7.1.1 两条直线相交（课件）-2024-2025学年人教版七年级数学下册

人教2024版 七年级数学下册 第7章 相交线 7.1.1 两条直线相交 联系生活实际，说一说直线与直线的位置关系. 相交 平行 情景导入 情景导入 在直线与直线相交时，你发现了什么？ 两直线相交有几个交点？形成了几个角？ 相交 平行 生活中的相交线 本节课是在学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识的基础上，进一步研究平面内两条直线相交形成4个角的位置和数量关系，为今后学习几何奠定了基础，同时也为证明几何题提供了一个示范作用，本节对于进一步培养学生的识图能力，激发学生的学习兴趣具有推动作用，所以本节课具有很重要的地位和作用。 2 教学目标 （1）理解对顶角和邻补角的概念，能从图中 辨别对顶角和邻补角 　　 （2）掌握“对顶角相等的性质”。 　　 （3）理解对顶角相等的说理过程。 　重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。 难点：写出规范的推理过程和对对顶角相等的探索。 课前活动 3 剪刀剪东西的过程中,你能说说∠AOC与∠AOD, 这对角的位置保持怎样的关系吗？∠AOC与∠BOD呢？ A O C B D ∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线. ∠AOC和∠AOD有一条公共边AO，且∠AOC的另一边是∠AOD另一边的反向延长线. 活动：握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 课前活动 3 讲授新课 4 1 2 1、对顶角 图中∠1与∠2的关系是什么？以及数量关系. 对顶角，相等，即∠1=∠2 方法总结 对顶角（vertical angles）：一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线，这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等（对顶角的性质）。对顶角是针对具有特殊位置的两个角的名称；对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系。 图中那个角互为对顶角？ 错 错 对 对顶角定义：如果两个角有一个公共定点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______. 反向延长线 ∠4 对顶角性质： ∵∠1和∠4互为对顶角 ∴∠1=∠4 讲授新课 4 讲授新课 4 1 2 如图，除了对顶角，有相等关系，图中∠3与∠2不难发现，他们互补，即 ∠3+∠2=180度，我们称这相邻且互补的角为邻补角。 3 4 方法总结 两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角称为互为邻补角. 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是互为对顶角 图中那些是邻补角 （1） （2） （3） 1 2 1 1 2 2 （ （ （ （ （ （ 错 错 对 邻补角定义：如果两个角有一条公共边，它们的另一边为____________，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________. 反向延长线 ∠2, ∠3 ∵∠1和∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° 符号语言表达 讲授新课 4 要点精析： (1)邻补角是成对出现的，而且互为邻补角，单独一个 角不能成为邻补角； (2)邻补角是集数形结合为一体的概念之一，它既指明 了位置关系，又包含了数量关系；“邻”指位置相 邻；“补”指两个角之和为180°. (3)互为邻补角的“两要素”： ①有一条边是公共边； ②另一边互为反向延长线． 讲授新课 4 握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开纸张.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 问题1：两条相交的直线形成了几个角？ 问题2：每两个角之间形成了怎样的位置关系？ 问题3：每两个角之间形成了怎样的数量关系？ 3 1 2 4 思考 剪刀剪东西的过程中，你能说说∠AOC与∠AOD，∠AOC与∠BOD这两对角的位置保持怎样的关系吗？还有类似的几对角吗？ ∠AOC和∠AOD有一条公共边AO，且∠AOC的另一边是∠AOD另一边的反向延长线. ∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线. 除此之外，还有∠AOC和∠COD， ∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC. 除此之外，还有∠AOD和∠BOC. 你能归纳出这两种类型的角的定义吗？ 1.邻补角的定义 邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为 ，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有 . 邻补角几何语言： ∵∠1和∠2互为邻补角（已知） ∴∠1+∠2=180°（邻补角互补） 反向延长线 ∠2、∠4 2.对顶角的定义 对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是 . 反向延长线 ∠3 对顶角几何语言：？ 在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角 . 问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？ 即：邻补角互补. 思考：你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关系吗？ 和为180° 已知：直线AB与CD相交于O点(如图)，试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4. 解：∵直线AB与CD相交于O点 ∴∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°（邻补角互补） ∴∠1=∠3（同角的补角相等） 同理可得∠2=∠4 几何语言： ∵直线AB与CD相交于O点 或 ∠1和∠3是互为对顶角 ∴∠1=∠3.（对顶角相等） 1.下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？ （1） （2） （3） 1 2 1 1 2 2 （ （ （ （ （ （ 2.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 方法总结：邻补角、对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 例题讲解 1.若∠1与∠2是对顶角，∠1=16°，则∠2=____°； 若∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4=_____°. 2.若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= °. 3.一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个. 无数 16 180 180 1 2 例题讲解 4.如图，直线a、b相交，∠1:∠2=2:7 ， 求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：设∠1=2x°，则∠2=7x° ∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180°（邻补角互补） 即 2x+7x=180 解得：x=20 ∴∠1=40°，∠2=140° ∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140°（对顶角相等） 答：∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 例题讲解 解：方法一： 检测∠1是否为45°, 理由：邻补角互补. 2 方法二： 检测∠2是否为135°, 理由：对顶角相等. 1.在下图中，花坛转角（红色标注的角）按图纸要求为135°；施工结束后，要求你检测它是否合格？请你设计检测的方法. 思维拓展 随堂练习 5 随堂练习 5 1、若∠1与∠2是对顶角，∠1=16°，则∠2=____°； 若 ∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4 =_____° 2、若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则 ∠2+∠3= ° 3、（小归纳）一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个。 16 180 180 1 2 无数 随堂练习 5 随堂练习 5 4.如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数. 1 3 a b O 2 4 解：∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° 即∠2=140° 又∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 变式3：如图,直线a、b相交，∠1:∠2=2:7 ， 求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 变式2：如图,直线a、b相交，∠2是∠1的 3.5倍， 求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 变式1：如图,直线a、b相交，∠1+∠3＝80°，求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 变式训练 变式1：如图,直线a、b相交，∠1+∠3＝80°，求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3，∠2=∠4 又∵∠1+∠3=80° ∴∠1=∠3=40° ∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° 即∠2=140° ∴∠2=∠4=140° 答：∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 变式2：如图,直线a、b相交，∠2是∠1的 3.5倍， 求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：设∠1=x°，则∠2=3.5x° ∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° 即 x+3.5x=180 ∴∠1=40°，∠2=140° ∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 答：∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 变式3：如图,直线a、b相交，∠1:∠2=2:7 ， 求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：设∠1=2x°，则∠2=7x° ∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° 即 2x+7x=180 解得：x=20 ∴∠1=40°，∠2=140° ∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 答：∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 5. 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数. 注意：隐含条件“对顶角相等”. 解：∵∠BOC=∠1+∠BOF=110° ∴∠BOF=70° 又∵∠BOF与∠2是对顶角 ∴∠BOF=∠2=70° 随堂练习 5 解：∵∠DOB=∠ ，（ ） =80°（已知） ∴∠DOB= 　°（等量代换） 又∵∠1=30°（ ） ∴∠2=∠ -∠ = - = ° 如图，直线AB、CD相交于点O， ∠AOC=80°，∠1=30°；求∠2的度数. AOC ∠AOC DOB 1 80° 30° 50 对顶角相等 已知 80 A C B D E 1 2 ) ) O 变式训练 1.如图，直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠AOC， ∠BOE的邻补角； (2)写出∠DOA， ∠EOC的对顶角； (3)如果∠AOC =50°，求∠BOD ，∠COB. 解：(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠COB； ∠BOE的邻补角是∠EOA和∠BOF. (2)∠DOA的对顶角是∠COB； ∠EOC的对顶角是∠DOF. (3)因为∠BOD是∠AOC的对顶角，∠COB是∠AOC的邻补角 所以∠BOD=∠AOC= 50°（对顶角相等) ∠COB=180°-∠AOC=130°（邻补角互补） 当堂检测 2.如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2的度数. 解法一：∵∠BOC=∠1+∠BOF=110° ∴∠BOF=70° 又∵∠BOF是∠2的对顶角 ∴∠2=∠BOF=70°（对顶角相等） 解法二：∵∠BOC与∠AOC互为邻补角，∠BOF=110° ∴∠AOC=180°-110°=70°（邻补角互补） 又∵∠1+∠AOC+∠2=180° ∴∠2=180°-40°-70°=70° 3.如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC. （1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数. （2）若∠EOC：∠EOD=2：3，求∠BOD的度数. 解：（1）∵OA平分∠EOC，∠EOC=70° ∴∠AOC= ∠EOC=35°（角平分线的定义） ∵∠AOC与∠BOD互为对顶角 ∴∠BOD=∠AOC=35°（对顶角相等） 3.如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC. （1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数. （2）若∠EOC：∠EOD=2：3，求∠BOD的度数. 解：（2）设∠EOC=2x°，∠EOD=3x° ∵∠EOC与∠EOD互补 ∴2x°+3x°=180°（邻补角互补） ∴x=36 ∴∠EOC=72° ∵OA平分∠EOC ∴∠AOC=∠AOE=36°（角平分线的定义） ∵∠AOC与∠BOD互为对顶角 ∴∠BOD=∠AOC=36°（对顶角相等） 2.拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角) （1）如图a，图中共有 对对顶角； （2）如图b，图中共有 对对顶角； （3）如图c，图中共有 对对顶角； （4）研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，猜测：若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有10条直线相交于一点，则可形成 对对顶角. 2 6 12 n（n-1） 90 思维拓展 名称 特征 性质 相同点 不同点 邻补角 ①两条直线相交形成的角； ②有公共顶点; ③有一条公共边 邻补角互补 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的 ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有公共顶点; ③没有公共边 对顶角相等 课堂小结 业精于勤，荒于嬉！ 4.如图，直线a、b相交，∠ 1=40°，求∠2，∠3， ∠4的度数。 5.如图,直线a、b相交，∠1+∠3＝80°，求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 6.（变式）如图,直线a、b相交，∠1:∠2=2:7 ， 求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 例题讲解 4.如图，直线a、b相交，∠ 1=40°，求∠2，∠3， ∠4的度数. 解：∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° ∴∠2=140° 又∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140°答：∠3=40°，∠2=∠4=140° 例题讲解 5.如图，直线a、b相交，∠1+∠3＝80°，求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3，∠2=∠4 又∵∠1+∠3=80° ∴∠1=∠3=40° ∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° ∴∠2=140° ∴∠2=∠4=140° 答：∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 例题讲解 $$