精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属中学等学校2024-2025学年八年级上学期1月期末联考数学试题

2024－2025学年第一学期八年级期末考试 《数学》试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，此选项不合题意； B、不是轴对称图形，此选项不合题意； C、是轴对称图形，此选项符合题意； D、不是轴对称图形，此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 古语有云“滴水石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，石头上会形成一个深为的小坑．将数据用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用科学记数法表示绝对值小于的正数，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数决定． 【详解】解：， 故选． 【点睛】本题考查了科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，确定和的值是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各自的运算，依据法则计算判断即可． 【详解】∵ 不是同类项， ∴无法计算，不符合题意； ∵ ， ∴计算错误，不符合题意； ∵， ∴计算错误，不符合题意； ∵， ∴符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了整式的乘法，除法，加减，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 4. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ）． A 5米 B. 8米 C. 27米 D. 18米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形三边关系．根据题意利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边即可选出本题答案． 【详解】解：∵米，米， ∴，即：， 故选：C． 5. 如图，在和中，点、、在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A、，，，由“”能判定，不符合题意； B、，则，再结合，，由“”能判定，不符合题意； C、，，，由“”能判定，不符合题意； D、，，，由“”不能判定，符合题意； 故选：D． 6. 小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转度，接着沿直线前进10米后，再向左转度……如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则的度数为（ ） A. 36° B. 40° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先求出当小敏第一次回到点时，她走过的路径是一个正十边形，再根据正多边形的外角和等于求解即可得． 【详解】解：因为， 所以当小敏第一次回到点时，她走过的路径是如图所示的正十边形， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的外角和，熟练掌握正多边形的外角和等于是解题关键． 7. 下列各式中的变形，错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的符号法则，可判断A、D，根据分式的基本性质可判断B、C． 【详解】解：A. 根据分式的符号法则分式的分子，分母，分式本身三处符号，任意改变两处的符号，分式的值不变，故选项A正确， B. 根据分式的基本性质，分子、分母都乘以或除以不为0的数或整式，而不是加或减数或整式，故选项B错误； C. 根据分式的基本性质，分子、分母都乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变，故选项C正确 D. 根据分式的符号法则分式的分子，分母，分式本身三处符号，任意改变两处的符号，分式的值不变，故选项D正确． 故选择B． 【点睛】本题考查分式的符号法则，和分式的基本性质将分式恒等变形，掌握分式的符号法则，和分式的基本性质是解题关键． 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，线段的垂直平分线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． ①根据题目信息，结合尺规作角平分线的知识即可判断①的正误； ②由三角形内角和定理和角平分线的知识可得，再等角对等边的知识可得到，结合线段垂直平分线的判定即可判断②的正误； ③由，结合直角三角形两锐角互余可得到的度数； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半以及三角形的面积公式求出和的面积，计算两个面积的比值即可判断④的正误，进而完成本题的解答． 【详解】解：①根据尺规作角平分线的知识可知是的平分线，故①正确； ②在中，，， ， 是的平分线， ． ， ， 点D在的垂直平分线上，故②正确； ③． ，故③正确； ④在中，， ， ，， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 9. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A. 1 B. 1或 C. 或 D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键． 根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解： 分式方程两边同乘以得： 令最简公分母为0，即解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：时，原分式方程无解． 故选：A． 10. 在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交于点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 使分式有意义的x满足______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：使分式有意义的满足， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件列出不等式求解是解决问题的关键． 12. 若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，先将等式左边化成同底数幂相乘，得到，求出的值，代入即可． 【详解】 即： 解得： 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，然后算出ab的值即可． 【详解】∵点M（a，b）与点N（3，-1）关于x轴对称， ∴a=3，b=1， ∴ab=31=3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握关于x轴对称点的坐标特点． 14. 如图，点B、C、E在同一条直线上，，，，，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意证明，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到答案； 【详解】解：∵∠B=∠E=∠ACF=60°， ∠BCA+∠ACF=∠CFE+∠E， ∠ACF+∠ECF=∠B+∠BAC ∴∠BCA=∠CFE ∠BAC=∠ECF ∴ ∴BC=EF，AB=CE ∴BE=BC+CE=EF+AB=5+4=9 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及了三角形的外角定理等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 15. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴，的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ， 是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， 由垂线段最短可知，当轴，的值最小， ∵点的坐标是， ， ， 又， ， 则在中，， 所以在运动过程中，的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式，多项式除以单项式，然后计算加减即可； （2）首先将括号内通分，然后计算加减，然后将除法转化成乘法计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. （1）分解因式： ① ② （2）解方程： ① ② 【答案】（1）① ② （2）① ②无解 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解和解分式方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）①原式先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； ②原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． （2）①方程两边同乘以，去分母化为整式方程，求出整式方程解，再进行检验、判断即可； ②方程两边同乘以，去分母化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验、判断即可． 【详解】解：（1）① ； ② （2）① 方程两边同乘得， ， 解得 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． ② 方程两边同乘得，， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程无解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标； （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，求一次函数解析式，作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点，该点即为所求，先求出直线的解析式，然后求出点P的坐标即可； （3）根据点与点关于轴对称，求出，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点P，则点P即为所求作的点． 连接，则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线接的解析式为，则有 ， 解得：， ∴， 当时，则有， 解得：， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴． 19. 先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据根式混合运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 因为， 所以， 所以； 当时，原式． 20. 某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表： 进价（元/个） 单个售价（元/个） 成套售价（元/套） 茶壶 24 a 55 茶杯 4 a﹣30 备注：（1）一个茶壶和和四个茶杯配成一套（如图）； （2）利润=（售价﹣进价）×数量 （1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个; （2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同． ①求表中a的值; ②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套. 【答案】（1）购进茶壶30个，茶杯170个；（2）①a=36；②15套． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可得出结论； （2）①根据题意列出分式方程求解即可； ②设成套销售了m套，根据题意列出等式求解即可. 【详解】解：（1）设购进茶壶x个，茶杯y个，可得：， 解得：， 答：购进茶壶30个，茶杯170个； （2）①由题意得：， 解得：a=36， ②设成套销售了m套，根据题意可得： （55﹣24﹣4×4）m+（36﹣24）（20﹣m）+（6﹣4）（100﹣4m）=365， 解得：m=15， 答：成套销售了15套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组与分式方程的应用. 21. 如图，点在边上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据推出即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵ ∴（） 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 22. 把完全平方公式，适当地变形，可解决很多数学问题，例如：若，求的值． 解： 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求代数式的最小值，并根据此时、的值求出的值． 【答案】（1）8 （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）先根据完全平方公式变形求出，然后再求出结果即可； （3）根据完全平方公式将变形为，根据二次方的非负性求出最小值时，，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，取得最小值3， ∴． 23. 如图，小明在研究轴对称图形问题时，遇到如下问题：在等腰直角中，，把绕点旋转，在旋转过程中，过点作，垂足为点，直线交于点． （1）如图1，小明发现：当旋转到内部时，线段、、存在某种数量关系，请你帮小明直接写出这个数量关系：______． （2）如图2，当射线在内部、射线在外部时，请你求出线段、、之间的数量关系，并说明理由． （3）在（1）的条件下，若，则______． 【答案】（1） （2）；理由见解析 （3）10 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理 等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作交延长线于点 先判断出为等腰直角三角形 ，进而得出，得，即可得出； （2）过点作交于点，先判断出为等腰直角三角形 ，进而得出，得，即可得出； （3）由已知条件，得到，又为公共高 ，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：， 理由如下：过点作交延长线于点 ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形 ， 高为底边上的中线 ， 又 ， ， ， 又， ， ， ， 【小问2详解】 ， 理由如下：过点作交于点， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形 ， 高为底边上的中线 ， 又 ， ， 又 ， ， 又 ， ， ， ， 【小问3详解】 ，理由如下： 且 ， ， 又为公共高 ， ， ， ， 又 ， ， 故答案为：10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期八年级期末考试 《数学》试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 古语有云“滴水石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，石头上会形成一个深为的小坑．将数据用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ）． A. 5米 B. 8米 C. 27米 D. 18米 5. 如图，在和中，点、、在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转度，接着沿直线前进10米后，再向左转度……如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则的度数为（ ） A. 36° B. 40° C. 45° D. 60° 7. 下列各式中变形，错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A. 1 B. 1或 C. 或 D. 以上都不是 10. 在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交于点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 使分式有意义的x满足______． 12. 若，则______． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则值是_________． 14. 如图，点B、C、E在同一条直线上，，，，，则___________． 15. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. （1）分解因式： ① ② （2）解方程： ① ② 18. 如图，平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标； （3）若点与点关于轴对称，求的值． 19. 先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 20. 某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表： 进价（元/个） 单个售价（元/个） 成套售价（元/套） 茶壶 24 a 55 茶杯 4 a﹣30 备注：（1）一个茶壶和和四个茶杯配成一套（如图）； （2）利润=（售价﹣进价）×数量 （1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个; （2）已知甲顾客花180元购买茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同． ①求表中a的值; ②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套. 21. 如图，点在边上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 把完全平方公式，适当地变形，可解决很多数学问题，例如：若，求的值． 解： 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求代数式最小值，并根据此时、的值求出的值． 23. 如图，小明在研究轴对称图形问题时，遇到如下问题：在等腰直角中，，把绕点旋转，在旋转过程中，过点作，垂足为点，直线交于点． （1）如图1，小明发现：当旋转到内部时，线段、、存在某种数量关系，请你帮小明直接写出这个数量关系：______． （2）如图2，当射线在内部、射线在外部时，请你求出线段、、之间的数量关系，并说明理由． （3）在（1）的条件下，若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$