精品解析：广东省广州市增城区2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷

2024学年第一学期期末质量检测卷 九年级 数学 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分． 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. “掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若的半径为，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 不能确定 6. 如图，在中，，点B在x轴上，将绕点O旋转，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图像，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体，其在底片上的图像的宽是36mm，焦距是90mm，则物体的宽是（ ） A. 6mm B. 12mm C. 24mm D. 30mm 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）． A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于x的一元二次方程的解，则__________． 12. 如图，是两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ______． 13. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 14. 在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为________． 15. 如图，已知，，将以点O为位似中心，相似比为，放大得到，则顶点B的对应点的坐标为________． 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 三、解答题（本题共9个小题，共72分） 17. 用配方法解方程: 18. 如图，点A，B，C，D在上，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． （1）作出绕点顺时针旋转的； （2）直接写出点，，的坐标． 20. 某校开展征文活动，征文主题只能从“爱国”、“敬业”、“诚信”、“友善”四个主题中选择一个，每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将上面的条形统计图补充完整； （2）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有______名． （3）学生会宣传部有七年级的2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“主题征文”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 21. 如图，∠A＝∠D，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥AB交BD于点F． （1）求证：△CEF∽△DEC； （2）若EF＝3，EC＝5，求DF的长． 22. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线． （1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2． （1）求k和b的值； （2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝（k＜0）图象上，并说明理由． 24. 抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值； （3）将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值． 25. 如图，是内接于，是直径，，． （1）求的长； （2）点为的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末质量检测卷 九年级 数学 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分． 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. “掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即可解答． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷一次骰子，骰子向上一面的点数为6的事件是随机事件， 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， A、∵，∴点不在函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵，∴点不在函数图象上，故本选项不合题意； C、∵，∴点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、∵，∴点在函数图象上，故本选项合题意． 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选B． 5. 若的半径为，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在圆内． 故选C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 6. 如图，在中，，点B在x轴上，将绕点O旋转，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、中心对称图形，根据中心对称图形的性质得到点A与关于原点对称，再根据关于原点对称的点的坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：∵绕点O旋转， ∴点A与关于原点中心对称， ∵， ∴点的坐标为， 故选：C 7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 故选：A． 8. 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了赠送礼物问题，解题关键是理解题意，本题根据每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，那么x人，每人都赠送了张，据此列出方程即可． 【详解】解：∵每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念， ∴   故选：B ． 9. 利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图像，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体，其在底片上的图像的宽是36mm，焦距是90mm，则物体的宽是（ ） A. 6mm B. 12mm C. 24mm D. 30mm 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比，证明，得到，求出，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 得 故选：C． 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）． A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于x的一元二次方程的解，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．将代入已知方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：2． 12. 如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 13. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积为：． 故答案为： 14. 在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得出摸到红球的概率为0.4，从而得到，计算即可得解，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率为0.4， ∴， ∴m约为， 故答案为：． 15. 如图，已知，，将以点O为位似中心，相似比为，放大得到，则顶点B的对应点的坐标为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用位似图形坐标变化特征解答即可． 【详解】解：由位似图形坐标变化的特征可知： 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查位似图形坐标变化特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 三、解答题（本题共9个小题，共72分） 17. 用配方法解方程: 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，再配方，开方求解. 详解】解： ∴， 【点睛】本题考查配方法，解题的关键是清楚配方法的步骤. 18. 如图，点A，B，C，D在上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查弦和弧的关系，根据等弧对等弦得到，进而求解即可． 【详解】证明：∵在上，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． （1）作出绕点顺时针旋转的； （2）直接写出点，，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，写出点的坐标； （1）根据旋转的性质找到的对应点，，，顺次连接，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求 【小问2详解】 解：，， 20. 某校开展征文活动，征文主题只能从“爱国”、“敬业”、“诚信”、“友善”四个主题中选择一个，每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将上面的条形统计图补充完整； （2）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有______名． （3）学生会宣传部有七年级的2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“主题征文”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 【答案】（1）见解析 （2）360 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图，用样本估计总体数量． （1）用“诚信”的人数和除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出“友善”的人数后补全条形统计图 （2）用1200乘以样本中“友善”为主题的人数的百分比； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出“1男1女”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）， 所以以“友善”为主题的人数为（人）， 条形统计图补充： 【小问2详解】 解：， 所以估计选择以“友善”为主题的七年级学生有360名； 故答案为360； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中“1男1女”的结果数为8， 所以恰好选中“1男1女”的概率． 21. 如图，∠A＝∠D，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥AB交BD于点F． （1）求证：△CEF∽△DEC； （2）若EF＝3，EC＝5，求DF的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过CF∥AB得到，然后利用三角形内角和定理有，从而得出，外加对顶角，从而得出结论； （2）根据（1）的结论得到比例式，代入数据就可求出DF的长． 【小问1详解】 ∠A＝∠D， ，， ； CF∥AB， ， ； △CEF∽△DEC 【小问2详解】 △CEF∽△DEC， ； EF＝3，EC＝5， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．利用三角形内角和定理，结合平行线的性质，即可证出． 22. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线． （1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）直线BC与所作⊙O相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，以OA为半径画圆即可； （2）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义可得出∠CAD＝∠ODA，从而有OD∥AC，∠ODB＝∠C＝90°所以BC为⊙O的切线 【详解】解：（1）如图，⊙O为所作； （2）直线BC与所作⊙O相切． 理由如下：连接OD，如图， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴， ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为⊙O的切线． 【点睛】本题考查了尺规作图作圆，切线的判定定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2． （1）求k和b的值； （2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝（k＜0）的图象上，并说明理由． 【答案】（1）， （2）点C′在函数y＝（k＜0）的图象上，证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入可求出的值；将代入可求出的值； （2）由一次函数的解析式求出点坐标为．根据与的面积比为，得出为中点，利用中点坐标公式求出点坐标为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．根据证明△，得出，，又在第二象限，得出，进而判断点是落在函数的图象上． 【小问1详解】 解：将代入， 得，， ， 将代入， 得，， 解得，， 故所求和的值分别为，5； 【小问2详解】 点是落在函数的图象上．理由如下： ， 时，，解得， ． 与的面积比为， 为中点， ，， ． 如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为． 将绕点逆时针旋转，得到△， ，，． ． 在△与中， ， △， ，， 在第二象限， ， 点是落在函数的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握． 24. 抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值； （3）将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）用待定系数法求出线段所在的直线方程为：，由题意可设，其中，则，进而得到，从而即可得到答案； （3）分当过点时，直线与新图象有3个公共点，和当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，分别求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得： ∴二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵在图象上， ∴，即， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， 线段所在的直线方程为：， 如图1， ， 由题意可设，其中，则， ， 当时，长度的最大值为，此时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意得到如图2， ， 当过点时，直线与新图象有3个公共点，把代入得， 当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点， 由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于轴对称， 所以其解析式为， 所以方程组有一组解，消去得到的方程有两个相等的实数根，则， 所以， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 25. 如图，是内接于，是的直径，，． （1）求的长； （2）点为的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 【答案】（1） （2）①，见解析；②． 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，进而解，即可求解． （2）①如图：过点分别作，，垂足分别为点，．则，再证四边形为正方形可得，进而证明可得，再根据线段的和差可得；②由①得即进而说明，如图：连接并延长，交于点，即为的直径．则；如图：以为边构造等腰，且可得，最后根据弧长公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵是的直径 ∴， ∵，． ∴ 【小问2详解】 解：①，理由如下： 如图：过点分别作，，垂足分别点，． ． 由（1）得． 四边形为矩形． 平分， ，． 四边形正方形． ． ， ． ． ． ． ； ②由①得． ． ． ∴． ∵如图：连接并延长，交于点E， ∴为的直径． ∴． ∴． 如图：以为边构造等腰，且． ∴点P在以点Q为圆心，为半径的弧上运动． 过点Q作，垂足为H． ∴，． ∴． 当点从点运动到点时，点的运动路径为上的弧． 点的运动路径长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形、正方形的判定与性质、弧长公式、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $