精品解析：安徽省合肥市蜀山区2024--2025学年上学期九年级期末质量检测数学试卷

2024/2025学年度第一学期九年级期末质量检测 数学试卷 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 点在反比例函数（）的图象上，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是边上一点，且．若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 函数（）与（）的图象如图所示，若，均随着的增大而增大，则的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的平分线为，交于点，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线（）经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 10. 如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知（），的值是________． 12. 如图，是外一点，是的切线，A为切点，交于点，是优弧上一点，若，，则的度数为________． 13. 如图，反比例函数（）在第一象限内的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上，若，坐标分别为，，则实数的值为________． 14. 如图，已知四个点，，，，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）对应的函数表达式有________个； （2）所有函数表达式中的最大值是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知，，求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（A，的对应点分别是，）； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（A，，的对应点分别是，，）． 18. 如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有个停车位，求的长．（参考数据：，，） 20. 某公司生产一种产品，生产费用（万元）由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成，已知该公司每年生产该产品（件），制造费用（万元），材料费用（万元），人工费用为固定费用万元，其中，，生产中得到了下表中的数据． 生产件数（件） 生产费用（万元） （1）求与的函数表达式； （2）公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价（万元/件）与生产件数（件）满足一次函数关系．设该产品每年的利润为万元（利润销售收入生产费用），求的最大值． 六、（本大题满分12分） 21. 如图，中，，，分别是边，上两点，交的延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 七、（本大题满分12分） 22. 已知：的直径与弦相交于点，是弦的中点，，为垂足． （1）如图，当是中点时，求的度数； （2）求证：． 八、（本大题满分14分） 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； （2）当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第一学期九年级期末质量检测 数学试卷 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 【详解】解：由，可设， 则． 所以． 故选：C 3. 点在反比例函数（）的图象上，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将代入即可求出k的值，再根据解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， A．，故此点不在反比例函数图象上， B．，故此点不在反比例函数图象上， C．，故此点不在反比例函数图象上， D．，故此点在反比例函数图象上， 故选：D． 4. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识，其中相似三角形的判定与性质是解题的关键；由题意得，则； 设，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理得，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设； ∵，， ∴在中，，由勾股定理得， ∴， ∴与的面积之比为． 故选B． 5. 某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据坡度得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵背水坡的坡度，坝高， ∴，则， ∴， 即坡面 的长度为， 故选：C． 6. 如图，是边上一点，且．若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先证明得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：A． 7. 函数（）与（）的图象如图所示，若，均随着的增大而增大，则的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，数形结合是解答的关键．由图象得到当时，随着的增大而增大，函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：由图象得：函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，当时，函数随着 的增大而增大， ∴当时，，均随着的增大而增大， 故选：A． 8. 如图，在中，的平分线为，交于点，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，一元二次方程的解法，根据角平分线和平行线的性质得出，根据等角对等边得出，再由平行线得出，从而得出，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， ∴， 解得：，（舍去）； ∵， ∴，即 故选：B． 9. 已知抛物线（）经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向下，且对称轴为，顶点坐标为，再逐一分析即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向下，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，即， ∴， ∴不等式无解，故A不符合题意；B不符合题意； 当时，则， 当时，， 解得：或， 当时， ∴或， ∴C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号， ∴的最大值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知（），的值是________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查比例性质，直接由比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， 故答案为：． 12. 如图，是外一点，是的切线，A为切点，交于点，是优弧上一点，若，，则的度数为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、特殊角的三角函数等知识，利用切线的性质得到，利用正弦定义和特殊角的三角函数得到，进而利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是外一点，是的切线，A为切点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，反比例函数（）在第一象限内的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上，若，坐标分别为，，则实数的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合，先根据平行四边形的性质和坐标与图形性质求得点A坐标，再根据待定系数法求解k值即可． 【详解】解：延长交y轴于D， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数（）在第一象限内的图象上， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，已知四个点，，，，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）对应的函数表达式有________个； （2）所有函数表达式中的最大值是________． 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）根据二次函数的性质，结合图中四个点的位置进行判断即可； （2）分别求解经过三点的抛物线的解析式，再比较各项的系数和，进一步可得结论． 【详解】解：（1）根据二次函数的性质，经过点A、B、C三点不能画出二次函数的图象， ∴经过A、B、D或A、C、D或B、C、D都可以画出二次函数的图象， 故答案为：3； （2）当抛物线经过，，三点时， 得， 解得， ∴， ∴； 当抛物线经过，，三点时， 得， 解得， ∴， ∴； 当抛物线过， ，时， 得， 解得， ∴； ∴， ∵， ∴的最大值为4， 故答案为：4． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，直接根据特殊角的三角函数值计算即可．熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 已知，，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．设，然后表示出a，b，c，再求解，进一步可得答案． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：4． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（A，的对应点分别是，）； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（A，，的对应点分别是，，）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）先根据位似图形性质得到A、C的对应点、，然后顺次连接即可； （2）根据旋转性质找到A、B、C对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，求得是解答的关键．连接交于D，连接，利用垂径定理的逆定理得到，米，在中，由勾股定理得，进而求得即可． 【详解】解：连接交于D，连接， 由题意，米，米， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴米， ∴（米）， 答：点到水面的距离为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有个停车位，求的长．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，解直角三角形的应用，先求解，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵停车位是矩形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵该充电站有个停车位，所有车位均相同， ∴． 20. 某公司生产一种产品，生产费用（万元）由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成，已知该公司每年生产该产品（件），制造费用（万元），材料费用（万元），人工费用为固定费用万元，其中，，生产中得到了下表中的数据． 生产件数（件） 生产费用（万元） （1）求与的函数表达式； （2）公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价（万元/件）与生产件数（件）满足一次函数关系．设该产品每年的利润为万元（利润销售收入生产费用），求的最大值． 【答案】（1） （2）2000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）利用利润销售收入生产费用得到利润w关于x的函数表达式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， 将，；，代入， 得，解得， ∴与的函数表达式为 【小问2详解】 解：根据题意， ， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2000元． 六、（本大题满分12分） 21. 如图，中，，，分别是边，上两点，交的延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质； （1）先证明，再证明，即可得到结论； （2）先证明，由可得，再进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 七、（本大题满分12分） 22. 已知：的直径与弦相交于点，是弦的中点，，为垂足． （1）如图，当是中点时，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵是弦的中点， ∴， ∴，又， ∴， ∴，则； ∵是的直径， ∴，又， ∴， ∴，则， ∵， ∴，则． 【解析】 【分析】（1）连接，，先证明是等边三角形得到，，再证明为的中位线得到，进而，，然后利用等边对等角求解即可求解； （2）连接，分别证明，得到，，进而得到即可得结论． 【小问1详解】 解：连接，， ∵是中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵是中点，是弦的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 八、（本大题满分14分） 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； （2）当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）①直线；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）①将点代入函数表达式得到，再利用二次函数的性质求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数的最大值为，进而求得c值即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，该函数的最小值为，然后分当时和当时两种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值，再根据已知列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵时， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由得抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，该函数的最小值为， 当时，当时，该函数取得最大值， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取得最大值c， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，符合题意的b值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $