， 故该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数约为人. 17. 已知函数（为常数）是奇函数. （1）求b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意，关于t的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）1 （2）在R上为减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义计算参数并验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）利用函数的单调性与奇偶性去函数符号计算不等式即可. 【小问1详解】 对于，易知其定义域为， 又是奇函数，所以， 于是，所以， 此时，符合题意，所以； 【小问2详解】 在R上为减函数，证明如下： ， 任取，则， 易知，所以， 所以，从而在R上为减函数； 【小问3详解】 因为是奇函数可知， 所以由，得， 又因为是减函数， 所以，即对任意成立． 于是，解得， 即k的取值范围是. 18. 已知函数，关于的不等式的解集为，且. （1）求的值； （2）是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）3； （2）或. 【解析】 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解． 【小问1详解】 由可得，又，∴， 又∵的解集为，∴， ∵，∴，即， 解得或，∵，∴； 【小问2详解】 由（1）可得， 令，则， 设， ①当时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意． 19. 设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为.现已知函数，常数. （1）对函数，当时，，求的取值范围； （2）求的最大值； （3）设函数，若的最大值为3，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）参变分离后利用对勾函数的图象和函数与方程的关系求解即得； （2）通过和两类情况讨论，借助一元二次方程根的分布即可求解； （3）通过，，，，五种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，即当时，有个解，参变分离得： ，由函数的图象， 可得： 【小问2详解】 当时，显然为增函数，此时； 当时，，设，则， 故当，（即）时，在上单调递减， 当，（即）时，在上单调递增. 综上可知，在单调递增，且； 在上单调递减，且，函数的图象如图. 由图知，关于的根的分布如下： ① 当时，恰有一个根； ② 当，恰有两根，，； ③ 当，恰有3个根，，，； ④ 当时，恰有2个根； ⑤ 当时，恰有1个根. 故当时，取到最大值3. 【小问3详解】 设，则，其中的根的分布同（1）， 接下来解方程注意， ①当时，在上单调递增，且，故，不合题意； ②当时，在上单调递减，且，故，不合题意； ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， ，故，不合题意； ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 此时取， 则的三个根恰一一对应的三个根，且没有其他根， 故此时，而对的其它取值，，故的最大值为3； ⑤当时，在上单调递增，且，， 故只需保证当时，的三个根落在的值域中，即，解得：，符合题意； 综上所述，当且仅当时，的最大值为3. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025学年高一年级上学期第2次段考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的另一种表示法是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ） A. 上述调查属于普查 B. 每名学生是总体的一个个体 C. 200名学生的视力是总体的一个样本 D. 1200名学生是总体 5. 已知，则（ ） A. 9或 B. 81或 C. 9或 D. 81或 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 小王同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的为（ ） A. ①④⑤ B. ①②④ C. ②③④ D. ②④⑤ 8. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”的必要条件 C. 命题“”是假命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究“成果”如下，正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是非奇非偶函数 C. 对于任意的，都有 D. 对于任意的，都有 11. 设表示不超过的最大整数，如.函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域是 D. 的定义域为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是______.（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 13. 已知定义在上的偶函数，且当时，，那么时，实数m的取值范围为______． 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值. 16. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当时，为“偏少”；当时，为“一般”；当时，为“良好”；当时，为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： （1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的的值； （3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数. 17. 已知函数（为常数）是奇函数. （1）求b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意，关于t的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 18. 已知函数，关于的不等式的解集为，且. （1）求的值； （2）是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 设，对一般的函数，定义集合所含元素个数为的“等值点数”，记为.现已知函数，常数. （1）对函数，当时，，求的取值范围； （2）求的最大值； （3）设函数，若的最大值为3，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $